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Theorem pythagtriplem16 14228
Description: Lemma for pythagtrip 14232. Show the relationship between  M,  N, and  B. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pythagtriplem15.1  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
pythagtriplem15.2  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( M  x.  N
) ) )

Proof of Theorem pythagtriplem16
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem15.1 . . . . 5  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
2 pythagtriplem15.2 . . . . 5  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
31, 2oveq12i 6290 . . . 4  |-  ( M  x.  N )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )
4 nncn 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
5 nncn 10547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
6 addcl 9574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
74, 5, 6syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
87sqrtcld 13244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC )
9 subcl 9821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
104, 5, 9syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
1110sqrtcld 13244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B )
)  e.  CC )
12 addcl 9574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
138, 11, 12syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
14133adant1 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
15143ad2ant1 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
16 subcl 9821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
178, 11, 16syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
18173adant1 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
19183ad2ant1 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
20 2cnne0 10753 . . . . . . . 8  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
21 divmuldiv 10247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )  /\  (
( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2220, 20, 21mpanr12 685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  x.  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2315, 19, 22syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
2413, 17mulcld 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
25243adant1 1013 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC )
26253ad2ant1 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC )
27 divdiv1 10258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
2820, 20, 27mp3an23 1315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  e.  CC  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
2926, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
3023, 29eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 ) )
31 nnre 10546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
32 nnre 10546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
33 readdcl 9575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
3431, 32, 33syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
35343adant1 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
36353ad2ant1 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
3731adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
3832adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
39 nngt0 10568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
41 nngt0 10568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
4337, 38, 40, 42addgt0d 10130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  +  B ) )
44 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
45 ltle 9673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  +  B
)  ->  0  <_  ( C  +  B ) ) )
4644, 45mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  +  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  +  B )  ->  0  <_  ( C  +  B
) ) )
4734, 43, 46sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B ) )
48473adant1 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
49483ad2ant1 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
50 resqrtth 13065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  +  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  +  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
5136, 49, 50syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
52 resubcl 9885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
5331, 32, 52syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
54533adant1 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
55543ad2ant1 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
56 pythagtriplem10 14218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  -  B )
)
57563adant3 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  -  B
) )
58 ltle 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  -  B
)  ->  0  <_  ( C  -  B ) ) )
5944, 58mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  -  B )  ->  0  <_  ( C  -  B
) ) )
6055, 57, 59sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
61 resqrtth 13065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
6255, 60, 61syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
6351, 62oveq12d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) ) )
6463oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B
) )  /  2
) )
65 simp12 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  NN )
66 simp13 1027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  NN )
6765, 66, 8syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
6865, 66, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
69 subsq 12251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )
7067, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )
7170oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) )  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 ) )
72 pnncan 9862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( B  +  B ) )
73723anidm23 1286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( B  +  B ) )
74 2times 10657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  (
2  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
7574adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
7673, 75eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( 2  x.  B ) )
774, 5, 76syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  =  ( 2  x.  B ) )
78773adant1 1013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  B ) )
79783ad2ant1 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  -  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  B ) )
8079oveq1d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  B )  / 
2 ) )
81 2cn 10609 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
82 2ne0 10631 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
83 divcan3 10234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8481, 82, 83mp3an23 1315 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8565, 5, 843syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  x.  B
)  /  2 )  =  B )
8680, 85eqtrd 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  -  ( C  -  B )
)  /  2 )  =  B )
8764, 71, 863eqtr3d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  / 
2 )  =  B )
8887oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  /  2 )  / 
2 )  =  ( B  /  2 ) )
8930, 88eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  x.  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) )  =  ( B  /  2 ) )
903, 89syl5eq 2494 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( M  x.  N )  =  ( B  / 
2 ) )
9190oveq2d 6294 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( M  x.  N ) )  =  ( 2  x.  ( B  /  2
) ) )
92 divcan2 10218 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
9381, 82, 92mp3an23 1315 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
945, 93syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
95943ad2ant2 1017 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
96953ad2ant1 1016 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( B  /  2 ) )  =  B )
9791, 96eqtr2d 2483 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  =  ( 2  x.  ( M  x.  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   class class class wbr 4434   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9807    / cdiv 10209   NNcn 10539   2c2 10588   ^cexp 12142   sqrcsqrt 13042    || cdvds 13860    gcd cgcd 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-sup 7900  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-div 10210  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-rp 11227  df-seq 12084  df-exp 12143  df-cj 12908  df-re 12909  df-im 12910  df-sqrt 13044  df-abs 13045
This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  14230
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