MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qden1elz Structured version   Unicode version

Theorem qden1elz 14166
Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qden1elz  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(denom `  A )  =  1  <->  A  e.  ZZ ) )

Proof of Theorem qden1elz
StepHypRef Expression
1 qeqnumdivden 14155 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  =  ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) ) )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  A  =  ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) ) )
3 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( (denom `  A )  =  1  ->  ( (numer `  A )  /  (denom `  A ) )  =  ( (numer `  A
)  /  1 ) )
43adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  (
(numer `  A )  /  (denom `  A )
)  =  ( (numer `  A )  /  1
) )
5 qnumcl 14149 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  (numer `  A )  e.  ZZ )
65adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  (numer `  A )  e.  ZZ )
76zcnd 10979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  (numer `  A )  e.  CC )
87div1d 10324 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  (
(numer `  A )  /  1 )  =  (numer `  A )
)
92, 4, 83eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  A  =  (numer `  A )
)
109, 6eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  (denom `  A )  =  1 )  ->  A  e.  ZZ )
11 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
1211zcnd 10979 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
1312div1d 10324 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  /  1
)  =  A )
1413fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  ( A  /  1 ) )  =  (denom `  A
) )
15 1nn 10559 . . . . 5  |-  1  e.  NN
16 divdenle 14158 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  (denom `  ( A  /  1 ) )  <_  1 )
1711, 15, 16sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  ( A  /  1 ) )  <_  1 )
1814, 17eqbrtrrd 4475 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  A )  <_  1 )
19 qdencl 14150 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  (denom `  A )  e.  NN )
2019adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  A )  e.  NN )
21 nnle1eq1 10576 . . . 4  |-  ( (denom `  A )  e.  NN  ->  ( (denom `  A
)  <_  1  <->  (denom `  A
)  =  1 ) )
2220, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( (denom `  A
)  <_  1  <->  (denom `  A
)  =  1 ) )
2318, 22mpbid 210 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (denom `  A )  =  1 )
2410, 23impbida 830 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
(denom `  A )  =  1  <->  A  e.  ZZ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1c1 9505    <_ cle 9641    / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   QQcq 11194  numercnumer 14142  denomcdenom 14143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-dvds 13865  df-gcd 14021  df-numer 14144  df-denom 14145
This theorem is referenced by:  zsqrtelqelz  14167
  Copyright terms: Public domain W3C validator