MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere Structured version   Unicode version

Theorem qdensere 20480
Description:  QQ is dense in the standard topology on  RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qdensere  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR

Proof of Theorem qdensere
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 20471 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 qssre 11073 . . 3  |-  QQ  C_  RR
3 uniretop 20472 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
43clsss3 18794 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR )
51, 2, 4mp2an 672 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR
6 ioof 11503 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
7 ffn 5666 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
8 ovelrn 6348 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( y  e. 
ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e. 
RR*  y  =  ( z (,) w ) )
10 elioo3g 11439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  /\  (
z  <  x  /\  x  <  w ) ) )
1110simplbi 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* ) )
1211simp1d 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  e.  RR* )
1311simp2d 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  w  e.  RR* )
1411simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  e.  RR* )
15 eliooord 11465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  <  x  /\  x  <  w ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  x )
1715simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  <  w )
1812, 14, 13, 16, 17xrlttrd 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  w )
19 qbtwnxr 11280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  z  < 
w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
2012, 13, 18, 19syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
2112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  z  e.  RR* )
2213ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  w  e.  RR* )
23 qre 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
2423ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR )
2524rexrd 9543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR* )
2621, 22, 253jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  <  y  /\  y  <  w ) )
28 elioo3g 11439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  (
z  <  y  /\  y  <  w ) ) )
2926, 27, 28sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  ( z (,) w
) )
30 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  QQ )
31 inelcm 3840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3229, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3332ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z  < 
y  /\  y  <  w )  ->  ( (
z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
3433rexlimdva 2945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  ( E. y  e.  QQ  ( z  <  y  /\  y  <  w )  ->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
3520, 34mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3635a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  ( z (,) w )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
37 eleq2 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z (,) w
) ) )
38 ineq1 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
y  i^i  QQ )  =  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ ) )
3938neeq1d 2728 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
( y  i^i  QQ )  =/=  (/)  <->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
4036, 37, 393imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4140rexlimivw 2941 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4241rexlimivw 2941 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
439, 42sylbi 195 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  ( x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4443rgen 2897 . . . 4  |-  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  QQ )  =/=  (/) )
45 eqidd 2455 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  =  ( topGen `  ran  (,) ) )
463a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) ) )
47 retopbas 20470 . . . . . 6  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  (,) 
e.  TopBases )
492a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  QQ  C_  RR )
50 id 22 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
5145, 46, 48, 49, 50elcls3 18818 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) ) )
5244, 51mpbiri 233 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
5352ssriv 3467 . 2  |-  RR  C_  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
545, 53eqssi 3479 1  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2647   A.wral 2798   E.wrex 2799    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744   ~Pcpw 3967   U.cuni 4198   class class class wbr 4399    X. cxp 4945   ran crn 4948    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   RRcr 9391   RR*cxr 9527    < clt 9528   QQcq 11063   (,)cioo 11410   topGenctg 14494   Topctop 18629   TopBasesctb 18633   clsccl 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-q 11064  df-ioo 11414  df-topgen 14500  df-top 18634  df-bases 18636  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756
This theorem is referenced by:  qdensere2  20505  resscdrg  21001  ipasslem8  24388  rrhcn  26570  rrhre  26591
  Copyright terms: Public domain W3C validator