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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > qbtwnxr | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The rational numbers are
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qbtwnxr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elxr 11413 |
. . 3
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2 | elxr 11413 |
. . . . 5
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3 | qbtwnre 11489 |
. . . . . . 7
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4 | 3 | 3expia 1209 |
. . . . . 6
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5 | simpl 459 |
. . . . . . . . 9
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6 | peano2re 9803 |
. . . . . . . . . 10
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7 | 6 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
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8 | ltp1 10440 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 8 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
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10 | qbtwnre 11489 |
. . . . . . . . 9
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11 | 5, 7, 9, 10 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . 8
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12 | qre 11266 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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13 | ltpnf 11419 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
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15 | 14 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . 12
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16 | simplr 761 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 15, 16 | breqtrrd 4428 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 17 | a1d 26 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 18 | anim2d 568 |
. . . . . . . . 9
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20 | 19 | reximdva 2861 |
. . . . . . . 8
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21 | 11, 20 | mpd 15 |
. . . . . . 7
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22 | 21 | a1d 26 |
. . . . . 6
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23 | rexr 9683 |
. . . . . . 7
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24 | breq2 4405 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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26 | nltmnf 11428 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 26 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27 | pm2.21d 110 |
. . . . . . . 8
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29 | 25, 28 | sylbid 219 |
. . . . . . 7
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30 | 23, 29 | sylan 474 |
. . . . . 6
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31 | 4, 22, 30 | 3jaodan 1333 |
. . . . 5
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32 | 2, 31 | sylan2b 478 |
. . . 4
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33 | breq1 4404 |
. . . . . 6
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34 | 33 | adantr 467 |
. . . . 5
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35 | pnfnlt 11427 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | adantl 468 |
. . . . . 6
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37 | 36 | pm2.21d 110 |
. . . . 5
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38 | 34, 37 | sylbid 219 |
. . . 4
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39 | peano2rem 9938 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
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41 | simpr 463 |
. . . . . . . . 9
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42 | ltm1 10442 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | adantl 468 |
. . . . . . . . 9
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44 | qbtwnre 11489 |
. . . . . . . . 9
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45 | 40, 41, 43, 44 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . 8
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46 | simpll 759 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 12 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . 13
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48 | mnflt 11422 |
. . . . . . . . . . . . 13
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49 | 47, 48 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
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50 | 46, 49 | eqbrtrd 4422 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 50 | a1d 26 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 51 | anim1d 567 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52 | reximdva 2861 |
. . . . . . . 8
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54 | 45, 53 | mpd 15 |
. . . . . . 7
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55 | 54 | a1d 26 |
. . . . . 6
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56 | 1re 9639 |
. . . . . . . . . 10
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57 | mnflt 11422 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 56, 57 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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59 | breq1 4404 |
. . . . . . . . 9
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60 | 58, 59 | mpbiri 237 |
. . . . . . . 8
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61 | ltpnf 11419 |
. . . . . . . . . 10
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62 | 56, 61 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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63 | breq2 4405 |
. . . . . . . . 9
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64 | 62, 63 | mpbiri 237 |
. . . . . . . 8
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65 | 1z 10964 |
. . . . . . . . . 10
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66 | zq 11267 |
. . . . . . . . . 10
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67 | 65, 66 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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68 | breq2 4405 |
. . . . . . . . . . 11
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69 | breq1 4404 |
. . . . . . . . . . 11
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70 | 68, 69 | anbi12d 716 |
. . . . . . . . . 10
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71 | 70 | rspcev 3149 |
. . . . . . . . 9
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72 | 67, 71 | mpan 675 |
. . . . . . . 8
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73 | 60, 64, 72 | syl2an 480 |
. . . . . . 7
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74 | 73 | a1d 26 |
. . . . . 6
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75 | 3mix3 1178 |
. . . . . . . 8
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76 | 75, 1 | sylibr 216 |
. . . . . . 7
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77 | 76, 29 | sylan 474 |
. . . . . 6
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78 | 55, 74, 77 | 3jaodan 1333 |
. . . . 5
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79 | 2, 78 | sylan2b 478 |
. . . 4
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80 | 32, 38, 79 | 3jaoian 1332 |
. . 3
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81 | 1, 80 | sylanb 475 |
. 2
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82 | 81 | 3impia 1204 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1668 ax-4 1681 ax-5 1757 ax-6 1804 ax-7 1850 ax-8 1888 ax-9 1895 ax-10 1914 ax-11 1919 ax-12 1932 ax-13 2090 ax-ext 2430 ax-sep 4524 ax-nul 4533 ax-pow 4580 ax-pr 4638 ax-un 6580 ax-cnex 9592 ax-resscn 9593 ax-1cn 9594 ax-icn 9595 ax-addcl 9596 ax-addrcl 9597 ax-mulcl 9598 ax-mulrcl 9599 ax-mulcom 9600 ax-addass 9601 ax-mulass 9602 ax-distr 9603 ax-i2m1 9604 ax-1ne0 9605 ax-1rid 9606 ax-rnegex 9607 ax-rrecex 9608 ax-cnre 9609 ax-pre-lttri 9610 ax-pre-lttrn 9611 ax-pre-ltadd 9612 ax-pre-mulgt0 9613 ax-pre-sup 9614 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 985 df-3an 986 df-tru 1446 df-ex 1663 df-nf 1667 df-sb 1797 df-eu 2302 df-mo 2303 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2580 df-ne 2623 df-nel 2624 df-ral 2741 df-rex 2742 df-reu 2743 df-rmo 2744 df-rab 2745 df-v 3046 df-sbc 3267 df-csb 3363 df-dif 3406 df-un 3408 df-in 3410 df-ss 3417 df-pss 3419 df-nul 3731 df-if 3881 df-pw 3952 df-sn 3968 df-pr 3970 df-tp 3972 df-op 3974 df-uni 4198 df-iun 4279 df-br 4402 df-opab 4461 df-mpt 4462 df-tr 4497 df-eprel 4744 df-id 4748 df-po 4754 df-so 4755 df-fr 4792 df-we 4794 df-xp 4839 df-rel 4840 df-cnv 4841 df-co 4842 df-dm 4843 df-rn 4844 df-res 4845 df-ima 4846 df-pred 5379 df-ord 5425 df-on 5426 df-lim 5427 df-suc 5428 df-iota 5545 df-fun 5583 df-fn 5584 df-f 5585 df-f1 5586 df-fo 5587 df-f1o 5588 df-fv 5589 df-riota 6250 df-ov 6291 df-oprab 6292 df-mpt2 6293 df-om 6690 df-1st 6790 df-2nd 6791 df-wrecs 7025 df-recs 7087 df-rdg 7125 df-er 7360 df-en 7567 df-dom 7568 df-sdom 7569 df-sup 7953 df-inf 7954 df-pnf 9674 df-mnf 9675 df-xr 9676 df-ltxr 9677 df-le 9678 df-sub 9859 df-neg 9860 df-div 10267 df-nn 10607 df-n0 10867 df-z 10935 df-uz 11157 df-q 11262 |
This theorem is referenced by: qextltlem 11492 xralrple 11495 ixxub 11653 ixxlb 11654 ixxlbOLD 11655 ioo0 11658 ico0 11679 ioc0 11680 blssps 21432 blss 21433 blcld 21513 qdensere 21783 tgqioo 21811 dvlip2 22940 lhop2 22960 itgsubst 22994 itg2gt0cn 31990 qinioo 37631 qndenserrnbllem 38157 |
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