Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qexpz Structured version   Unicode version

Theorem qexpz 14432
 Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qexpz

Proof of Theorem qexpz
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2529 . 2
2 simpll2 1036 . . . . . . . 8
32nncnd 10572 . . . . . . 7
43mul01d 9796 . . . . . 6
5 simpr 461 . . . . . . . . 9
6 simpll3 1037 . . . . . . . . 9
7 simpll1 1035 . . . . . . . . . . 11
8 qcn 11221 . . . . . . . . . . 11
97, 8syl 16 . . . . . . . . . 10
10 simplr 755 . . . . . . . . . 10
112nnzd 10989 . . . . . . . . . 10
129, 10, 11expne0d 12319 . . . . . . . . 9
13 pczcl 14384 . . . . . . . . 9
145, 6, 12, 13syl12anc 1226 . . . . . . . 8
1514nn0ge0d 10876 . . . . . . 7
16 pcexp 14395 . . . . . . . 8
175, 7, 10, 11, 16syl121anc 1233 . . . . . . 7
1815, 17breqtrd 4480 . . . . . 6
194, 18eqbrtrd 4476 . . . . 5
20 0red 9614 . . . . . 6
21 pcqcl 14392 . . . . . . . 8
225, 7, 10, 21syl12anc 1226 . . . . . . 7
2322zred 10990 . . . . . 6
242nnred 10571 . . . . . 6
252nngt0d 10600 . . . . . 6
26 lemul2 10416 . . . . . 6
2720, 23, 24, 25, 26syl112anc 1232 . . . . 5
2819, 27mpbird 232 . . . 4
2928ralrimiva 2871 . . 3
30 simpl1 999 . . . 4
31 pcz 14416 . . . 4
3230, 31syl 16 . . 3
3329, 32mpbird 232 . 2
34 0zd 10897 . 2
351, 33, 34pm2.61ne 2772 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296  cc 9507  cr 9508  cc0 9509   cmul 9514   clt 9645   cle 9646  cn 10556  cn0 10816  cz 10885  cq 11207  cexp 12169  cprime 14229   cpc 14372 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator