MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qextlt Structured version   Unicode version

Theorem qextlt 11454
Description: An extensionality-like property for extended real ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextlt  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem qextlt
StepHypRef Expression
1 breq2 4398 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
x  <  A  <->  x  <  B ) )
21ralrimivw 2818 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
3 xrlttri2 11400 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
4 qextltlem 11453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  ( -.  (
x  <  A  <->  x  <  B )  /\  -.  (
x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) ) )
5 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( x  < 
A  <->  x  <  B )  /\  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )  ->  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
65reximi 2871 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  QQ  ( -.  ( x  <  A  <->  x  <  B )  /\  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
74, 6syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
8 qextltlem 11453 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  ( -.  (
x  <  B  <->  x  <  A )  /\  -.  (
x  <_  B  <->  x  <_  A ) ) ) )
9 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  ( x  < 
B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  -.  ( x  <  B  <->  x  <  A ) )
10 bicom 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  B  <->  x  <  A )  <->  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
119, 10sylnib 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( x  < 
B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
1211reximi 2871 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  QQ  ( -.  ( x  <  B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) )
138, 12syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
1413ancoms 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
157, 14jaod 378 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <  B  \/  B  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
163, 15sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
17 rexnal 2851 . . . 4  |-  ( E. x  e.  QQ  -.  ( x  <  A  <->  x  <  B )  <->  -.  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) )
1816, 17syl6ib 226 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  A. x  e.  QQ  (
x  <  A  <->  x  <  B ) ) )
1918necon4ad 2623 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  QQ  ( x  <  A  <->  x  <  B )  ->  A  =  B ) )
202, 19impbid2 204 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e.  QQ  ( x  < 
A  <->  x  <  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658   QQcq 11226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator