Theorem qabvle 22849

Description: By using induction on N, we show a long-range inequality coming from the triangle inequality. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )

Assertion

Ref	Expression
qabvle	|- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Proof of Theorem qabvle

Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5686	. . . . 5 |- ( k = 0 -> ( F ` k ) = ( F ` 0 ) )
2		id 22	. . . . 5 |- ( k = 0 -> k = 0 )
3	1, 2	breq12d 4300	. . . 4 |- ( k = 0 -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` 0 ) <_ 0 ) )
4	3	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = 0 -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 ) ) )
5		fveq2 5686	. . . . 5 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
6		id 22	. . . . 5 |- ( k = n -> k = n )
7	5, 6	breq12d 4300	. . . 4 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` n ) <_ n ) )
8	7	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = n -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) ) )
9		fveq2 5686	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
10		id 22	. . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> k = ( n + 1 ) )
11	9, 10	breq12d 4300	. . . 4 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
12	11	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5686	. . . . 5 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
14		id 22	. . . . 5 |- ( k = N -> k = N )
15	13, 14	breq12d 4300	. . . 4 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) <_ k <-> ( F ` N ) <_ N ) )
16	15	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = N -> ( ( F e. A -> ( F ` k ) <_ k ) <-> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) ) )
17		qabsabv.a	. . . . 5 |- A = (AbsVal ` Q )
18		qrng.q	. . . . . 6 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
19	18	qrng0 22845	. . . . 5 |- 0 = ( 0g ` Q )
20	17, 19	abv0 16894	. . . 4 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) = 0 )
21		0le0 10403	. . . 4 |- 0 <_ 0
22	20, 21	syl6eqbr 4324	. . 3 |- ( F e. A -> ( F ` 0 ) <_ 0 )
23		nn0p1nn 10611	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( n + 1 ) e. NN )
24	23	ad2antrl 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. NN )
25		nnq 10958	. . . . . . . . 9 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( n + 1 ) e. QQ )
26	24, 25	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. QQ )
27	18	qrngbas 22843	. . . . . . . . 9 |- QQ = ( Base ` Q )
28	17, 27	abvcl 16887	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n + 1 ) e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
29	26, 28	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
30		nn0z 10661	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
31	30	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. ZZ )
32		zq 10951	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> n e. QQ )
33	31, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. QQ )
34	17, 27	abvcl 16887	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ ) -> ( F ` n ) e. RR )
35	33, 34	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
36		peano2re 9534	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. RR -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
38	31	zred 10739	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> n e. RR )
39		peano2re 9534	. . . . . . . 8 |- ( n e. RR -> ( n + 1 ) e. RR )
40	38, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( n + 1 ) e. RR )
41		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> F e. A )
42		1z 10668	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
43		zq 10951	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> 1 e. QQ )
44	42, 43	mp1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. QQ )
45		qex 10957	. . . . . . . . . . 11 |- QQ e. _V
46		cnfldadd 17798	. . . . . . . . . . . 12 |- + = ( +g ` ℂfld )
47	18, 46	ressplusg 14272	. . . . . . . . . . 11 |- ( QQ e. _V -> + = ( +g ` Q ) )
48	45, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- + = ( +g ` Q )
49	17, 27, 48	abvtri 16893	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ n e. QQ /\ 1 e. QQ ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
50	41, 33, 44, 49	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) )
51		ax-1ne0 9343	. . . . . . . . . . 11 |- 1 =/= 0
52	18	qrng1 22846	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 = ( 1r ` Q )
53	17, 52, 19	abv1z 16895	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. A /\ 1 =/= 0 ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
54	51, 53	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. A -> ( F ` 1 ) = 1 )
55	54	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` 1 ) = 1 )
56	55	oveq2d 6102	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + ( F ` 1 ) ) = ( ( F ` n ) + 1 ) )
57	50, 56	breqtrd 4311	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) )
58		1red 9393	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> 1 e. RR )
59		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` n ) <_ n )
60	35, 38, 58, 59	leadd1dd 9945	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( n + 1 ) )
61	29, 37, 40, 57, 60	letrd 9520	. . . . . 6 |- ( ( F e. A /\ ( n e. NN0 /\ ( F ` n ) <_ n ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) )
62	61	expr 615	. . . . 5 |- ( ( F e. A /\ n e. NN0 ) -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) )
63	62	expcom 435	. . . 4 |- ( n e. NN0 -> ( F e. A -> ( ( F ` n ) <_ n -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
64	63	a2d 26	. . 3 |- ( n e. NN0 -> ( ( F e. A -> ( F ` n ) <_ n ) -> ( F e. A -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( n + 1 ) ) ) )
65	4, 8, 12, 16, 22, 64	nn0ind 10730	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( F e. A -> ( F ` N ) <_ N ) )
66	65	impcom 430	1 |- ( ( F e. A /\ N e. NN0 ) -> ( F ` N ) <_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   _Vcvv 2967   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   <_ cle 9411   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   QQcq 10945   ↾_s cress 14167   +g cplusg 14230  AbsValcabv 16879  ℂ_fldccnfld 17793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-ico 11298  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-subg 15669  df-cmn 16270  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-unit 16722  df-invr 16752  df-dvr 16763  df-drng 16812  df-subrg 16841  df-abv 16880  df-cnfld 17794

This theorem is referenced by:  ostth2lem2  22858  ostth2  22861