MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qden1elz Structured version   Unicode version

Theorem qden1elz 13850
Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qden1elz  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(denom `  A )  =  1  <->  A  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem qden1elz
StepHypRef Expression
1 qeqnumdivden 13839 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  =  ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  A  =  ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) ) )
3 oveq2 6114 . . . . 5  |-  ( (denom `  A )  =  1  ->  ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) )  =  ( (numer `  A
)  /  1 ) )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  (
(numer `  A )  /  (denom `  A )
)  =  ( (numer `  A )  /  1
) )
5 qnumcl 13833 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  (numer `  A )  e.  ZZ )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  (numer `  A )  e.  ZZ )
76zcnd 10763 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  (numer `  A )  e.  CC )
87div1d 10114 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  (
(numer `  A )  /  1 )  =  (numer `  A )
)
92, 4, 83eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  A  =  (numer `  A )
)
109, 6eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
1211zcnd 10763 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
1312div1d 10114 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  /  1
)  =  A )
1413fveq2d 5710 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  ( A  /  1 ) )  =  (denom `  A
) )
15 1nn 10348 . . . . 5  |-  1  e.  NN
16 divdenle 13842 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  1 ) )  <_  1 )
1711, 15, 16sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  ( A  /  1 ) )  <_  1 )
1814, 17eqbrtrrd 4329 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  A )  <_  1 )
19 qdencl 13834 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  e.  NN )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  A )  e.  NN )
21 nnle1eq1 10365 . . . 4  |-  ( (denom `  A )  e.  NN  ->  ( (denom `  A
)  <_  1  <->  (denom `  A
)  =  1 ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( (denom `  A
)  <_  1  <->  (denom `  A
)  =  1 ) )
2318, 22mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  A )  =  1 )
2410, 23impbida 828 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(denom `  A )  =  1  <->  A  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4307   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   1c1 9298    <_ cle 9434    / cdiv 10008   NNcn 10337   ZZcz 10661   QQcq 10968  numercnumer 13826  denomcdenom 13827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-dvds 13551  df-gcd 13706  df-numer 13828  df-denom 13829
This theorem is referenced by:  zsqrelqelz  13851
  Copyright terms: Public domain W3C validator