Theorem pwtrrVD 16648

Description: Virtual deduction proof of pwtrr 16649.

Hypothesis

Ref	Expression
pwtrrVD.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
pwtrrVD	|- (Tr ~PA -> Tr A)

Proof of Theorem pwtrrVD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 3413	. . 3 |- (Tr A <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. A) -> z e. A))
2		idn1 16484	. . . . . . . 8 |- . Tr ~PA   ⊢   Tr ~PA .
3		idn2 16509	. . . . . . . . 9 |- . Tr ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   (z e. y /\ y e. A) .
4		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((z e. y /\ y e. A) -> y e. A)
5	3, 4	e2 16521	. . . . . . . 8 |- . Tr ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   y e. A .
6		pwtrrVD.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
7	6	pwid 3042	. . . . . . . 8 |- A e. ~PA
8		trel 3418	. . . . . . . . 9 |- (Tr ~PA -> ((y e. A /\ A e. ~PA) -> y e. ~PA))
9	8	exp3a 405	. . . . . . . 8 |- (Tr ~PA -> (y e. A -> (A e. ~PA -> y e. ~PA)))
10	2, 5, 7, 9	e120 16553	. . . . . . 7 |- . Tr ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   y e. ~PA .
11		elpwi 3039	. . . . . . 7 |- (y e. ~PA -> y C_ A)
12	10, 11	e2 16521	. . . . . 6 |- . Tr ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   y C_ A .
13		simpl 346	. . . . . . 7 |- ((z e. y /\ y e. A) -> z e. y)
14	3, 13	e2 16521	. . . . . 6 |- . Tr ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   z e. y .
15		ssel 2615	. . . . . 6 |- (y C_ A -> (z e. y -> z e. A))
16	12, 14, 15	e22 16561	. . . . 5 |- . Tr ~PA, (z e. y /\ y e. A)   ⊢   z e. A .
17	16	in2 16506	. . . 4 |- . Tr ~PA   ⊢   ((z e. y /\ y e. A) -> z e. A) .
18	17	gen12 16513	. . 3 |- . Tr ~PA   ⊢   A.zA.y((z e. y /\ y e. A) -> z e. A) .
19		bi2 166	. . 3 |- ((Tr A <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. A) -> z e. A)) -> (A.zA.y((z e. y /\ y e. A) -> z e. A) -> Tr A))
20	1, 18, 19	e01 16581	. 2 |- . Tr ~PA   ⊢   Tr A .
21	20	in1 16481	1 |- (Tr ~PA -> Tr A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  Tr wtr 3411

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035  df-uni 3178  df-tr 3412  df-vd1 16480  df-vd2 16489

Copyright terms: Public domain