Theorem qaddcl 7449

Description: Closure of addition of rationals.

Assertion

Ref	Expression
qaddcl	|- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A + B) e. QQ)

Proof of Theorem qaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zmulcl 7389	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. ZZ /\ w e. ZZ) -> (x x. w) e. ZZ)
2		nnz 7362	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> w e. ZZ)
3	1, 2	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ w e. NN) -> (x x. w) e. ZZ)
4	3	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (x x. w) e. ZZ)
5		zmulcl 7389	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. ZZ /\ z e. ZZ) -> (y x. z) e. ZZ)
6		nnz 7362	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. ZZ)
7	5, 6	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ z e. ZZ) -> (y x. z) e. ZZ)
8	7	ad2ant2lr 446	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y x. z) e. ZZ)
9		zaddcl 7374	. . . . . . . . . 10 |- (((x x. w) e. ZZ /\ (y x. z) e. ZZ) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
10	4, 8, 9	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
11	10	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> ((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ)
12		nnmulcl 7124	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> (y x. w) e. NN)
13	12	ad2ant2l 444	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> (y x. w) e. NN)
14	13	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (y x. w) e. NN)
15		opreq12 4891	. . . . . . . . 9 |- ((A = (x / y) /\ B = (z / w)) -> (A + B) = ((x / y) + (z / w)))
16		divadddiv 6960	. . . . . . . . . . 11 |- (((x e. CC /\ z e. CC) /\ ((y e. CC /\ y =/= 0) /\ (w e. CC /\ w =/= 0))) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
17		zcn 7349	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
18		zcn 7349	. . . . . . . . . . . 12 |- (z e. ZZ -> z e. CC)
19	17, 18	anim12i 360	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. ZZ /\ z e. ZZ) -> (x e. CC /\ z e. CC))
20		nncn 7113	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y e. CC)
21		nnne0 7132	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y =/= 0)
22	20, 21	jca 310	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> (y e. CC /\ y =/= 0))
23		nncn 7113	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> w e. CC)
24		nnne0 7132	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. NN -> w =/= 0)
25	23, 24	jca 310	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. NN -> (w e. CC /\ w =/= 0))
26	22, 25	anim12i 360	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. NN /\ w e. NN) -> ((y e. CC /\ y =/= 0) /\ (w e. CC /\ w =/= 0)))
27	16, 19, 26	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. ZZ /\ z e. ZZ) /\ (y e. NN /\ w e. NN)) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
28	27	an4s 566	. . . . . . . . 9 |- (((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) -> ((x / y) + (z / w)) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
29	15, 28	sylan9eqr 1951	. . . . . . . 8 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w)))
30		rcla4eopr 4915	. . . . . . . . 9 |- ((((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w))) -> E.u e. ZZ E.v e. NN (A + B) = (u / v))
31		elq 7437	. . . . . . . . 9 |- ((A + B) e. QQ <-> E.u e. ZZ E.v e. NN (A + B) = (u / v))
32	30, 31	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- ((((x x. w) + (y x. z)) e. ZZ /\ (y x. w) e. NN /\ (A + B) = (((x x. w) + (y x. z)) / (y x. w))) -> (A + B) e. QQ)
33	11, 14, 29, 32	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ (z e. ZZ /\ w e. NN)) /\ (A = (x / y) /\ B = (z / w))) -> (A + B) e. QQ)
34	33	an4s 566	. . . . . 6 |- ((((x e. ZZ /\ y e. NN) /\ A = (x / y)) /\ ((z e. ZZ /\ w e. NN) /\ B = (z / w))) -> (A + B) e. QQ)
35	34	exp43 415	. . . . 5 |- ((x e. ZZ /\ y e. NN) -> (A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A + B) e. QQ))))
36	35	r19.23aivv 2217	. . . 4 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> ((z e. ZZ /\ w e. NN) -> (B = (z / w) -> (A + B) e. QQ)))
37	36	r19.23advv 2218	. . 3 |- (E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) -> (E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w) -> (A + B) e. QQ))
38	37	imp 377	. 2 |- ((E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y) /\ E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w)) -> (A + B) e. QQ)
39		elq 7437	. 2 |- (A e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN A = (x / y))
40		elq 7437	. 2 |- (B e. QQ <-> E.z e. ZZ E.w e. NN B = (z / w))
41	38, 39, 40	syl2anb 504	1 |- ((A e. QQ /\ B e. QQ) -> (A + B) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447  NNcn 6449  ZZcz 6451  QQcq 6452

This theorem is referenced by:  qsubcl 7452  qrevaddcl 7455

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436

Copyright terms: Public domain