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Theorem pythagtriplem18 13920
Description: Lemma for pythagtrip 13922. Wrap the previous  M and  N up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  /\  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n    B, m, n    C, m, n

Proof of Theorem pythagtriplem18
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )
21pythagtriplem13 13915 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )
43pythagtriplem11 13913 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN )
53, 1pythagtriplem15 13917 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
63, 1pythagtriplem16 13918 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
73, 1pythagtriplem17 13919 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
8 oveq1 6119 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( n ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )
98oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  =  ( ( m ^
2 )  -  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) )
109eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  <->  A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
11 oveq2 6120 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m  x.  n )  =  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
1211oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  =  ( 2  x.  (
m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
1312eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  <->  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) ) )
148oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) )  =  ( ( m ^
2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) )
1514eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  <->  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
1610, 13, 153anbi123d 1289 . . 3  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  C  =  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) )  <-> 
( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
17 oveq1 6119 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )
1817oveq1d 6127 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
1918eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )  <->  A  =  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
20 oveq1 6119 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
2120oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( 2  x.  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
2221eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  <-> 
B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) ) )
2317oveq1d 6127 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
2423eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )  <->  C  =  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
2519, 22, 243anbi123d 1289 . . 3  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )  <->  ( A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
2616, 25rspc2ev 3102 . 2  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  e.  NN  /\  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN  /\  ( A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  C  =  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )
272, 4, 5, 6, 7, 26syl113anc 1230 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  /\  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2737   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   ^cexp 11886   sqrcsqr 12743    || cdivides 13556    gcd cgcd 13711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-dvds 13557  df-gcd 13712  df-prm 13785
This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  13921
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