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Theorem pythagtriplem16 13902
Description: Lemma for pythagtrip 13906. Show the relationship between  M,  N, and  B. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pythagtriplem15.1  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
pythagtriplem15.2  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( M  x.  N
) ) )

Proof of Theorem pythagtriplem16
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem15.1 . . . . 5  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
2 pythagtriplem15.2 . . . . 5  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
31, 2oveq12i 6108 . . . 4  |-  ( M  x.  N )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )
4 nncn 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
5 nncn 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
6 addcl 9369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
74, 5, 6syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
87sqrcld 12928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC )
9 subcl 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
104, 5, 9syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
1110sqrcld 12928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B )
)  e.  CC )
12 addcl 9369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
138, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
14133adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
15143ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
16 subcl 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
178, 11, 16syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
18173adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
19183ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
20 2cnne0 10541 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
21 divmuldiv 10036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )  /\  (
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2220, 20, 21mpanr12 685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2315, 19, 22syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
2413, 17mulcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
25243adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC )
26253ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC )
27 divdiv1 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
2820, 20, 27mp3an23 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
2926, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
3023, 29eqtr4d 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 ) )
31 nnre 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
32 nnre 10334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
33 readdcl 9370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
3431, 32, 33syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
35343adant1 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
36353ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
3731adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
3832adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
39 nngt0 10356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
41 nngt0 10356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
4337, 38, 40, 42addgt0d 9919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  +  B ) )
44 0re 9391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
45 ltle 9468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  +  B
)  ->  0  <_  ( C  +  B ) ) )
4644, 45mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  +  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  +  B )  ->  0  <_  ( C  +  B
) ) )
4734, 43, 46sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B ) )
48473adant1 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
49483ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
50 resqrth 12750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  +  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  +  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
5136, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
52 resubcl 9678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
5331, 32, 52syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
54533adant1 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
55543ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
56 pythagtriplem10 13892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  -  B )
)
57563adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  -  B
) )
58 ltle 9468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  -  B
)  ->  0  <_  ( C  -  B ) ) )
5944, 58mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  -  B )  ->  0  <_  ( C  -  B
) ) )
6055, 57, 59sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
61 resqrth 12750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
6255, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
6351, 62oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) ) )
6463oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B
) )  /  2
) )
65 simp12 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  NN )
66 simp13 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  NN )
6765, 66, 8syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
6865, 66, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
69 subsq 11978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )
7170oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 ) )
72 pnncan 9655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( B  +  B ) )
73723anidm23 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( B  +  B ) )
74 2times 10445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  (
2  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
7673, 75eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( 2  x.  B ) )
774, 5, 76syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( 2  x.  B ) )
78773adant1 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  B ) )
79783ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  B ) )
8079oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  B )  / 
2 ) )
81 2cn 10397 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
82 2ne0 10419 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
83 divcan3 10023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8481, 82, 83mp3an23 1306 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8565, 5, 843syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8680, 85eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  /  2 )  =  B )
8764, 71, 863eqtr3d 2483 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
2 )  =  B )
8887oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( B  /  2 ) )
8930, 88eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( B  /  2 ) )
903, 89syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( M  x.  N )  =  ( B  / 
2 ) )
9190oveq2d 6112 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( M  x.  N ) )  =  ( 2  x.  ( B  /  2
) ) )
92 divcan2 10007 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
9381, 82, 92mp3an23 1306 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
945, 93syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
95943ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
96953ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
9791, 96eqtr2d 2476 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   ^cexp 11870   sqrcsqr 12727    || cdivides 13540    gcd cgcd 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730
This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  13904
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