MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qabvle Structured version   Unicode version

Theorem qabvle 22849
Description: By using induction on  N, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q  |-  Q  =  (flds  QQ )
qabsabv.a  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
Assertion
Ref Expression
qabvle  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )

Proof of Theorem qabvle
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
0 ) )
2 id 22 . . . . 5  |-  ( k  =  0  ->  k  =  0 )
31, 2breq12d 4300 . . . 4  |-  ( k  =  0  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  0 )  <_ 
0 ) )
43imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  0  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  0
)  <_  0 ) ) )
5 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
6 id 22 . . . . 5  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
75, 6breq12d 4300 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  n )  <_  n
) )
87imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  n  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  n
)  <_  n )
) )
9 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
10 id 22 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  k  =  ( n  + 
1 ) )
119, 10breq12d 4300 . . . 4  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
n  +  1 ) ) )
1211imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5686 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( F `  k )  =  ( F `  N ) )
14 id 22 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  k  =  N )
1513, 14breq12d 4300 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  (
( F `  k
)  <_  k  <->  ( F `  N )  <_  N
) )
1615imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  (
( F  e.  A  ->  ( F `  k
)  <_  k )  <->  ( F  e.  A  -> 
( F `  N
)  <_  N )
) )
17 qabsabv.a . . . . 5  |-  A  =  (AbsVal `  Q )
18 qrng.q . . . . . 6  |-  Q  =  (flds  QQ )
1918qrng0 22845 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g `  Q )
2017, 19abv0 16894 . . . 4  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  =  0 )
21 0le0 10403 . . . 4  |-  0  <_  0
2220, 21syl6eqbr 4324 . . 3  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  0 )  <_  0 )
23 nn0p1nn 10611 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  NN )
25 nnq 10958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  QQ )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  QQ )
2718qrngbas 22843 . . . . . . . . 9  |-  QQ  =  ( Base `  Q )
2817, 27abvcl 16887 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  +  1
)  e.  QQ )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
2926, 28syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
30 nn0z 10661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN0  ->  n  e.  ZZ )
3130ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  ZZ )
32 zq 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  QQ )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  QQ )
3417, 27abvcl 16887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
3533, 34syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  n )  e.  RR )
36 peano2re 9534 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  RR  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  e.  RR )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR )
3831zred 10739 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  n  e.  RR )
39 peano2re 9534 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
41 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  F  e.  A )
42 1z 10668 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
43 zq 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
4442, 43mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  1  e.  QQ )
45 qex 10957 . . . . . . . . . . 11  |-  QQ  e.  _V
46 cnfldadd 17798 . . . . . . . . . . . 12  |-  +  =  ( +g  ` fld )
4718, 46ressplusg 14272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( QQ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Q
) )
4845, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  +  =  ( +g  `  Q )
4917, 27, 48abvtri 16893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  QQ  /\  1  e.  QQ )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( ( F `
 n )  +  ( F `  1
) ) )
5041, 33, 44, 49syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( F `  n
)  +  ( F `
 1 ) ) )
51 ax-1ne0 9343 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
5218qrng1 22846 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 1r `  Q )
5317, 52, 19abv1z 16895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  A  /\  1  =/=  0 )  -> 
( F `  1
)  =  1 )
5451, 53mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  A  ->  ( F `  1 )  =  1 )
5554adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  1 )  =  1 )
5655oveq2d 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  ( F ` 
1 ) )  =  ( ( F `  n )  +  1 ) )
5750, 56breqtrd 4311 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( F `  n
)  +  1 ) )
58 1red 9393 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  1  e.  RR )
59 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  n )  <_  n
)
6035, 38, 58, 59leadd1dd 9945 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( n  +  1 ) )
6129, 37, 40, 57, 60letrd 9520 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  A  /\  ( n  e.  NN0  /\  ( F `  n
)  <_  n )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  (
n  +  1 ) )
6261expr 615 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  A  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( F `  n )  <_  n  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) )
6362expcom 435 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( F  e.  A  ->  (
( F `  n
)  <_  n  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  <_  ( n  + 
1 ) ) ) )
6463a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( F  e.  A  -> 
( F `  n
)  <_  n )  ->  ( F  e.  A  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  <_  ( n  +  1 ) ) ) )
654, 8, 12, 16, 22, 64nn0ind 10730 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( F  e.  A  ->  ( F `  N )  <_  N ) )
6665impcom 430 1  |-  ( ( F  e.  A  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( F `  N
)  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    <_ cle 9411   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   QQcq 10945   ↾s cress 14167   +g cplusg 14230  AbsValcabv 16879  ℂfldccnfld 17793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-ico 11298  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-subg 15669  df-cmn 16270  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-drng 16812  df-subrg 16841  df-abv 16880  df-cnfld 17794
This theorem is referenced by:  ostth2lem2  22858  ostth2  22861
  Copyright terms: Public domain W3C validator