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Theorem pythagtriplem13 14228
Description: Lemma for pythagtrip 14235. Show that  N (which will eventually be closely related to the  n in the final statement) is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem13.1  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  N  e.  NN )

Proof of Theorem pythagtriplem13
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem13.1 . 2  |-  N  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
2 pythagtriplem9 14225 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  NN )
32nnzd 10973 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  ZZ )
4 simp3r 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  -.  2  ||  A )
5 simp3 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  NN )
6 simp2 998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
75, 6nnaddcld 10588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  NN )
87nnzd 10973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  ZZ )
983ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  ZZ )
10 nnz 10892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
11103ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
12113ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  ZZ )
13 2z 10902 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
14 dvdsgcdb 14059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C  +  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( C  +  B
)  /\  2  ||  A )  <->  2  ||  ( ( C  +  B )  gcd  A
) ) )
1513, 14mp3an1 1312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  +  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( C  +  B
)  /\  2  ||  A )  <->  2  ||  ( ( C  +  B )  gcd  A
) ) )
169, 12, 15syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  ||  ( C  +  B )  /\  2  ||  A )  <->  2  ||  ( ( C  +  B )  gcd  A ) ) )
1716biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  /\  (
( A  gcd  B
)  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  /\  2  ||  ( ( C  +  B )  gcd  A
) )  ->  (
2  ||  ( C  +  B )  /\  2  ||  A ) )
1817simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  /\  (
( A  gcd  B
)  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  /\  2  ||  ( ( C  +  B )  gcd  A
) )  ->  2  ||  A )
194, 18mtand 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  -.  2  ||  ( ( C  +  B )  gcd 
A ) )
20 pythagtriplem7 14223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  =  ( ( C  +  B )  gcd  A
) )
2120breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  ||  ( sqr `  ( C  +  B
) )  <->  2  ||  ( ( C  +  B )  gcd  A
) ) )
2219, 21mtbird 301 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  -.  2  ||  ( sqr `  ( C  +  B )
) )
23 pythagtriplem8 14224 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  NN )
2423nnzd 10973 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  ZZ )
25 nnz 10892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  ZZ )
26253ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  ZZ )
27 nnz 10892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
28273ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
2926, 28zsubcld 10979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  ZZ )
30293ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  ZZ )
31 dvdsgcdb 14059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C  -  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( C  -  B
)  /\  2  ||  A )  <->  2  ||  ( ( C  -  B )  gcd  A
) ) )
3213, 31mp3an1 1312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( C  -  B
)  /\  2  ||  A )  <->  2  ||  ( ( C  -  B )  gcd  A
) ) )
3330, 12, 32syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  ||  ( C  -  B )  /\  2  ||  A )  <->  2  ||  ( ( C  -  B )  gcd  A ) ) )
3433biimpar 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  /\  (
( A  gcd  B
)  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  /\  2  ||  ( ( C  -  B )  gcd  A
) )  ->  (
2  ||  ( C  -  B )  /\  2  ||  A ) )
3534simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  /\  (
( A  gcd  B
)  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  /\  2  ||  ( ( C  -  B )  gcd  A
) )  ->  2  ||  A )
364, 35mtand 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  -.  2  ||  ( ( C  -  B )  gcd 
A ) )
37 pythagtriplem6 14222 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  =  ( ( C  -  B )  gcd  A
) )
3837breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  ||  ( sqr `  ( C  -  B
) )  <->  2  ||  ( ( C  -  B )  gcd  A
) ) )
3936, 38mtbird 301 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  -.  2  ||  ( sqr `  ( C  -  B )
) )
40 omoe 14213 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  ( sqr `  ( C  +  B
) ) )  /\  ( ( sqr `  ( C  -  B )
)  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )  ->  2  ||  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
413, 22, 24, 39, 40syl22anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  2  ||  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
4229zred 10974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
43423ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
44 simp13 1029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  NN )
4544nnred 10557 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  RR )
467nnred 10557 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
47463ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
48 nnrp 11238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
49483ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR+ )
50493ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  RR+ )
5145, 50ltsubrpd 11293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  <  C )
52 nngt0 10571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
53523ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
54533ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  B )
55 simp12 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  NN )
5655nnred 10557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  RR )
5756, 45ltaddposd 10142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
0  <  B  <->  C  <  ( C  +  B ) ) )
5854, 57mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  <  ( C  +  B
) )
5943, 45, 47, 51, 58lttrd 9746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  <  ( C  +  B
) )
60 pythagtriplem10 14221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  -  B )
)
61603adant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  -  B
) )
62 0re 9599 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
63 ltle 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  -  B
)  ->  0  <_  ( C  -  B ) ) )
6462, 63mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  -  B )  ->  0  <_  ( C  -  B
) ) )
6543, 61, 64sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
66 nngt0 10571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
67663ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
68673ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  C )
6945, 56, 68, 54addgt0d 10133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  +  B
) )
70 ltle 9676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  +  B
)  ->  0  <_  ( C  +  B ) ) )
7162, 70mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  +  B )  ->  0  <_  ( C  +  B
) ) )
7247, 69, 71sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
7343, 65, 47, 72sqrtltd 13238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  -  B
)  <  ( C  +  B )  <->  ( sqr `  ( C  -  B
) )  <  ( sqr `  ( C  +  B ) ) ) )
7459, 73mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  < 
( sqr `  ( C  +  B )
) )
75 nnsub 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sqr `  ( C  -  B )
)  e.  NN  /\  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  NN )  -> 
( ( sqr `  ( C  -  B )
)  <  ( sqr `  ( C  +  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  e.  NN ) )
7623, 2, 75syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  -  B )
)  <  ( sqr `  ( C  +  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  e.  NN ) )
7774, 76mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  NN )
7877nnzd 10973 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  ZZ )
79 2ne0 10634 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
80 dvdsval2 13866 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  <->  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8113, 79, 80mp3an12 1315 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  ZZ  ->  ( 2 
||  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  <-> 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  e.  ZZ ) )
8278, 81syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  ||  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  <->  ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8341, 82mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  ZZ )
8477nngt0d 10585 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
8577nnred 10557 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  RR )
86 halfpos2 10774 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  <->  0  <  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
8785, 86syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
0  <  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  <->  0  <  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ) )
8884, 87mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) )
89 elnnz 10880 . . 3  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN  <->  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  -  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ) )
9083, 88, 89sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  -  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 )  e.  NN )
911, 90syl5eqel 2535 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  N  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10212   NNcn 10542   2c2 10591   ZZcz 10870   RR+crp 11229   ^cexp 12145   sqrcsqrt 13045    || cdvds 13863    gcd cgcd 14021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-dvds 13864  df-gcd 14022  df-prm 14095
This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  14233
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