Theorem qabvle 24447

Description: By using induction on N, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )

Assertion

Ref	Expression
qabvle	|- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5877	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( F ` k ) = ( F ` 0 ) )
2		id 23	. . . . 5 |- ( k = 0 -> k = 0 )
3	1, 2	breq12d 4433	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` 0 ) <_ 0 ) )
4	3	imbi2d 317	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 ) ) )
5		fveq2 5877	. . . . 5 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
6		id 23	. . . . 5 |- ( k = n -> k = n )
7	5, 6	breq12d 4433	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` n ) <_ n ) )
8	7	imbi2d 317	. . 3 |- ( k = n -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) ) )
9		fveq2 5877	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
10		id 23	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> k = ( n + 1 ) )
11	9, 10	breq12d 4433	. . . 4 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
12	11	imbi2d 317	. . 3 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5877	. . . . 5 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
14		id 23	. . . . 5 |- ( k = N -> k = N )
15	13, 14	breq12d 4433	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` N ) <_ N ) )
16	15	imbi2d 317	. . 3 |- ( k = N -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) ) )
17		qabsabv.a	. . . . 5 |- A = (AbsVal ` Q )
18		qrng.q	. . . . . 6 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
19	18	qrng0 24443	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` Q )
20	17, 19	abv0 18044	. . . 4 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) = 0 )
21		0le0 10699	. . . 4 |- 0 <_ 0
22	20, 21	syl6eqbr 4458	. . 3 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 )
23		nn0p1nn 10909	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
24	23	ad2antrl 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
25		nnq 11277	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( n + 1 ) e. QQ )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. QQ )
27	18	qrngbas 24441	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
28	17, 27	abvcl 18037	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n + 1 ) e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
29	26, 28	syldan 472	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
30		nn0z 10960	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
31	30	ad2antrl 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. ZZ )
32		zq 11270	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. QQ )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. QQ )
34	17, 27	abvcl 18037	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
35	33, 34	syldan 472	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
36		peano2re 9806	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. RR -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
38	31	zred 11040	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. RR )
39		peano2re 9806	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
41		simpl 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> F e. A )
42		1z 10967	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
43		zq 11270	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
44	42, 43	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. QQ )
45		qex 11276	. . . . . . . . . . 11 |- QQ e. _V
46		cnfldadd 18960	. . . . . . . . . . . 12 |- + = ( +g ` ℂfld )
47	18, 46	ressplusg 15224	. . . . . . . . . . 11 |- ( QQ e. _V -> + = ( +g ` Q ) )
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- + = ( +g ` Q )
49	17, 27, 48	abvtri 18043	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
51		ax-1ne0 9608	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
52	18	qrng1 24444	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` Q )
53	17, 52, 19	abv1z 18045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
54	51, 53	mpan2 675	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. A -> ( F ` 1 ) = 1 )
55	54	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
56	55	oveq2d 6317	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` n ) + 1 ) )
57	50, 56	breqtrd 4445	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) )
58		1red 9658	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. RR )
59		simprr 764	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) <_ n )
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 10227	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( n + 1 ) )
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 9792	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) )
62	61	expr 618	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ n e. NN0 ) -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
63	62	expcom 436	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( F e. A -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
64	63	a2d 29	. . 3 |- ( n e. NN0 -> ( ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) -> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 11030	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) )
66	65	impcom 431	1 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   _Vcvv 3081   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   <_ cle 9676   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   QQcq 11264   ↾_s cress 15107   +g cplusg 15175  AbsValcabv 18029  ℂ_fldccnfld 18955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-ico 11641  df-fz 11785  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-0g 15325  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-subg 16799  df-cmn 17417  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-cring 17768  df-oppr 17836  df-dvdsr 17854  df-unit 17855  df-invr 17885  df-dvr 17896  df-drng 17962  df-subrg 17991  df-abv 18030  df-cnfld 18956

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  24456  ostth2  24459