MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwxpndom2 Structured version   Unicode version

Theorem pwxpndom2 8946
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwxpndom2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )

Proof of Theorem pwxpndom2
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseq 8945 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
2 reldom 7429 . . . . . . 7  |-  Rel  ~<_
32brrelex2i 4991 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
4 oveq1 6210 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
x  ^m  1o )  =  ( A  ^m  1o ) )
5 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
64, 5breq12d 4416 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  ^m  1o )  ~~  x  <->  ( A  ^m  1o )  ~~  A
) )
7 df1o2 7045 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
87oveq2i 6214 . . . . . . . 8  |-  ( x  ^m  1o )  =  ( x  ^m  { (/)
} )
9 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
10 0ex 4533 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
119, 10mapsnen 7500 . . . . . . . 8  |-  ( x  ^m  { (/) } ) 
~~  x
128, 11eqbrtri 4422 . . . . . . 7  |-  ( x  ^m  1o )  ~~  x
136, 12vtoclg 3136 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  ^m  1o )  ~~  A )
14 ensym 7471 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  1o ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  ^m  1o ) )
153, 13, 143syl 20 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  ~~  ( A  ^m  1o ) )
16 map2xp 7594 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  ^m  2o )  ~~  ( A  X.  A
) )
17 ensym 7471 . . . . . 6  |-  ( ( A  ^m  2o ) 
~~  ( A  X.  A )  ->  ( A  X.  A )  ~~  ( A  ^m  2o ) )
183, 16, 173syl 20 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  X.  A )  ~~  ( A  ^m  2o ) )
19 elmapi 7347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  ->  x : 1o --> A )
20 fdm 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x : 1o --> A  ->  dom  x  =  1o )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  ->  dom  x  =  1o )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  dom  x  =  1o )
23 1onn 7191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  om
2423elexi 3088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  _V
2524sucid 4909 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  suc  1o
26 df-2o 7034 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  =  suc  1o
2725, 26eleqtrri 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  2o
28 1on 7040 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
2928onirri 4936 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1o  e.  1o
30 nelneq2 2572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  2o  /\  -.  1o  e.  1o )  ->  -.  2o  =  1o )
3127, 29, 30mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  -.  2o  =  1o
32 elmapi 7347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( A  ^m  2o )  ->  x : 2o --> A )
33 fdm 5674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x : 2o --> A  ->  dom  x  =  2o )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( A  ^m  2o )  ->  dom  x  =  2o )
3534adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  dom  x  =  2o )
3635eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  -> 
( dom  x  =  1o 
<->  2o  =  1o ) )
3731, 36mtbiri 303 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )  ->  -.  dom  x  =  1o )
3822, 37pm2.65i 173 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) )
39 elin 3650 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  <->  ( x  e.  ( A  ^m  1o )  /\  x  e.  ( A  ^m  2o ) ) )
4038, 39mtbir 299 . . . . . . 7  |-  -.  x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  x  e.  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) ) )
4241eq0rdv 3783 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  =  (/) )
43 cdaenun 8457 . . . . 5  |-  ( ( A  ~~  ( A  ^m  1o )  /\  ( A  X.  A
)  ~~  ( A  ^m  2o )  /\  (
( A  ^m  1o )  i^i  ( A  ^m  2o ) )  =  (/) )  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~~  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) ) )
4415, 18, 42, 43syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~~  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) ) )
45 omex 7963 . . . . . 6  |-  om  e.  _V
46 ovex 6228 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  n )  e. 
_V
4745, 46iunex 6670 . . . . 5  |-  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e.  _V
48 oveq2 6211 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1o  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  1o ) )
4948ssiun2s 4325 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( A  ^m  1o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5023, 49ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  1o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
51 2onn 7192 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
52 oveq2 6211 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  2o  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  2o ) )
5352ssiun2s 4325 . . . . . . 7  |-  ( 2o  e.  om  ->  ( A  ^m  2o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5451, 53ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  2o )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
5550, 54unssi 3642 . . . . 5  |-  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
56 ssdomg 7468 . . . . 5  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e. 
_V  ->  ( ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  C_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
5747, 55, 56mp2 9 . . . 4  |-  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )
58 endomtr 7480 . . . 4  |-  ( ( ( A  +c  ( A  X.  A ) ) 
~~  ( ( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  /\  (
( A  ^m  1o )  u.  ( A  ^m  2o ) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5944, 57, 58sylancl 662 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
60 domtr 7475 . . . 4  |-  ( ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  /\  ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ~<_ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
6160expcom 435 . . 3  |-  ( ( A  +c  ( A  X.  A ) )  ~<_ 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
6259, 61syl 16 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A
) )  ->  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) ) )
631, 62mtod 177 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  ( A  +c  ( A  X.  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   U_ciun 4282   class class class wbr 4403   suc csuc 4832    X. cxp 4949   dom cdm 4951   -->wf 5525  (class class class)co 6203   omcom 6589   1oc1o 7026   2oc2o 7027    ^m cmap 7327    ~~ cen 7420    ~<_ cdom 7421    +c ccda 8450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-seqom 7016  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-oexp 7039  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-har 7887  df-cnf 7982  df-card 8223  df-cda 8451
This theorem is referenced by:  pwxpndom  8947  pwcdandom  8948
  Copyright terms: Public domain W3C validator