Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem13 Structured version   Unicode version

Theorem pythagtriplem13 13886
 Description: Lemma for pythagtrip 13893. Show that (which will eventually be closely related to the in the final statement) is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem13

Proof of Theorem pythagtriplem13
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . 2
2 pythagtriplem9 13883 . . . . . 6
32nnzd 10738 . . . . 5
4 simp3r 1017 . . . . . . 7
5 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13
6 simp2 989 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6nnaddcld 10360 . . . . . . . . . . . 12
87nnzd 10738 . . . . . . . . . . 11
983ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10
10 nnz 10660 . . . . . . . . . . . 12
11103ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11
12113ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10
13 2z 10670 . . . . . . . . . . 11
14 dvdsgcdb 13720 . . . . . . . . . . 11
1513, 14mp3an1 1301 . . . . . . . . . 10
169, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9
1716biimpar 485 . . . . . . . 8
1817simprd 463 . . . . . . 7
194, 18mtand 659 . . . . . 6
20 pythagtriplem7 13881 . . . . . . 7
2120breq2d 4299 . . . . . 6
2219, 21mtbird 301 . . . . 5
23 pythagtriplem8 13882 . . . . . 6
2423nnzd 10738 . . . . 5
25 nnz 10660 . . . . . . . . . . . . 13
26253ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12
27 nnz 10660 . . . . . . . . . . . . 13
28273ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12
2926, 28zsubcld 10744 . . . . . . . . . . 11
30293ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10
31 dvdsgcdb 13720 . . . . . . . . . . 11
3213, 31mp3an1 1301 . . . . . . . . . 10
3330, 12, 32syl2anc 661 . . . . . . . . 9
3433biimpar 485 . . . . . . . 8
3534simprd 463 . . . . . . 7
364, 35mtand 659 . . . . . 6
37 pythagtriplem6 13880 . . . . . . 7
3837breq2d 4299 . . . . . 6
3936, 38mtbird 301 . . . . 5
40 omoe 13871 . . . . 5
413, 22, 24, 39, 40syl22anc 1219 . . . 4
4229zred 10739 . . . . . . . . . 10
43423ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9
44 simp13 1020 . . . . . . . . . 10
4544nnred 10329 . . . . . . . . 9
467nnred 10329 . . . . . . . . . 10
47463ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9
48 nnrp 10992 . . . . . . . . . . . 12
49483ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11
50493ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10
5145, 50ltsubrpd 11047 . . . . . . . . 9
52 nngt0 10343 . . . . . . . . . . . 12
53523ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11
54533ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10
55 simp12 1019 . . . . . . . . . . . 12
5655nnred 10329 . . . . . . . . . . 11
5756, 45ltaddposd 9915 . . . . . . . . . 10
5854, 57mpbid 210 . . . . . . . . 9
5943, 45, 47, 51, 58lttrd 9524 . . . . . . . 8
60 pythagtriplem10 13879 . . . . . . . . . . 11
61603adant3 1008 . . . . . . . . . 10
62 0re 9378 . . . . . . . . . . 11
63 ltle 9455 . . . . . . . . . . 11
6462, 63mpan 670 . . . . . . . . . 10
6543, 61, 64sylc 60 . . . . . . . . 9
66 nngt0 10343 . . . . . . . . . . . . 13
67663ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12
68673ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11
6945, 56, 68, 54addgt0d 9906 . . . . . . . . . 10
70 ltle 9455 . . . . . . . . . . 11
7162, 70mpan 670 . . . . . . . . . 10
7247, 69, 71sylc 60 . . . . . . . . 9
7343, 65, 47, 72sqrltd 12906 . . . . . . . 8
7459, 73mpbid 210 . . . . . . 7
75 nnsub 10352 . . . . . . . 8
7623, 2, 75syl2anc 661 . . . . . . 7
7774, 76mpbid 210 . . . . . 6
7877nnzd 10738 . . . . 5
79 2ne0 10406 . . . . . 6
80 dvdsval2 13530 . . . . . 6
8113, 79, 80mp3an12 1304 . . . . 5
8278, 81syl 16 . . . 4
8341, 82mpbid 210 . . 3
8477nngt0d 10357 . . . 4
8577nnred 10329 . . . . 5
86 halfpos2 10546 . . . . 5
8785, 86syl 16 . . . 4
8884, 87mpbid 210 . . 3
89 elnnz 10648 . . 3
9083, 88, 89sylanbrc 664 . 2
911, 90syl5eqel 2522 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1369   wcel 1756   wne 2601   class class class wbr 4287  cfv 5413  (class class class)co 6086  cr 9273  cc0 9274  c1 9275   caddc 9277   clt 9410   cle 9411   cmin 9587   cdiv 9985  cn 10314  c2 10363  cz 10638  crp 10983  cexp 11857  csqr 12714   cdivides 13527   cgcd 13682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756 This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  13891
 Copyright terms: Public domain W3C validator