Theorem pythagtrip 13893

Description: Parameterize the Pythagorean triples. If A, B, and C are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. This is Metamath 100 proof #23. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtrip	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) <-> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, m, n   B, k, m, n   C, k, m, n

Proof of Theorem pythagtrip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divgcdodd 13797	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) \/ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) )
2	1	3adant3 1008	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) \/ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) )
3	2	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) \/ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) )
4		pythagtriplem19 13892	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
5	4	3expia 1189	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
6		simp12 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) -> B e. NN )
7		simp11 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) -> A e. NN )
8		simp13 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) -> C e. NN )
9		nnsqcl 11927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. NN -> ( A ^ 2 ) e. NN )
10	9	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> ( A ^ 2 ) e. CC )
11	10	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
12		nnsqcl 11927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. NN -> ( B ^ 2 ) e. NN )
13	12	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> ( B ^ 2 ) e. CC )
14	13	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
15	11, 14	addcomd 9563	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( B ^ 2 ) + ( A ^ 2 ) ) )
16	15	eqeq1d 2446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) <-> ( ( B ^ 2 ) + ( A ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
17	16	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( B ^ 2 ) + ( A ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )
18	17	3adant3 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( B ^ 2 ) + ( A ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )
19		nnz 10660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
20	19	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> A e. ZZ )
22		nnz 10660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
23	22	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. ZZ )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> B e. ZZ )
25		gcdcom 13696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A gcd B ) = ( B gcd A ) )
26	21, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( A gcd B ) = ( B gcd A ) )
27	26	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( B / ( A gcd B ) ) = ( B / ( B gcd A ) ) )
28	27	breq2d 4299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( 2 || ( B / ( A gcd B ) ) <-> 2 || ( B / ( B gcd A ) ) ) )
29	28	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) <-> -. 2 || ( B / ( B gcd A ) ) ) )
30	29	biimp3a 1318	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) -> -. 2 || ( B / ( B gcd A ) ) )
31		pythagtriplem19 13892	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. NN /\ A e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( B ^ 2 ) + ( A ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( B / ( B gcd A ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
32	6, 7, 8, 18, 30, 31	syl311anc 1232	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
33	32	3expia 1189	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
34	5, 33	orim12d 834	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) \/ -. 2 || ( B / ( A gcd B ) ) ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
35	3, 34	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
36		ovex 6111	. . . . . . . . . . 11 |- ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) e. _V
37		ovex 6111	. . . . . . . . . . 11 |- ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) e. _V
38		preq12bg 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ ( ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) e. _V /\ ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) e. _V ) ) -> ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } <-> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
39	36, 37, 38	mpanr12 685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } <-> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
40	39	anbi1d 704	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
41	40	rexbidv 2731	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
42	41	2rexbidv 2753	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
43		andir 863	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
44		df-3an 967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
45		df-3an 967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
46	44, 45	orbi12i 521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
47		3ancoma 972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
48	47	orbi2i 519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
49	43, 46, 48	3bitr2i 273	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
50	49	rexbii 2735	. . . . . . . . 9 |- ( E. k e. NN ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. k e. NN ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
51	50	2rexbii 2737	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
52		r19.43 2871	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. NN ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
53	52	2rexbii 2737	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
54		r19.43 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. m e. NN ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
55	54	rexbii 2735	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. NN E. m e. NN ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> E. n e. NN ( E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
56		r19.43 2871	. . . . . . . . . 10 |- ( E. n e. NN ( E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
57	55, 56	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( E. n e. NN E. m e. NN ( E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
58	53, 57	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) <-> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
59	51, 58	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) \/ ( A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
60	42, 59	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
61	60	3adant3 1008	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
62	61	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) \/ E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( B = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ A = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
63	35, 62	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
64	63	ex 434	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
65		pythagtriplem2 13876	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
66	65	3adant3 1008	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) )
67	64, 66	impbid 191	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) <-> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( { A , B } = { ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) , ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) } /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   {cpr 3874   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   CCcc 9272   + caddc 9277   x. cmul 9279   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   ZZcz 10638   ^cexp 11857   || cdivides 13527   gcd cgcd 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756

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