Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qexpz Unicode version

Theorem qexpz 13225
 Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qexpz

Proof of Theorem qexpz
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2464 . 2
2 simpll2 997 . . . . . . . 8
32nncnd 9972 . . . . . . 7
43mul01d 9221 . . . . . 6
5 simpr 448 . . . . . . . . 9
6 simpll3 998 . . . . . . . . 9
7 simpll1 996 . . . . . . . . . . 11
8 qcn 10544 . . . . . . . . . . 11
97, 8syl 16 . . . . . . . . . 10
10 simplr 732 . . . . . . . . . 10
112nnzd 10330 . . . . . . . . . 10
129, 10, 11expne0d 11484 . . . . . . . . 9
13 pczcl 13177 . . . . . . . . 9
145, 6, 12, 13syl12anc 1182 . . . . . . . 8
1514nn0ge0d 10233 . . . . . . 7
16 pcexp 13188 . . . . . . . 8
175, 7, 10, 11, 16syl121anc 1189 . . . . . . 7
1815, 17breqtrd 4196 . . . . . 6
194, 18eqbrtrd 4192 . . . . 5
20 0re 9047 . . . . . . 7
2120a1i 11 . . . . . 6
22 pcqcl 13185 . . . . . . . 8
235, 7, 10, 22syl12anc 1182 . . . . . . 7
2423zred 10331 . . . . . 6
252nnred 9971 . . . . . 6
262nngt0d 9999 . . . . . 6
27 lemul2 9819 . . . . . 6
2821, 24, 25, 26, 27syl112anc 1188 . . . . 5
2919, 28mpbird 224 . . . 4
3029ralrimiva 2749 . . 3
31 simpl1 960 . . . 4
32 pcz 13209 . . . 4
3331, 32syl 16 . . 3
3430, 33mpbird 224 . 2
35 0z 10249 . . 3
3635a1i 11 . 2
371, 34, 36pm2.61ne 2642 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040  cc 8944  cr 8945  cc0 8946   cmul 8951   clt 9076   cle 9077  cn 9956  cn0 10177  cz 10238  cq 10530  cexp 11337  cprime 13034   cpc 13165 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166
 Copyright terms: Public domain W3C validator