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Theorem qextle 11456
Description: An extensionality-like property for extended real ordering. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
qextle  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e.  QQ  ( x  <_  A 
<->  x  <_  B )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem qextle
StepHypRef Expression
1 breq2 4399 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  (
x  <_  A  <->  x  <_  B ) )
21ralrimivw 2819 . 2  |-  ( A  =  B  ->  A. x  e.  QQ  ( x  <_  A 
<->  x  <_  B )
)
3 xrlttri2 11401 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
4 qextltlem 11454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  ( -.  (
x  <  A  <->  x  <  B )  /\  -.  (
x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) ) )
5 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( x  < 
A  <->  x  <  B )  /\  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )  ->  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )
65reximi 2872 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  QQ  ( -.  ( x  <  A  <->  x  <  B )  /\  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )
74, 6syl6 31 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) )
8 qextltlem 11454 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  ( -.  (
x  <  B  <->  x  <  A )  /\  -.  (
x  <_  B  <->  x  <_  A ) ) ) )
9 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  ( x  < 
B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )
10 bicom 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <_  B  <->  x  <_  A )  <->  ( x  <_  A 
<->  x  <_  B )
)
119, 10sylnib 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( x  < 
B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )
1211reximi 2872 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  QQ  ( -.  ( x  <  B  <->  x  <  A )  /\  -.  ( x  <_  B  <->  x  <_  A ) )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) )
138, 12syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) )
1413ancoms 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <  A  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) )
157, 14jaod 378 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <  B  \/  B  <  A )  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) )
163, 15sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e.  QQ  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) )
17 rexnal 2852 . . . 4  |-  ( E. x  e.  QQ  -.  ( x  <_  A  <->  x  <_  B )  <->  -.  A. x  e.  QQ  ( x  <_  A 
<->  x  <_  B )
)
1816, 17syl6ib 226 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =/=  B  ->  -.  A. x  e.  QQ  (
x  <_  A  <->  x  <_  B ) ) )
1918necon4ad 2623 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A. x  e.  QQ  ( x  <_  A  <->  x  <_  B )  ->  A  =  B ) )
202, 19impbid2 204 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  A. x  e.  QQ  ( x  <_  A 
<->  x  <_  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   class class class wbr 4395   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   QQcq 11227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228
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