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Theorem pythagtriplem14 14207
Description: Lemma for pythagtrip 14213. Calculate the square of  N. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( N ^ 2 )  =  ( ( C  -  A )  /  2
) )

Proof of Theorem pythagtriplem14
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . . 3  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
21oveq1i 6292 . 2  |-  ( N ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )
3 nncn 10540 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
4 nncn 10540 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
5 addcl 9570 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
76sqrtcld 13227 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC )
8 subcl 9815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
93, 4, 8syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
109sqrtcld 13227 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B )
)  e.  CC )
117, 10subcld 9926 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
12113adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
13123ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
14 2cn 10602 . . . . 5  |-  2  e.  CC
15 2ne0 10624 . . . . 5  |-  2  =/=  0
16 sqdiv 12197 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
( 2 ^ 2 ) ) )
1714, 15, 16mp3an23 1316 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
1813, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
( 2 ^ 2 ) ) )
1914sqvali 12211 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
2019oveq2i 6293 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) )
2113sqcld 12272 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  e.  CC )
22 2cnne0 10746 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
23 divdiv1 10251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
2422, 22, 23mp3an23 1316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  e.  CC  ->  ( ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
2521, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
26 simp12 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  NN )
27 simp13 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  NN )
2826, 27, 7syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
2926, 27, 10syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
30 binom2sub 12249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) ) )
3128, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) ) )
32 nnre 10539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
33 nnre 10539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
34 readdcl 9571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
3532, 33, 34syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
36353adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
37363ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
3837recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  CC )
39 resubcl 9879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
4032, 33, 39syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
41403adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
42413ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
4342recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  CC )
4473adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
45103adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
4644, 45mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
47 mulcl 9572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
4814, 46, 47sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
49483ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
5038, 43, 49addsubd 9947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  =  ( ( ( C  +  B )  -  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ) )  +  ( C  -  B ) ) )
5127nncnd 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  CC )
52 simp11 1026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  NN )
5352nncnd 10548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  CC )
54 subdi 9986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( C  -  A ) )  =  ( ( 2  x.  C )  -  ( 2  x.  A
) ) )
5514, 54mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( C  -  A )
)  =  ( ( 2  x.  C )  -  ( 2  x.  A ) ) )
5651, 53, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  -  A ) )  =  ( ( 2  x.  C )  -  ( 2  x.  A
) ) )
57 ppncan 9857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( C  +  C ) )
58573anidm13 1286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  =  ( C  +  C ) )
59 2times 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  e.  CC  ->  (
2  x.  C )  =  ( C  +  C ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  C
)  =  ( C  +  C ) )
6158, 60eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
623, 4, 61syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
63623adant1 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
64633ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
6526nncnd 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  CC )
66 subsq 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )
6751, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )
68 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
69683ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
70 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
7170sqcld 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
72713ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
734sqcld 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
74733ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
7572, 74pncand 9927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
76753ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
7769, 76eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
7867, 77eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  x.  ( C  -  B ) )  =  ( A ^
2 ) )
7978fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
8032adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
8133adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
82 nngt0 10561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
84 nngt0 10561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
8680, 81, 83, 85addgt0d 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  +  B ) )
87 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  e.  RR
88 ltle 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  +  B
)  ->  0  <_  ( C  +  B ) ) )
8987, 88mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  +  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  +  B )  ->  0  <_  ( C  +  B
) ) )
9035, 86, 89sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B ) )
91903adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
92913ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
93 pythagtriplem10 14199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  -  B )
)
94933adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  -  B
) )
95 ltle 9669 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  -  B
)  ->  0  <_  ( C  -  B ) ) )
9687, 95mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  -  B )  ->  0  <_  ( C  -  B
) ) )
9742, 94, 96sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
9837, 92, 42, 97sqrtmuld 13215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )  =  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
9979, 98eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( A ^
2 ) )  =  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
100 nnre 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
1011003ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
1021013ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  RR )
103 nnnn0 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
104103nn0ge0d 10851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
1051043ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  A )
1061053ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  A )
107102, 106sqrtsqd 13210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( A ^
2 ) )  =  A )
10899, 107eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  =  A )
109108oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
11064, 109oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  C
)  -  ( 2  x.  A ) ) )
11156, 110eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  -  A ) )  =  ( ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  -  ( 2  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) ) )
112 resqrtth 13048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C  +  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  +  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
11337, 92, 112syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
114113oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )  =  ( ( C  +  B )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) ) )
115 resqrtth 13048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
11642, 97, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
117114, 116oveq12d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  +  B
)  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( C  -  B ) ) )
11850, 111, 1173eqtr4rd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( C  -  A ) ) )
11931, 118eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  =  ( 2  x.  ( C  -  A ) ) )
120119oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( ( 2  x.  ( C  -  A )
)  /  2 ) )
121 subcl 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( C  -  A
)  e.  CC )
1223, 70, 121syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  A
)  e.  CC )
1231223adant2 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
1241233ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  A )  e.  CC )
125 divcan3 10227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  -  A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  ( C  -  A )
)  /  2 )  =  ( C  -  A ) )
12614, 15, 125mp3an23 1316 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  -  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( C  -  A )
)  /  2 )  =  ( C  -  A ) )
127124, 126syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  x.  ( C  -  A )
)  /  2 )  =  ( C  -  A ) )
128120, 127eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
2 )  =  ( C  -  A ) )
129128oveq1d 6297 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  2 )  /  2 )  =  ( ( C  -  A )  /  2
) )
13025, 129eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
( 2  x.  2 ) )  =  ( ( C  -  A
)  /  2 ) )
13120, 130syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  / 
( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( C  -  A
)  /  2 ) )
13218, 131eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^
2 )  =  ( ( C  -  A
)  /  2 ) )
1332, 132syl5eq 2520 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( N ^ 2 )  =  ( ( C  -  A )  /  2
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   ^cexp 12130   sqrcsqrt 13025    || cdivides 13843    gcd cgcd 13999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028
This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  14208  pythagtriplem17  14210
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