Theorem qabvle 23676

Description: By using induction on N, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )

Assertion

Ref	Expression
qabvle	|- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( F ` k ) = ( F ` 0 ) )
2		id 22	. . . . 5 |- ( k = 0 -> k = 0 )
3	1, 2	breq12d 4466	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` 0 ) <_ 0 ) )
4	3	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 ) ) )
5		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
6		id 22	. . . . 5 |- ( k = n -> k = n )
7	5, 6	breq12d 4466	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` n ) <_ n ) )
8	7	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = n -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) ) )
9		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
10		id 22	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> k = ( n + 1 ) )
11	9, 10	breq12d 4466	. . . 4 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
12	11	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5872	. . . . 5 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
14		id 22	. . . . 5 |- ( k = N -> k = N )
15	13, 14	breq12d 4466	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` N ) <_ N ) )
16	15	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = N -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) ) )
17		qabsabv.a	. . . . 5 |- A = (AbsVal ` Q )
18		qrng.q	. . . . . 6 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
19	18	qrng0 23672	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` Q )
20	17, 19	abv0 17351	. . . 4 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) = 0 )
21		0le0 10637	. . . 4 |- 0 <_ 0
22	20, 21	syl6eqbr 4490	. . 3 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 )
23		nn0p1nn 10847	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
25		nnq 11207	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( n + 1 ) e. QQ )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. QQ )
27	18	qrngbas 23670	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
28	17, 27	abvcl 17344	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n + 1 ) e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
29	26, 28	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
30		nn0z 10899	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
31	30	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. ZZ )
32		zq 11200	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. QQ )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. QQ )
34	17, 27	abvcl 17344	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
35	33, 34	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
36		peano2re 9764	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. RR -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
38	31	zred 10978	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. RR )
39		peano2re 9764	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
41		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> F e. A )
42		1z 10906	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
43		zq 11200	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
44	42, 43	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. QQ )
45		qex 11206	. . . . . . . . . . 11 |- QQ e. _V
46		cnfldadd 18295	. . . . . . . . . . . 12 |- + = ( +g ` ℂfld )
47	18, 46	ressplusg 14614	. . . . . . . . . . 11 |- ( QQ e. _V -> + = ( +g ` Q ) )
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- + = ( +g ` Q )
49	17, 27, 48	abvtri 17350	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
51		ax-1ne0 9573	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
52	18	qrng1 23673	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` Q )
53	17, 52, 19	abv1z 17352	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
54	51, 53	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. A -> ( F ` 1 ) = 1 )
55	54	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
56	55	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` n ) + 1 ) )
57	50, 56	breqtrd 4477	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) )
58		1red 9623	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. RR )
59		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) <_ n )
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 10178	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( n + 1 ) )
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 9750	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) )
62	61	expr 615	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ n e. NN0 ) -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
63	62	expcom 435	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( F e. A -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
64	63	a2d 26	. . 3 |- ( n e. NN0 -> ( ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) -> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 10969	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) )
66	65	impcom 430	1 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   + caddc 9507   <_ cle 9641   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   QQcq 11194   ↾_s cress 14508   +g cplusg 14572  AbsValcabv 17336  ℂ_fldccnfld 18290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-ico 11547  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-abv 17337  df-cnfld 18291

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  23685  ostth2  23688