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Theorem pythagtriplem18 14563
Description: Lemma for pythagtrip 14565. Wrap the previous  M and  N up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  /\  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n    B, m, n    C, m, n

Proof of Theorem pythagtriplem18
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )
21pythagtriplem13 14558 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN )
3 eqid 2402 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )
43pythagtriplem11 14556 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN )
53, 1pythagtriplem15 14560 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
63, 1pythagtriplem16 14561 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
73, 1pythagtriplem17 14562 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
8 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( n ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )
98oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  =  ( ( m ^
2 )  -  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) )
109eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  <->  A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
11 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m  x.  n )  =  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
1211oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  =  ( 2  x.  (
m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
1312eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  <->  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) ) )
148oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) )  =  ( ( m ^
2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) )
1514eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  <->  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
1610, 13, 153anbi123d 1301 . . 3  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  C  =  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) )  <-> 
( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
17 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )
1817oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
1918eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )  <->  A  =  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
20 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
2120oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( 2  x.  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
2221eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  <-> 
B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) ) )
2317oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
2423eqeq2d 2416 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )  <->  C  =  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
2519, 22, 243anbi123d 1301 . . 3  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )  <->  ( A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
2616, 25rspc2ev 3170 . 2  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  e.  NN  /\  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN  /\  ( A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  C  =  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )
272, 4, 5, 6, 7, 26syl113anc 1242 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  /\  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526    - cmin 9840    / cdiv 10246   NNcn 10575   2c2 10625   ^cexp 12208   sqrcsqrt 13213    || cdvds 14193    gcd cgcd 14351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-prm 14425
This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  14564
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