MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qdensere Structured version   Unicode version

Theorem qdensere 21402
Description:  QQ is dense in the standard topology on  RR. (Contributed by NM, 1-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
qdensere  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR

Proof of Theorem qdensere
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 retop 21393 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2 qssre 11217 . . 3  |-  QQ  C_  RR
3 uniretop 21394 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
43clsss3 19686 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  QQ  C_  RR )  ->  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR )
51, 2, 4mp2an 672 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  C_  RR
6 ioof 11647 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
7 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  (,)  Fn  ( RR*  X.  RR* )
)
8 ovelrn 6450 . . . . . . 7  |-  ( (,) 
Fn  ( RR*  X.  RR* )  ->  ( y  e. 
ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w ) ) )
96, 7, 8mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  (,)  <->  E. z  e.  RR*  E. w  e. 
RR*  y  =  ( z (,) w ) )
10 elioo3g 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* )  /\  (
z  <  x  /\  x  <  w ) ) )
1110simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  x  e. 
RR* ) )
1211simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  e.  RR* )
1312ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  z  e.  RR* )
1411simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  w  e.  RR* )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  w  e.  RR* )
16 qre 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  QQ  ->  y  e.  RR )
1716ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR )
1817rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  RR* )
1913, 15, 183jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
z  <  y  /\  y  <  w ) )
21 elioo3g 11583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( z (,) w )  <->  ( (
z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  y  e. 
RR* )  /\  (
z  <  y  /\  y  <  w ) ) )
2219, 20, 21sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  ( z (,) w
) )
23 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  y  e.  QQ )
24 inelcm 3884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  ->  ( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) )
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ( z (,) w )  /\  y  e.  QQ )  /\  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
2611simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  e.  RR* )
27 eliooord 11609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
z  <  x  /\  x  <  w ) )
2827simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  x )
2927simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  x  <  w )
3012, 26, 14, 28, 29xrlttrd 11387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  z  <  w )
31 qbtwnxr 11424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  z  < 
w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
3212, 14, 30, 31syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  E. y  e.  QQ  ( z  < 
y  /\  y  <  w ) )
3325, 32r19.29a 2999 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( z (,) w )  ->  (
( z (,) w
)  i^i  QQ )  =/=  (/) )
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  ( z (,) w )  -> 
( ( z (,) w )  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
35 eleq2 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( z (,) w
) ) )
36 ineq1 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
y  i^i  QQ )  =  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ ) )
3736neeq1d 2734 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
( y  i^i  QQ )  =/=  (/)  <->  ( ( z (,) w )  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) )
3834, 35, 373imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
3938rexlimivw 2946 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  (
x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4039rexlimivw 2946 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  RR*  E. w  e.  RR*  y  =  ( z (,) w )  ->  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
419, 40sylbi 195 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  (,)  ->  ( x  e.  y  -> 
( y  i^i  QQ )  =/=  (/) ) )
4241rgen 2817 . . . 4  |-  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  QQ )  =/=  (/) )
43 eqidd 2458 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ( topGen `
 ran  (,) )  =  ( topGen `  ran  (,) ) )
443a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) ) )
45 retopbas 21392 . . . . . 6  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  (,) 
e.  TopBases )
472a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  QQ  C_  RR )
48 id 22 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR )
4943, 44, 46, 47, 48elcls3 19710 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  <->  A. y  e.  ran  (,) ( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
QQ )  =/=  (/) ) ) )
5042, 49mpbiri 233 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
)
5150ssriv 3503 . 2  |-  RR  C_  ( ( cls `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  QQ )
525, 51eqssi 3515 1  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   RR*cxr 9644    < clt 9645   QQcq 11207   (,)cioo 11554   topGenctg 14854   Topctop 19520   TopBasesctb 19524   clsccl 19645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-ioo 11558  df-topgen 14860  df-top 19525  df-bases 19527  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648
This theorem is referenced by:  qdensere2  21427  resscdrg  21923  ipasslem8  25878  rrhcn  28131  rrhre  28152
  Copyright terms: Public domain W3C validator