MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  q1pcl Structured version   Unicode version

Theorem q1pcl 21745
Description: Closure of the quotient by a unitic polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
q1pcl.q  |-  Q  =  (quot1p `  R )
q1pcl.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
q1pcl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
q1pcl.c  |-  C  =  (Unic1p `  R )
Assertion
Ref Expression
q1pcl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F Q G )  e.  B )

Proof of Theorem q1pcl
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( F Q G )  =  ( F Q G )
2 q1pcl.q . . . 4  |-  Q  =  (quot1p `  R )
3 q1pcl.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4 q1pcl.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
5 eqid 2451 . . . 4  |-  ( deg1  `  R
)  =  ( deg1  `  R
)
6 eqid 2451 . . . 4  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
7 eqid 2451 . . . 4  |-  ( .r
`  P )  =  ( .r `  P
)
8 q1pcl.c . . . 4  |-  C  =  (Unic1p `  R )
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8q1peqb 21744 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( ( F Q G )  e.  B  /\  ( ( deg1  `  R ) `  ( F ( -g `  P ) ( ( F Q G ) ( .r `  P
) G ) ) )  <  ( ( deg1  `  R ) `  G
) )  <->  ( F Q G )  =  ( F Q G ) ) )
101, 9mpbiri 233 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F Q G )  e.  B  /\  ( ( deg1  `  R ) `  ( F ( -g `  P ) ( ( F Q G ) ( .r `  P
) G ) ) )  <  ( ( deg1  `  R ) `  G
) ) )
1110simpld 459 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F Q G )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    < clt 9521   Basecbs 14278   .rcmulr 14343   -gcsg 15517   Ringcrg 16753  Poly1cpl1 17742   deg1 cdg1 21641  Unic1pcuc1p 21716  quot1pcq1p 21717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-addf 9464  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-ofr 6423  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-submnd 15569  df-grp 15649  df-minusg 15650  df-sbg 15651  df-mulg 15652  df-subg 15782  df-ghm 15849  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-abl 16386  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-cring 16756  df-oppr 16823  df-dvdsr 16841  df-unit 16842  df-invr 16872  df-subrg 16971  df-lmod 17058  df-lss 17122  df-rlreg 17462  df-psr 17531  df-mvr 17532  df-mpl 17533  df-opsr 17535  df-psr1 17745  df-vr1 17746  df-ply1 17747  df-coe1 17748  df-cnfld 17930  df-mdeg 21642  df-deg1 21643  df-uc1p 21721  df-q1p 21722
This theorem is referenced by:  r1pcl  21747  r1pid  21749  dvdsq1p  21750  dvdsr1p  21751  ply1rem  21753  fta1glem1  21755  fta1glem2  21756  ig1pdvds  21766
  Copyright terms: Public domain W3C validator