Theorem qabvle 23675

Description: By using induction on N, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )

Assertion

Ref	Expression
qabvle	|- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5852	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( F ` k ) = ( F ` 0 ) )
2		id 22	. . . . 5 |- ( k = 0 -> k = 0 )
3	1, 2	breq12d 4446	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` 0 ) <_ 0 ) )
4	3	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 ) ) )
5		fveq2 5852	. . . . 5 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
6		id 22	. . . . 5 |- ( k = n -> k = n )
7	5, 6	breq12d 4446	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` n ) <_ n ) )
8	7	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = n -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) ) )
9		fveq2 5852	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
10		id 22	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> k = ( n + 1 ) )
11	9, 10	breq12d 4446	. . . 4 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
12	11	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5852	. . . . 5 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
14		id 22	. . . . 5 |- ( k = N -> k = N )
15	13, 14	breq12d 4446	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` N ) <_ N ) )
16	15	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = N -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) ) )
17		qabsabv.a	. . . . 5 |- A = (AbsVal ` Q )
18		qrng.q	. . . . . 6 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
19	18	qrng0 23671	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` Q )
20	17, 19	abv0 17348	. . . 4 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) = 0 )
21		0le0 10626	. . . 4 |- 0 <_ 0
22	20, 21	syl6eqbr 4470	. . 3 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 )
23		nn0p1nn 10836	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
25		nnq 11199	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( n + 1 ) e. QQ )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. QQ )
27	18	qrngbas 23669	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
28	17, 27	abvcl 17341	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n + 1 ) e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
29	26, 28	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
30		nn0z 10888	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
31	30	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. ZZ )
32		zq 11192	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. QQ )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. QQ )
34	17, 27	abvcl 17341	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
35	33, 34	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
36		peano2re 9751	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. RR -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
38	31	zred 10969	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. RR )
39		peano2re 9751	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
41		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> F e. A )
42		1z 10895	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
43		zq 11192	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
44	42, 43	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. QQ )
45		qex 11198	. . . . . . . . . . 11 |- QQ e. _V
46		cnfldadd 18293	. . . . . . . . . . . 12 |- + = ( +g ` ℂfld )
47	18, 46	ressplusg 14611	. . . . . . . . . . 11 |- ( QQ e. _V -> + = ( +g ` Q ) )
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- + = ( +g ` Q )
49	17, 27, 48	abvtri 17347	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
51		ax-1ne0 9559	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
52	18	qrng1 23672	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` Q )
53	17, 52, 19	abv1z 17349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
54	51, 53	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. A -> ( F ` 1 ) = 1 )
55	54	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
56	55	oveq2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` n ) + 1 ) )
57	50, 56	breqtrd 4457	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) )
58		1red 9609	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. RR )
59		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) <_ n )
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 10167	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( n + 1 ) )
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 9737	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) )
62	61	expr 615	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ n e. NN0 ) -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
63	62	expcom 435	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( F e. A -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
64	63	a2d 26	. . 3 |- ( n e. NN0 -> ( ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) -> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 10960	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) )
66	65	impcom 430	1 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   _Vcvv 3093   class class class wbr 4433   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   + caddc 9493   <_ cle 9627   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   QQcq 11186   ↾_s cress 14505   +g cplusg 14569  AbsValcabv 17333  ℂ_fldccnfld 18288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-addf 9569  ax-mulf 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-ico 11539  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-subg 16067  df-cmn 16669  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-oppr 17140  df-dvdsr 17158  df-unit 17159  df-invr 17189  df-dvr 17200  df-drng 17266  df-subrg 17295  df-abv 17334  df-cnfld 18289

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  23684  ostth2  23687