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Theorem pythagtriplem12 13893
Description: Lemma for pythagtrip 13901. Calculate the square of  M. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem11.1  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( ( C  +  A )  /  2
) )

Proof of Theorem pythagtriplem12
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem11.1 . . 3  |-  M  =  ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 )
21oveq1i 6101 . 2  |-  ( M ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) )  /  2
) ^ 2 )
3 nncn 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  CC )
4 nncn 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
5 addcl 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
63, 4, 5syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  CC )
763adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  CC )
87sqrcld 12923 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
9 subcl 9609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
103, 4, 9syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  CC )
11103adant1 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  CC )
1211sqrcld 12923 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
138, 12addcld 9405 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
14133ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
15 2cn 10392 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
16 2ne0 10414 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
17 sqdiv 11931 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) ) )
1815, 16, 17mp3an23 1306 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
1915sqvali 11945 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 2 )  =  ( 2  x.  2 )
2019oveq2i 6102 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) )
2118, 20syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC  ->  ( (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  / 
2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  /  (
2  x.  2 ) ) )
2214, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  +  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
2383ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  +  B ) )  e.  CC )
24123ad2ant1 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )
25 binom2 11981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  e.  CC  /\  ( sqr `  ( C  -  B ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B ) ) ^ 2 ) ) )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) ) )
27 nnre 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  NN  ->  C  e.  RR )
28 nnre 10329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
29 readdcl 9365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
3027, 28, 29syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B
)  e.  RR )
31303adant1 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
32313ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  RR )
33273ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  RR )
34283ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  RR )
35 nngt0 10351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  NN  ->  0  <  C )
36353ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  C )
37 nngt0 10351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
38373ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  B )
3933, 34, 36, 38addgt0d 9914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <  ( C  +  B
) )
40393ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  +  B
) )
41 0re 9386 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
42 ltle 9463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  +  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  +  B
)  ->  0  <_  ( C  +  B ) ) )
4341, 42mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  +  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  +  B )  ->  0  <_  ( C  +  B
) ) )
4432, 40, 43sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  +  B
) )
45 resqrth 12745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  +  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  +  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
4632, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  =  ( C  +  B ) )
4746oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) )  =  ( ( C  +  B )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) ) )
48 resubcl 9673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
4927, 28, 48syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
50493adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
51503ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
52 pythagtriplem10 13887 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  0  <  ( C  -  B )
)
53523adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <  ( C  -  B
) )
54 ltle 9463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( C  -  B
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( C  -  B
)  ->  0  <_  ( C  -  B ) ) )
5541, 54mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  -  B )  e.  RR  ->  (
0  <  ( C  -  B )  ->  0  <_  ( C  -  B
) ) )
5651, 53, 55sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
57 resqrth 12745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( C  -  B ) )  -> 
( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
5851, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 )  =  ( C  -  B ) )
5947, 58oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( ( sqr `  ( C  -  B )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( C  +  B
)  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  +  ( C  -  B ) ) )
6073ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  B )  e.  CC )
618, 12mulcld 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )
62 mulcl 9366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
6315, 61, 62sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
64633ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  e.  CC )
65113ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  -  B )  e.  CC )
6660, 64, 65add32d 9592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ) )  +  ( C  -  B ) )  =  ( ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B
) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ) ) )
6733ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
68673ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  C  e.  CC )
69 nncn 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
70693ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
71703ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  CC )
72 adddi 9371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( C  +  A ) )  =  ( ( 2  x.  C )  +  ( 2  x.  A
) ) )
7315, 72mp3an1 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( C  +  A )
)  =  ( ( 2  x.  C )  +  ( 2  x.  A ) ) )
7468, 71, 73syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  +  A ) )  =  ( ( 2  x.  C )  +  ( 2  x.  A
) ) )
7543ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  CC )
76753ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  B  e.  CC )
7768, 76, 68ppncand 9759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( C  +  C ) )
78682timesd 10567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  C )  =  ( C  +  C ) )
7977, 78eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  C ) )
80 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
81803ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) ) )
8271sqcld 12006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
8376sqcld 12006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
8482, 83pncand 9720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( A ^
2 ) )
85 subsq 11973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( C ^
2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )
8668, 76, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C ^ 2 )  -  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )
8781, 84, 863eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( C  +  B
)  x.  ( C  -  B ) )  =  ( A ^
2 ) )
8887fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )  =  ( sqr `  ( A ^ 2 ) ) )
8932, 44, 51, 56sqrmuld 12911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( ( C  +  B )  x.  ( C  -  B
) ) )  =  ( ( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) )
90 nnre 10329 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
91903ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
92913ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  A  e.  RR )
93 nnnn0 10586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
9493nn0ge0d 10639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
95943ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  0  <_  A )
96953ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  0  <_  A )
9792, 96sqrsqd 12906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( sqr `  ( A ^
2 ) )  =  A )
9888, 89, 973eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) )  =  A )
9998oveq2d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
10079, 99oveq12d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  C
)  +  ( 2  x.  A ) ) )
10174, 100eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  +  A ) )  =  ( ( ( C  +  B )  +  ( C  -  B ) )  +  ( 2  x.  (
( sqr `  ( C  +  B )
)  x.  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ) ) )
10266, 101eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( C  +  B )  +  ( 2  x.  ( ( sqr `  ( C  +  B ) )  x.  ( sqr `  ( C  -  B )
) ) ) )  +  ( C  -  B ) )  =  ( 2  x.  ( C  +  A )
) )
10326, 59, 1023eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( sqr `  ( C  +  B )
)  +  ( sqr `  ( C  -  B
) ) ) ^
2 )  =  ( 2  x.  ( C  +  A ) ) )
104103oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( C  +  A
) )  /  (
2  x.  2 ) ) )
105 addcl 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( C  +  A
)  e.  CC )
1063, 69, 105syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  A
)  e.  CC )
1071063adant2 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( C  +  A )  e.  CC )
1081073ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( C  +  A )  e.  CC )
109 mulcl 9366 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( C  +  A
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( C  +  A
) )  e.  CC )
11015, 108, 109sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
2  x.  ( C  +  A ) )  e.  CC )
111 2cnne0 10536 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
112 divdiv1 10042 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  ( C  +  A )
)  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  / 
2 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  /  ( 2  x.  2 ) ) )
113111, 111, 112mp3an23 1306 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  ( C  +  A
) )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
114110, 113syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( 2  x.  ( C  +  A
) )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  / 
( 2  x.  2 ) ) )
115104, 114eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( C  +  A ) )  / 
2 )  /  2
) )
116 divcan3 10018 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  +  A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  ( C  +  A )
)  /  2 )  =  ( C  +  A ) )
11715, 16, 116mp3an23 1306 . . . . 5  |-  ( ( C  +  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( C  +  A )
)  /  2 )  =  ( C  +  A ) )
118108, 117syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( 2  x.  ( C  +  A )
)  /  2 )  =  ( C  +  A ) )
119118oveq1d 6106 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( 2  x.  ( C  +  A
) )  /  2
)  /  2 )  =  ( ( C  +  A )  / 
2 ) )
12022, 115, 1193eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  (
( ( ( sqr `  ( C  +  B
) )  +  ( sqr `  ( C  -  B ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( C  +  A )  /  2
) )
1212, 120syl5eq 2487 1  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  ( ( A  gcd  B )  =  1  /\ 
-.  2  ||  A
) )  ->  ( M ^ 2 )  =  ( ( C  +  A )  /  2
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   NNcn 10322   2c2 10371   ^cexp 11865   sqrcsqr 12722    || cdivides 13535    gcd cgcd 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725
This theorem is referenced by:  pythagtriplem15  13896  pythagtriplem17  13898
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