Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pythagtriplem11 Structured version   Unicode version

Theorem pythagtriplem11 14738
 Description: Lemma for pythagtrip 14747. Show that (which will eventually be closely related to the in the final statement) is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 17-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pythagtriplem11.1
Assertion
Ref Expression
pythagtriplem11

Proof of Theorem pythagtriplem11
StepHypRef Expression
1 pythagtriplem11.1 . 2
2 pythagtriplem9 14737 . . . . . 6
32nnzd 11039 . . . . 5
4 simp3r 1034 . . . . . . 7
5 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . 13
653ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . 12
7 nnz 10959 . . . . . . . . . . . . 13
873ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . 12
96, 8zaddcld 11044 . . . . . . . . . . 11
1093ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10
11 nnz 10959 . . . . . . . . . . . 12
12113ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11
13123ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10
14 2z 10969 . . . . . . . . . . 11
15 dvdsgcdb 14483 . . . . . . . . . . 11
1614, 15mp3an1 1347 . . . . . . . . . 10
1710, 13, 16syl2anc 665 . . . . . . . . 9
1817biimpar 487 . . . . . . . 8
1918simprd 464 . . . . . . 7
204, 19mtand 663 . . . . . 6
21 pythagtriplem7 14735 . . . . . . 7
2221breq2d 4438 . . . . . 6
2320, 22mtbird 302 . . . . 5
24 pythagtriplem8 14736 . . . . . 6
2524nnzd 11039 . . . . 5
266, 8zsubcld 11045 . . . . . . . . . . 11
27263ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10
28 dvdsgcdb 14483 . . . . . . . . . . 11
2914, 28mp3an1 1347 . . . . . . . . . 10
3027, 13, 29syl2anc 665 . . . . . . . . 9
3130biimpar 487 . . . . . . . 8
3231simprd 464 . . . . . . 7
334, 32mtand 663 . . . . . 6
34 pythagtriplem6 14734 . . . . . . 7
3534breq2d 4438 . . . . . 6
3633, 35mtbird 302 . . . . 5
37 opoe 14724 . . . . 5
383, 23, 25, 36, 37syl22anc 1265 . . . 4
392, 24nnaddcld 10656 . . . . . 6
4039nnzd 11039 . . . . 5
41 2ne0 10702 . . . . . 6
42 dvdsval2 14286 . . . . . 6
4314, 41, 42mp3an12 1350 . . . . 5
4440, 43syl 17 . . . 4
4538, 44mpbid 213 . . 3
462nnred 10624 . . . . 5
4724nnred 10624 . . . . 5
482nngt0d 10653 . . . . 5
4924nngt0d 10653 . . . . 5
5046, 47, 48, 49addgt0d 10187 . . . 4
5139nnred 10624 . . . . 5
52 halfpos2 10842 . . . . 5
5351, 52syl 17 . . . 4
5450, 53mpbid 213 . . 3
55 elnnz 10947 . . 3
5645, 54, 55sylanbrc 668 . 2
571, 56syl5eqel 2521 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625   class class class wbr 4426  cfv 5601  (class class class)co 6305  cr 9537  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   clt 9674   cmin 9859   cdiv 10268  cn 10609  c2 10659  cz 10937  cexp 12269  csqrt 13275   cdvds 14283   cgcd 14442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14594 This theorem is referenced by:  pythagtriplem18  14745
 Copyright terms: Public domain W3C validator