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Theorem pythagtriplem19 14369
Description: Lemma for pythagtrip 14370. Introduce  k and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem19  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n, k    B, m, n, k    C, m, n, k

Proof of Theorem pythagtriplem19
StepHypRef Expression
1 nnz 10907 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
2 nnz 10907 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
31, 2anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
4 nnne0 10589 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  =/=  0 )
54neneqd 2659 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  A  =  0 )
65intnanrd 917 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
8 gcdn0cl 14164 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
93, 7, 8syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN )
1093adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
11103ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( A  gcd  B
)  e.  NN )
12 gcddvds 14165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
131, 2, 12syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
14133adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
1514simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  ||  A )
1610nnzd 10989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
1710nnne0d 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  =/=  0 )
1813ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
19 dvdsval2 14001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
2115, 20mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
22 nnre 10563 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
23223ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2410nnred 10571 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  e.  RR )
25 nngt0 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
26253ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  A )
2710nngt0d 10600 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( A  gcd  B
) )
2823, 24, 26, 27divgt0d 10501 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )
29 elnnz 10895 . . . . . . 7  |-  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
3021, 28, 29sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
31303ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( A  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
3214simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  ||  B )
3323ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
34 dvdsval2 14001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
3516, 17, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
3632, 35mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
37 nnre 10563 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
38373ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
39 nngt0 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
40393ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
4138, 24, 40, 27divgt0d 10501 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )
42 elnnz 10895 . . . . . . 7  |-  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
4336, 41, 42sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
44433ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
45 dvdssq 14210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( A ^ 2 ) ) )
4616, 18, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  A  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( A ^ 2 ) ) )
47 dvdssq 14210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( B ^ 2 ) ) )
4816, 33, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  B  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( B ^ 2 ) ) )
4946, 48anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B )  <->  ( (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 )  /\  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) ) ) )
5014, 49mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( A ^
2 )  /\  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) ) )
5110nnsqcld 12333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 )  e.  NN )
5251nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
53 nnsqcl 12240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
54533ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
5554nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
56 nnsqcl 12240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
57563ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
5857nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
59 dvds2add 14027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  gcd  B ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( A ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) )  -> 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
6052, 55, 58, 59syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( A ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( B ^
2 ) )  -> 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
6150, 60mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) 
||  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
63 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
6462, 63breqtrd 4480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( C ^ 2 ) )
65 nnz 10907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  ZZ )
66653ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  ZZ )
67 dvdssq 14210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  C  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( C ^ 2 ) ) )
6816, 66, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  C  <->  ( ( A  gcd  B ) ^
2 )  ||  ( C ^ 2 ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  C 
<->  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) 
||  ( C ^
2 ) ) )
7064, 69mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( A  gcd  B )  ||  C )
71 dvdsval2 14001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  C  <->  ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
7216, 17, 66, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  C  <->  ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
7372adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  C 
<->  ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
7470, 73mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  e.  ZZ )
75 nnre 10563 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
76753ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
77 nngt0 10585 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
78773ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
7976, 24, 78, 27divgt0d 10501 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )
8079adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )
81 elnnz 10895 . . . . . . 7  |-  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
8274, 80, 81sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  e.  NN )
83823adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
84 nncn 10564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
85843ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
8610nncnd 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
8785, 86, 17sqdivd 12326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) )
88 nncn 10564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
89883ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
9089, 86, 17sqdivd 12326 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( B ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) )
9187, 90oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A  / 
( A  gcd  B
) ) ^ 2 )  +  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) )  +  ( ( B ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) ) )
92913ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  +  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) )  +  ( ( B ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) ) )
9354nncnd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
9457nncnd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
9551nncnd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 )  e.  CC )
9651nnne0d 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
) ^ 2 )  =/=  0 )
9793, 94, 95, 96divdird 10379 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) )  +  ( ( B ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) ) )
98973ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) )  +  ( ( B ^ 2 )  / 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) ) ) )
9992, 98eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  +  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) )  / 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) ) )
100 nncn 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
1011003ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
102101, 86, 17sqdivd 12326 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( C  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( C ^
2 )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) ) )
1031023ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( C  / 
( A  gcd  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( C ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) ) )
104 oveq1 6303 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  / 
( ( A  gcd  B ) ^ 2 ) ) )
1051043ad2ant2 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  (
( A  gcd  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) ) )
106103, 105eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( C  / 
( A  gcd  B
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  /  ( ( A  gcd  B ) ^
2 ) ) )
10799, 106eqtr4d 2501 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  +  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 ) )
108 gcddiv 14199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  e.  NN )  /\  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )  ->  ( ( A  gcd  B )  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) ) )
10918, 33, 10, 14, 108syl31anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
11086, 17dividd 10339 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1 )
111109, 110eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  1 )
1121113ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1 )
113 simp3 998 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )
114 pythagtriplem18 14368 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  / 
( A  gcd  B
) )  e.  NN  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  /\  ( C  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )  /\  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  +  ( ( B  / 
( A  gcd  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ^ 2 )  /\  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  gcd  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  1  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
11531, 44, 83, 107, 112, 113, 114syl312anc 1249 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  (
( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
11685, 86, 17divcan2d 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  A )
117116eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
11889, 86, 17divcan2d 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  B )
119118eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
120101, 86, 17divcan2d 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  C )
121120eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
122117, 119, 1213jca 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
1231223ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( A  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) ) )
124 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) )
125124eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  ->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  A  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )
1261253ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  A  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )
127 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )
128127eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  ->  ( B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  B  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ) )
1291283ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  B  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ) )
130 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  ->  (
( A  gcd  B
)  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )
131130eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  ->  ( C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  C  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )
1321313ad2ant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) )  <->  C  =  (
( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )
133126, 129, 1323anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( C  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  <->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
134123, 133syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
135134reximdv 2931 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( E. m  e.  NN  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
136135reximdv 2931 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( ( A  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  /\  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  ( C  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
137115, 136mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
138 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) )
139138eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  <->  A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )
140 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )
141140eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  <->  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) ) )
142 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )
143142eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) )  <->  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )
144139, 141, 1433anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
1451442rexbidv 2975 . . . 4  |-  ( k  =  ( A  gcd  B )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B
)  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
146145rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  NN  /\  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( ( A  gcd  B )  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
14711, 137, 146syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
148 rexcom 3019 . . 3  |-  ( E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. k  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
149 rexcom 3019 . . . 4  |-  ( E. k  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
150149rexbii 2959 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  E. k  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
151148, 150bitri 249 . 2  |-  ( E. k  e.  NN  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
152147, 151sylib 196 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ^cexp 12169    || cdvds 13998    gcd cgcd 14156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230
This theorem is referenced by:  pythagtrip  14370
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