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Theorem qbtwnre 11169
Description: The rational numbers are dense in  RR: any two real numbers have a rational between them. Exercise 6 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
qbtwnre  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem qbtwnre
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 posdif 9832 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
2 resubcl 9673 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
3 nnrecl 10577 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( B  -  A ) )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) )
42, 3sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  /\  0  <  ( B  -  A )
)  ->  E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )
)
54ex 434 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
65ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
71, 6sylbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  E. y  e.  NN  ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
8 nnre 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
10 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
119, 10remulcld 9414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  x.  B )  e.  RR )
12 peano2rem 9675 . . . . . . 7  |-  ( ( y  x.  B )  e.  RR  ->  (
( y  x.  B
)  -  1 )  e.  RR )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( y  x.  B )  - 
1 )  e.  RR )
14 zbtwnre 10951 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
15 reurex 2937 . . . . . 6  |-  ( E! z  e.  ZZ  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
1613, 14, 153syl 20 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
17 znq 10957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  /  y
)  e.  QQ )
1817ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  /  y
)  e.  QQ )
1918adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  /  y
)  e.  QQ )
20 an32 796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  +  1 ) )  /\  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )
)  <->  ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) ) )
218ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  RR )
22 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  RR )
2321, 22remulcld 9414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  A
)  e.  RR )
2413adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  B )  -  1 )  e.  RR )
25 zre 10650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
z  e.  RR )
27 ltletr 9466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  x.  A
)  e.  RR  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  ->  (
y  x.  A )  <  z ) )
2823, 24, 26, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  ->  (
y  x.  A )  <  z ) )
2921recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
y  e.  CC )
30 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  RR )
3130recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  CC )
3222recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  CC )
3329, 31, 32subdid 9800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) )
3433breq2d 4304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( 1  <  (
y  x.  ( B  -  A ) )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
35 1red 9401 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
1  e.  RR )
3630, 22resubcld 9776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( B  -  A
)  e.  RR )
37 nngt0 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  y )
3837ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
0  <  y )
39 ltdivmul 10204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( B  -  A
)  e.  RR  /\  ( y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  <->  1  <  ( y  x.  ( B  -  A ) ) ) )
4035, 36, 21, 38, 39syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  <->  1  <  ( y  x.  ( B  -  A
) ) ) )
4111adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  B
)  e.  RR )
42 ltsub13 9820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  x.  A
)  e.  RR  /\  ( y  x.  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
4323, 41, 35, 42syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <->  1  <  ( ( y  x.  B )  -  ( y  x.  A ) ) ) )
4434, 40, 433bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <-> 
( 1  /  y
)  <  ( B  -  A ) ) )
4544anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  <->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  /\  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z ) ) )
46 ancom 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  y
)  <  ( B  -  A )  /\  (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z )  <->  ( (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) ) )
4745, 46syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  A )  < 
( ( y  x.  B )  -  1 )  /\  ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z )  <->  ( (
( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) ) ) )
48 ltmuldiv2 10203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  (
y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( ( y  x.  A )  < 
z  <->  A  <  ( z  /  y ) ) )
4922, 26, 21, 38, 48syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( y  x.  A )  <  z  <->  A  <  ( z  / 
y ) ) )
5028, 47, 493imtr3d 267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  ( 1  /  y )  < 
( B  -  A
) )  ->  A  <  ( z  /  y
) ) )
5141recnd 9412 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( y  x.  B
)  e.  CC )
52 ax-1cn 9340 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
53 npcan 9619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( y  x.  B ) )
5451, 52, 53sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 )  =  ( y  x.  B ) )
5554breq2d 4304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  <-> 
z  <  ( y  x.  B ) ) )
56 ltdivmul 10204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
y  e.  RR  /\  0  <  y ) )  ->  ( ( z  /  y )  < 
B  <->  z  <  (
y  x.  B ) ) )
5726, 30, 21, 38, 56syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( z  / 
y )  <  B  <->  z  <  ( y  x.  B ) ) )
5855, 57bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  <-> 
( z  /  y
)  <  B )
)
5958biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( z  <  (
( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 )  ->  ( z  / 
y )  <  B
) )
6050, 59anim12d 563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
6120, 60syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 ) )  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  -> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
62 breq2 4296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  ( A  <  x  <->  A  <  ( z  /  y ) ) )
63 breq1 4295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  (
x  <  B  <->  ( z  /  y )  < 
B ) )
6462, 63anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( z  / 
y )  ->  (
( A  <  x  /\  x  <  B )  <-> 
( A  <  (
z  /  y )  /\  ( z  / 
y )  <  B
) ) )
6564rspcev 3073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  /  y
)  e.  QQ  /\  ( A  <  ( z  /  y )  /\  ( z  /  y
)  <  B )
)  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
6619, 61, 65syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( ( y  x.  B
)  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  - 
1 )  +  1 ) )  /\  (
1  /  y )  <  ( B  -  A ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
6766expd 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  NN  /\  z  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) ) )
6867expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( z  e.  ZZ  ->  ( (
( ( y  x.  B )  -  1 )  <_  z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) ) ) )
6968rexlimdv 2840 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  ZZ  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  <_ 
z  /\  z  <  ( ( ( y  x.  B )  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( (
1  /  y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) ) )
7016, 69mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  y )  < 
( B  -  A
)  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) ) )
7170rexlimdva 2841 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  NN  ( 1  / 
y )  <  ( B  -  A )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
727, 71syld 44 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  E. x  e.  QQ  ( A  <  x  /\  x  <  B ) ) )
73723impia 1184 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  E. x  e.  QQ  ( A  < 
x  /\  x  <  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2716   E!wreu 2717   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   ZZcz 10646   QQcq 10953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954
This theorem is referenced by:  qbtwnxr  11170  qsqueeze  11171  nmoleub2lem3  20670  mbfaddlem  21138  rpnnen3lem  29380
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