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Theorem qaddcl 10968
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 10954 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 elq 10954 . 2  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
3 nnz 10667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
4 zmulcl 10692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  w
)  e.  ZZ )
53, 4sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( x  x.  w
)  e.  ZZ )
65ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  x.  w
)  e.  ZZ )
7 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  z  e.  ZZ )
8 nnz 10667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
98adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
10 zmulcl 10692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  y
)  e.  ZZ )
117, 9, 10syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( z  x.  y
)  e.  ZZ )
126, 11zaddcld 10750 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y
) )  e.  ZZ )
14 nnmulcl 10344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  x.  w
)  e.  NN )
1514ad2ant2l 745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( y  x.  w
)  e.  NN )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( y  x.  w )  e.  NN )
17 oveq12 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  +  B
)  =  ( ( x  /  y )  +  ( z  /  w ) ) )
18 zcn 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
19 zcn 10650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
2018, 19anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
21 nncn 10329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
22 nnne0 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
2321, 22jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
24 nncn 10329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
25 nnne0 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  =/=  0 )
2624, 25jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) )
2723, 26anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) ) )
28 divadddiv 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
x  /  y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y
) )  /  (
y  x.  w ) ) )
2920, 27, 28syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
3029an4s 822 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
3117, 30sylan9eqr 2496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  =  ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
32 rspceov 6127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( u  / 
v ) )
33 elq 10954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  B )  e.  QQ  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( u  /  v ) )
3432, 33sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3513, 16, 31, 34syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3635an4s 822 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3736exp43 612 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) ) )
3837rexlimivv 2845 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w
)  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) )
3938rexlimdvv 2846 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
4039imp 429 . 2  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
411, 2, 40syl2anb 479 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   E.wrex 2715  (class class class)co 6090   CCcc 9279   0cc0 9281    + caddc 9284    x. cmul 9286    / cdiv 9992   NNcn 10321   ZZcz 10645   QQcq 10952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-q 10953
This theorem is referenced by:  qsubcl  10971  qrevaddcl  10974  pcaddlem  13949  pcadd2  13951  qsubdrg  17864  vitalilem1  21087  qaa  21788  padicabv  22878  ostth3  22886  mblfinlem1  28426  rmxyadd  29260  mpaaeu  29505
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