Theorem qabvle 23017

Description: By using induction on N, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )

Assertion

Ref	Expression
qabvle	|- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5802	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( F ` k ) = ( F ` 0 ) )
2		id 22	. . . . 5 |- ( k = 0 -> k = 0 )
3	1, 2	breq12d 4416	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` 0 ) <_ 0 ) )
4	3	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 ) ) )
5		fveq2 5802	. . . . 5 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
6		id 22	. . . . 5 |- ( k = n -> k = n )
7	5, 6	breq12d 4416	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` n ) <_ n ) )
8	7	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = n -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) ) )
9		fveq2 5802	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
10		id 22	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> k = ( n + 1 ) )
11	9, 10	breq12d 4416	. . . 4 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
12	11	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5802	. . . . 5 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
14		id 22	. . . . 5 |- ( k = N -> k = N )
15	13, 14	breq12d 4416	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` N ) <_ N ) )
16	15	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = N -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) ) )
17		qabsabv.a	. . . . 5 |- A = (AbsVal ` Q )
18		qrng.q	. . . . . 6 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
19	18	qrng0 23013	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` Q )
20	17, 19	abv0 17049	. . . 4 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) = 0 )
21		0le0 10526	. . . 4 |- 0 <_ 0
22	20, 21	syl6eqbr 4440	. . 3 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 )
23		nn0p1nn 10734	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
25		nnq 11081	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( n + 1 ) e. QQ )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. QQ )
27	18	qrngbas 23011	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
28	17, 27	abvcl 17042	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n + 1 ) e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
29	26, 28	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
30		nn0z 10784	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
31	30	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. ZZ )
32		zq 11074	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. QQ )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. QQ )
34	17, 27	abvcl 17042	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
35	33, 34	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
36		peano2re 9657	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. RR -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
38	31	zred 10862	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. RR )
39		peano2re 9657	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
41		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> F e. A )
42		1z 10791	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
43		zq 11074	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
44	42, 43	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. QQ )
45		qex 11080	. . . . . . . . . . 11 |- QQ e. _V
46		cnfldadd 17958	. . . . . . . . . . . 12 |- + = ( +g ` ℂfld )
47	18, 46	ressplusg 14403	. . . . . . . . . . 11 |- ( QQ e. _V -> + = ( +g ` Q ) )
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- + = ( +g ` Q )
49	17, 27, 48	abvtri 17048	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1219	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
51		ax-1ne0 9466	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
52	18	qrng1 23014	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` Q )
53	17, 52, 19	abv1z 17050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
54	51, 53	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. A -> ( F ` 1 ) = 1 )
55	54	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
56	55	oveq2d 6219	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` n ) + 1 ) )
57	50, 56	breqtrd 4427	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) )
58		1red 9516	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. RR )
59		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) <_ n )
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( n + 1 ) )
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 9643	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) )
62	61	expr 615	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ n e. NN0 ) -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
63	62	expcom 435	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( F e. A -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
64	63	a2d 26	. . 3 |- ( n e. NN0 -> ( ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) -> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 10853	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) )
66	65	impcom 430	1 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398   + caddc 9400   <_ cle 9534   NNcn 10437   NN0cn0 10694   ZZcz 10761   QQcq 11068   ↾_s cress 14297   +g cplusg 14361  AbsValcabv 17034  ℂ_fldccnfld 17953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-ico 11421  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-subg 15801  df-cmn 16404  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-unit 16867  df-invr 16897  df-dvr 16908  df-drng 16967  df-subrg 16996  df-abv 17035  df-cnfld 17954

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  23026  ostth2  23029