Theorem qdensere 20480

Description: QQ is dense in the standard topology on RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	|- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 20471	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		qssre 11073	. . 3 |- QQ C_ RR
3		uniretop 20472	. . . 4 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
4	3	clsss3 18794	. . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ QQ C_ RR ) -> ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) C_ RR )
5	1, 2, 4	mp2an 672	. 2 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) C_ RR
6		ioof 11503	. . . . . . 7 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
7		ffn 5666	. . . . . . 7 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
8		ovelrn 6348	. . . . . . 7 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( y e. ran (,) <-> E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) ) )
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( y e. ran (,) <-> E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) )
10		elioo3g 11439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( z (,) w ) <-> ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ x e. RR* ) /\ ( z < x /\ x < w ) ) )
11	10	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ x e. RR* ) )
12	11	simp1d 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z e. RR* )
13	11	simp2d 1001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( z (,) w ) -> w e. RR* )
14	11	simp3d 1002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> x e. RR* )
15		eliooord 11465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( z < x /\ x < w ) )
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z < x )
17	15	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> x < w )
18	12, 14, 13, 16, 17	xrlttrd 11243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z < w )
19		qbtwnxr 11280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ z < w ) -> E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) )
20	12, 13, 18, 19	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( z (,) w ) -> E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) )
21	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> z e. RR* )
22	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> w e. RR* )
23		qre 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
24	23	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. RR )
25	24	rexrd 9543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. RR* )
26	21, 22, 25	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ y e. RR* ) )
27		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( z < y /\ y < w ) )
28		elioo3g 11439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( z (,) w ) <-> ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ y e. RR* ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) )
29	26, 27, 28	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. ( z (,) w ) )
30		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. QQ )
31		inelcm 3840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
32	29, 30, 31	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
33	32	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) -> ( ( z < y /\ y < w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
34	33	rexlimdva 2945	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
35	20, 34	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
36	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. ( z (,) w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
37		eleq2 2527	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. y <-> x e. ( z (,) w ) ) )
38		ineq1 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( y i^i QQ ) = ( ( z (,) w ) i^i QQ ) )
39	38	neeq1d 2728	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( ( y i^i QQ ) =/= (/) <-> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
40	36, 37, 39	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
41	40	rexlimivw 2941	. . . . . . 7 |- ( E. w e. RR* y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
42	41	rexlimivw 2941	. . . . . 6 |- ( E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
43	9, 42	sylbi 195	. . . . 5 |- ( y e. ran (,) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
44	43	rgen 2897	. . . 4 |- A. y e. ran (,) ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) )
45		eqidd 2455	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
46	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> RR = U. ( topGen ` ran (,) ) )
47		retopbas 20470	. . . . . 6 |- ran (,) e. TopBases
48	47	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ran (,) e. TopBases )
49	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> QQ C_ RR )
50		id 22	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. RR )
51	45, 46, 48, 49, 50	elcls3 18818	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) <-> A. y e. ran (,) ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) ) )
52	44, 51	mpbiri 233	. . 3 |- ( x e. RR -> x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) )
53	52	ssriv 3467	. 2 |- RR C_ ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ )
54	5, 53	eqssi 3479	1 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2647   A.wral 2798   E.wrex 2799   i^i cin 3434   C_ wss 3435   (/)c0 3744   ~Pcpw 3967   U.cuni 4198   class class class wbr 4399   X. cxp 4945   ran crn 4948   Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   RR*cxr 9527   < clt 9528   QQcq 11063   (,)cioo 11410   topGenctg 14494   Topctop 18629   TopBasesctb 18633   clsccl 18753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-q 11064  df-ioo 11414  df-topgen 14500  df-top 18634  df-bases 18636  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756

This theorem is referenced by:  qdensere2  20505  resscdrg  21001  ipasslem8  24388  rrhcn  26570  rrhre  26591