Theorem qdensere 21402

Description: QQ is dense in the standard topology on RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
qdensere	|- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR

Proof of Theorem qdensere

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 21393	. . 3 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
2		qssre 11217	. . 3 |- QQ C_ RR
3		uniretop 21394	. . . 4 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
4	3	clsss3 19686	. . 3 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ QQ C_ RR ) -> ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) C_ RR )
5	1, 2, 4	mp2an 672	. 2 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) C_ RR
6		ioof 11647	. . . . . . 7 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
7		ffn 5737	. . . . . . 7 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
8		ovelrn 6450	. . . . . . 7 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( y e. ran (,) <-> E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) ) )
9	6, 7, 8	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( y e. ran (,) <-> E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) )
10		elioo3g 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( z (,) w ) <-> ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ x e. RR* ) /\ ( z < x /\ x < w ) ) )
11	10	simplbi 460	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ x e. RR* ) )
12	11	simp1d 1008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z e. RR* )
13	12	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> z e. RR* )
14	11	simp2d 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( z (,) w ) -> w e. RR* )
15	14	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> w e. RR* )
16		qre 11212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. QQ -> y e. RR )
17	16	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. RR )
18	17	rexrd 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. RR* )
19	13, 15, 18	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ y e. RR* ) )
20		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( z < y /\ y < w ) )
21		elioo3g 11583	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( z (,) w ) <-> ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ y e. RR* ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) )
22	19, 20, 21	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. ( z (,) w ) )
23		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> y e. QQ )
24		inelcm 3884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
25	22, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( z (,) w ) /\ y e. QQ ) /\ ( z < y /\ y < w ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
26	11	simp3d 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> x e. RR* )
27		eliooord 11609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( z < x /\ x < w ) )
28	27	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z < x )
29	27	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( z (,) w ) -> x < w )
30	12, 26, 14, 28, 29	xrlttrd 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( z (,) w ) -> z < w )
31		qbtwnxr 11424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. RR* /\ w e. RR* /\ z < w ) -> E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) )
32	12, 14, 30, 31	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( z (,) w ) -> E. y e. QQ ( z < y /\ y < w ) )
33	25, 32	r19.29a 2999	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( z (,) w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. ( z (,) w ) -> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
35		eleq2 2530	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. y <-> x e. ( z (,) w ) ) )
36		ineq1 3689	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( y i^i QQ ) = ( ( z (,) w ) i^i QQ ) )
37	36	neeq1d 2734	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( ( y i^i QQ ) =/= (/) <-> ( ( z (,) w ) i^i QQ ) =/= (/) ) )
38	34, 35, 37	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
39	38	rexlimivw 2946	. . . . . . 7 |- ( E. w e. RR* y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
40	39	rexlimivw 2946	. . . . . 6 |- ( E. z e. RR* E. w e. RR* y = ( z (,) w ) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
41	9, 40	sylbi 195	. . . . 5 |- ( y e. ran (,) -> ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) )
42	41	rgen 2817	. . . 4 |- A. y e. ran (,) ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) )
43		eqidd 2458	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) ) )
44	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> RR = U. ( topGen ` ran (,) ) )
45		retopbas 21392	. . . . . 6 |- ran (,) e. TopBases
46	45	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ran (,) e. TopBases )
47	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( x e. RR -> QQ C_ RR )
48		id 22	. . . . 5 |- ( x e. RR -> x e. RR )
49	43, 44, 46, 47, 48	elcls3 19710	. . . 4 |- ( x e. RR -> ( x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) <-> A. y e. ran (,) ( x e. y -> ( y i^i QQ ) =/= (/) ) ) )
50	42, 49	mpbiri 233	. . 3 |- ( x e. RR -> x e. ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) )
51	50	ssriv 3503	. 2 |- RR C_ ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ )
52	5, 51	eqssi 3515	1 |- ( ( cls ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` QQ ) = RR

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   X. cxp 5006   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   RR*cxr 9644   < clt 9645   QQcq 11207   (,)cioo 11554   topGenctg 14854   Topctop 19520   TopBasesctb 19524   clsccl 19645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-ioo 11558  df-topgen 14860  df-top 19525  df-bases 19527  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648

This theorem is referenced by:  qdensere2  21427  resscdrg  21923  ipasslem8  25878  rrhcn  28131  rrhre  28152