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Theorem pythagtrip 14370
Description: Parameterize the Pythagorean triples. If  A,  B, and  C are naturals, then they obey the Pythagorean triple formula iff they are parameterized by three naturals. This proof follows the Isabelle proof at http://afp.sourceforge.net/entries/Fermat3_4.shtml. This is Metamath 100 proof #23. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
pythagtrip  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, m, n    B, k, m, n    C, k, m, n

Proof of Theorem pythagtrip
StepHypRef Expression
1 divgcdodd 14272 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  \/  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
213adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  \/  -.  2  ||  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) ) )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  \/  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
4 pythagtriplem19 14369 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
543expia 1198 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
6 simp12 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  B  e.  NN )
7 simp11 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  A  e.  NN )
8 simp13 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  C  e.  NN )
9 nnsqcl 12240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A ^ 2 )  e.  NN )
109nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
11103ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
12 nnsqcl 12240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 2 )  e.  NN )
1312nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
14133ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14addcomd 9799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  +  ( A ^ 2 ) ) )
1615eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <->  ( ( B ^ 2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
1716biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( B ^ 2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
18173adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
( ( B ^
2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
19 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  ZZ )
20193ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  A  e.  ZZ )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  A  e.  ZZ )
22 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
23223ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
2423adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  B  e.  ZZ )
25 gcdcom 14170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  =  ( B  gcd  A ) )
2621, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( A  gcd  B )  =  ( B  gcd  A ) )
2726oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( B  / 
( A  gcd  B
) )  =  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) )
2827breq2d 4468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( 2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <->  2  ||  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) ) )
2928notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  <->  -.  2  ||  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) ) )
3029biimp3a 1328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  -.  2  ||  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) )
31 pythagtriplem19 14369 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( B ^
2 )  +  ( A ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( B  gcd  A ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
326, 7, 8, 18, 30, 31syl311anc 1242 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  /\  -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
33323expia 1198 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( -.  2  ||  ( B  /  ( A  gcd  B ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
345, 33orim12d 838 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( ( -.  2  ||  ( A  /  ( A  gcd  B ) )  \/  -.  2  ||  ( B  / 
( A  gcd  B
) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
353, 34mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
36 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V
37 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) )  e. 
_V
38 preq12bg 4211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  e. 
_V  /\  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  e.  _V ) )  ->  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  <->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) ) ) )
3936, 37, 38mpanr12 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  <-> 
( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
4039anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
4140rexbidv 2968 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
42412rexbidv 2975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  (
( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
43 andir 868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( ( A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
44 df-3an 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
45 df-3an 975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
4644, 45orbi12i 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <-> 
( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( ( A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
47 3ancoma 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
4847orbi2i 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <-> 
( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
4943, 46, 483bitr2i 273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
5049rexbii 2959 . . . . . . . . 9  |-  ( E. k  e.  NN  (
( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  E. k  e.  NN  ( ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
51502rexbii 2960 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
52 r19.43 3013 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. k  e.  NN  (
( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <-> 
( E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
53522rexbii 2960 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
54 r19.43 3013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. m  e.  NN  ( E. k  e.  NN  ( A  =  (
k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
5554rexbii 2959 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( E. k  e.  NN  ( A  =  (
k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
56 r19.43 3013 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. n  e.  NN  ( E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/ 
E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <-> 
( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
5755, 56bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  ( E. k  e.  NN  ( A  =  (
k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  \/  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
5853, 57bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  ( B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
5951, 58bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( ( ( A  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( 2  x.  (
m  x.  n ) ) ) )  \/  ( A  =  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  -  ( n ^
2 ) ) ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^
2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
6042, 59syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
61603adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6261adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  <->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( A  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  B  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  \/  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( B  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) )  /\  A  =  ( k  x.  (
2  x.  ( m  x.  n ) ) )  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
6335, 62mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  /\  ( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) )
6463ex 434 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  ->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
65 pythagtriplem2 14353 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 ) ) )
66653adant3 1016 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  { ( k  x.  ( ( m ^
2 )  -  (
n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n ) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  (
( m ^ 2 )  +  ( n ^ 2 ) ) ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^
2 ) ) )
6764, 66impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  C  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( C ^ 2 )  <->  E. n  e.  NN  E. m  e.  NN  E. k  e.  NN  ( { A ,  B }  =  {
( k  x.  (
( m ^ 2 )  -  ( n ^ 2 ) ) ) ,  ( k  x.  ( 2  x.  ( m  x.  n
) ) ) }  /\  C  =  ( k  x.  ( ( m ^ 2 )  +  ( n ^
2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   {cpr 4034   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   CCcc 9507    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   ZZcz 10885   ^cexp 12169    || cdvds 13998    gcd cgcd 14156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230
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