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Theorem pythagtriplem18 14338
Description: Lemma for pythagtrip 14340. Wrap the previous  M and  N up in quantifiers. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  /\  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, m, n    B, m, n    C, m, n

Proof of Theorem pythagtriplem18
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )
21pythagtriplem13 14333 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN )
3 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )
43pythagtriplem11 14331 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN )
53, 1pythagtriplem15 14335 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
63, 1pythagtriplem16 14336 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
73, 1pythagtriplem17 14337 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
8 oveq1 6288 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( n ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )
98oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  =  ( ( m ^
2 )  -  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) )
109eqeq2d 2457 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) )  <->  A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
11 oveq2 6289 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m  x.  n )  =  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
1211oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  =  ( 2  x.  (
m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
1312eqeq2d 2457 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n
) )  <->  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) ) )
148oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) )  =  ( ( m ^
2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) )
1514eqeq2d 2457 . . . 4  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) )  <->  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 ) ) ) )
1610, 13, 153anbi123d 1300 . . 3  |-  ( n  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  C  =  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) )  <-> 
( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
17 oveq1 6288 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )
1817oveq1d 6296 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
1918eqeq2d 2457 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( A  =  ( ( m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )  <->  A  =  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
20 oveq1 6288 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
2120oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( 2  x.  ( m  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) )
2221eqeq2d 2457 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  <-> 
B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) ) ) )
2317oveq1d 6296 . . . . 5  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( (
m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )
2423eqeq2d 2457 . . . 4  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 ) )  <->  C  =  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )
2519, 22, 243anbi123d 1300 . . 3  |-  ( m  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  ->  ( ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( m ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) )  <->  ( A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) ) )
2616, 25rspc2ev 3207 . 2  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  e.  NN  /\  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN  /\  ( A  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )  /\  C  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( (
m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  ( m  x.  n ) )  /\  C  =  ( (
m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )
272, 4, 5, 6, 7, 26syl113anc 1241 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( A  =  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) )  /\  B  =  ( 2  x.  (
m  x.  n ) )  /\  C  =  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   E.wrex 2794   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   ^cexp 12148   sqrcsqrt 13048    || cdvds 13968    gcd cgcd 14126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-dvds 13969  df-gcd 14127  df-prm 14200
This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  14339
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