Theorem qdensere 21012

Description: QQ is dense in the standard topology on RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	|- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 21003	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		qssre 11188	. . 3 |- QQ C_ RR
3		uniretop 21004	. . . 4 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
4	3	clsss3 19326	. . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ QQ C_ RR ) -> ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) C_ RR )
5	1, 2, 4	mp2an 672	. 2 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) C_ RR
6		ioof 11618	. . . . . . 7 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
7		ffn 5729	. . . . . . 7 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
8		ovelrn 6433	. . . . . . 7 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( y e. ran (,) <-> E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) ) )
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( y e. ran (,) <-> E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) )
10		elioo3g 11554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( z (,) w ) <-> ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ x e. RR* ) /\ ( z < x /\ x < w ) ) )
11	10	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ x e. RR* ) )
12	11	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z e. RR* )
13	11	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( z (,) w ) -> w e. RR* )
14	11	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> x e. RR* )
15		eliooord 11580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( z < x /\ x < w ) )
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z < x )
17	15	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> x < w )
18	12, 14, 13, 16, 17	xrlttrd 11358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z < w )
19		qbtwnxr 11395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ z < w ) -> E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) )
20	12, 13, 18, 19	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( z (,) w ) -> E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) )
21	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> z e. RR* )
22	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> w e. RR* )
23		qre 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
24	23	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. RR )
25	24	rexrd 9639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. RR* )
26	21, 22, 25	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ y e. RR* ) )
27		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( z < y /\ y < w ) )
28		elioo3g 11554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( z (,) w ) <-> ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ y e. RR* ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) )
29	26, 27, 28	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. ( z (,) w ) )
30		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. QQ )
31		inelcm 3881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
32	29, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
33	32	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) -> ( ( z < y /\ y < w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
34	33	rexlimdva 2955	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
35	20, 34	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. ( z (,) w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
37		eleq2 2540	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. y <-> x e. ( z (,) w ) ) )
38		ineq1 3693	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( y i^i QQ ) = ( ( z (,) w ) i^i QQ ) )
39	38	neeq1d 2744	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( ( y i^i QQ ) =/= (/) <-> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
40	36, 37, 39	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
41	40	rexlimivw 2952	. . . . . . 7 |- ( E. w e. RR* y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
42	41	rexlimivw 2952	. . . . . 6 |- ( E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
43	9, 42	sylbi 195	. . . . 5 |- ( y e. ran (,) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
44	43	rgen 2824	. . . 4 |- A. y e. ran (,) ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) )
45		eqidd 2468	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
46	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> RR = U. ( topGen ` ran (,) ) )
47		retopbas 21002	. . . . . 6 |- ran (,) e. TopBases
48	47	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ran (,) e. TopBases )
49	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> QQ C_ RR )
50		id 22	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. RR )
51	45, 46, 48, 49, 50	elcls3 19350	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) <-> A. y e. ran (,) ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) ) )
52	44, 51	mpbiri 233	. . 3 |- ( x e. RR -> x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) )
53	52	ssriv 3508	. 2 |- RR C_ ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ )
54	5, 53	eqssi 3520	1 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   ran crn 5000   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   RR*cxr 9623   < clt 9624   QQcq 11178   (,)cioo 11525   topGenctg 14689   Topctop 19161   TopBasesctb 19165   clsccl 19285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-ioo 11529  df-topgen 14695  df-top 19166  df-bases 19168  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288

This theorem is referenced by:  qdensere2  21037  resscdrg  21533  ipasslem8  25428  rrhcn  27614  rrhre  27635