Theorem qdensere 9027

Description: QQ is dense in the standard topology on RR.

Assertion

Ref	Expression
qdensere	|- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) = RR

Proof of Theorem qdensere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 8926	. . 3 |- (topGen` ran (,)) e. Top
2		qssre 7444	. . 3 |- QQ C_ RR
3		uniretop 8927	. . . . 5 |- U.(topGen` ran (,)) = RR
4	3	eqcomi 1888	. . . 4 |- RR = U.(topGen` ran (,))
5	4	clsss3 8967	. . 3 |- (((topGen` ran (,)) e. Top /\ QQ C_ RR) -> ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) C_ RR)
6	1, 2, 5	mp2an 761	. 2 |- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) C_ RR
7		reex 6465	. . . . . . . 8 |- RR e. _V
8	7	rabex 3461	. . . . . . 7 |- {v e. RR | (z < v /\ v < w)} e. _V
9		dfioo2 7572	. . . . . . 7 |- (,) = {<.<.z, w>., x>. | ((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ x = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})}
10	8, 9	elrnoprab 5067	. . . . . 6 |- (y e. ran (,) <-> E.z e. RR* E.w e. RR* y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})
11		iooval2 7534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (z(,)w) = {v e. RR | (z < v /\ v < w)})
12	11	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (y = (z(,)w) <-> y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)}))
13	12	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = (z(,)w) /\ x e. y) <-> (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)))
14		ioon0 7536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((z(,)w) =/= (/) <-> z < w))
15		qbtwnxr 7460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. RR* /\ w e. RR* /\ z < w) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w))
16	15	3expia 1069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (z < w -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
17	14, 16	sylbid 220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((z(,)w) =/= (/) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
18		neeq1 2024	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = (z(,)w) -> (y =/= (/) <-> (z(,)w) =/= (/)))
19		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. y -> y =/= (/))
20	18, 19	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = (z(,)w) -> (x e. y -> (z(,)w) =/= (/)))
21	20	imp 377	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y = (z(,)w) /\ x e. y) -> (z(,)w) =/= (/))
22	17, 21	syl5 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = (z(,)w) /\ x e. y) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
23	13, 22	sylbird 222	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> ((y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
24	23	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> E.x e. QQ (z < x /\ x < w))
25		eleq2 1958	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y <-> x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)}))
26		qre 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. QQ -> x e. RR)
27	26	biantrurd 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. QQ -> ((z < x /\ x < w) <-> (x e. RR /\ (z < x /\ x < w))))
28		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = x -> (z < v <-> z < x))
29		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = x -> (v < w <-> x < w))
30	28, 29	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v = x -> ((z < v /\ v < w) <-> (z < x /\ x < w)))
31	30	elrab 2414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)} <-> (x e. RR /\ (z < x /\ x < w)))
32	27, 31	syl6rbbr 598	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. QQ -> (x e. {v e. RR | (z < v /\ v < w)} <-> (z < x /\ x < w)))
33	25, 32	sylan9bb 599	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. QQ) -> (x e. y <-> (z < x /\ x < w)))
34	33	rexbidva 2120	. . . . . . . . . . 11 |- (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (E.x e. QQ x e. y <-> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
35	34	ad2antrl 442	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> (E.x e. QQ x e. y <-> E.x e. QQ (z < x /\ x < w)))
36	24, 35	mpbird 213	. . . . . . . . 9 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> E.x e. QQ x e. y)
37		incom 2787	. . . . . . . . . . . 12 |- (y i^i QQ) = (QQ i^i y)
38	37	eqeq1i 1891	. . . . . . . . . . 11 |- ((y i^i QQ) = (/) <-> (QQ i^i y) = (/))
39		disj 2914	. . . . . . . . . . 11 |- ((QQ i^i y) = (/) <-> A.x e. QQ -. x e. y)
40		ralnex 2113	. . . . . . . . . . 11 |- (A.x e. QQ -. x e. y <-> -. E.x e. QQ x e. y)
41	38, 39, 40	3bitri 194	. . . . . . . . . 10 |- ((y i^i QQ) = (/) <-> -. E.x e. QQ x e. y)
42	41	necon2abii 2063	. . . . . . . . 9 |- (E.x e. QQ x e. y <-> (y i^i QQ) =/= (/))
43	36, 42	sylib 215	. . . . . . . 8 |- (((z e. RR* /\ w e. RR*) /\ (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} /\ x e. y)) -> (y i^i QQ) =/= (/))
44	43	exp32 408	. . . . . . 7 |- ((z e. RR* /\ w e. RR*) -> (y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
45	44	r19.23aivv 2217	. . . . . 6 |- (E.z e. RR* E.w e. RR* y = {v e. RR | (z < v /\ v < w)} -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/)))
46	10, 45	sylbi 216	. . . . 5 |- (y e. ran (,) -> (x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/)))
47	46	rgen 2159	. . . 4 |- A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))
48		retopbas 8925	. . . . 5 |- ran (,) e. Bases
49		eqid 1884	. . . . . 6 |- (topGen` ran (,)) = (topGen` ran (,))
50	49, 4	elcls3 8987	. . . . 5 |- ((ran (,) e. Bases /\ QQ C_ RR /\ x e. RR) -> (x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) <-> A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
51	48, 2, 50	mp3an12 1181	. . . 4 |- (x e. RR -> (x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) <-> A.y e. ran (,)(x e. y -> (y i^i QQ) =/= (/))))
52	47, 51	mpbiri 211	. . 3 |- (x e. RR -> x e. ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ))
53	52	ssriv 2621	. 2 |- RR C_ ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ)
54	6, 53	eqssi 2632	1 |- ((cls` (topGen` ran (,)))` QQ) = RR

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  ran crn 3987  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  QQcq 6452  RR*cxr 6652   < clt 6653  (,)cioo 7524  Topctop 8857  Basesctb 8859  topGenctg 8860  clsccl 8938

This theorem is referenced by:  qdensere2 9194

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-ioo 7528  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941

Copyright terms: Public domain