MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwtp Structured version   Unicode version

Theorem pwtp 4185
Description: The power set of an unordered triple. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
pwtp  |-  ~P { A ,  B ,  C }  =  (
( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )

Proof of Theorem pwtp
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selpw 3959 . . 3  |-  ( x  e.  ~P { A ,  B ,  C }  <->  x 
C_  { A ,  B ,  C }
)
2 elun 3581 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <->  ( x  e.  { (/) ,  { A } }  \/  x  e.  { { B } ,  { A ,  B } } ) )
3 vex 3059 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
43elpr 3987 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) ,  { A } }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } ) )
53elpr 3987 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { B } ,  { A ,  B } }  <->  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) )
64, 5orbi12i 519 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { (/) ,  { A } }  \/  x  e.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  (
x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B }
) ) )
72, 6bitri 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  <->  ( (
x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) ) )
8 elun 3581 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  \/  x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )
93elpr 3987 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  <->  ( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C } ) )
103elpr 3987 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } }  <->  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) )
119, 10orbi12i 519 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { { C } ,  { A ,  C } }  \/  x  e.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( (
x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) )
128, 11bitri 249 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } )  <->  ( (
x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) )
137, 12orbi12i 519 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  \/  x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  <->  ( ( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  ( x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B } ) )  \/  ( ( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C }
)  \/  ( x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) ) )
14 elun 3581 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )  <->  ( x  e.  ( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  \/  x  e.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) ) )
15 sstp 4133 . . . 4  |-  ( x 
C_  { A ,  B ,  C }  <->  ( ( ( x  =  (/)  \/  x  =  { A } )  \/  (
x  =  { B }  \/  x  =  { A ,  B }
) )  \/  (
( x  =  { C }  \/  x  =  { A ,  C } )  \/  (
x  =  { B ,  C }  \/  x  =  { A ,  B ,  C } ) ) ) )
1613, 14, 153bitr4ri 278 . . 3  |-  ( x 
C_  { A ,  B ,  C }  <->  x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) ) )
171, 16bitri 249 . 2  |-  ( x  e.  ~P { A ,  B ,  C }  <->  x  e.  ( ( {
(/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) ) )
1817eqriv 2396 1  |-  ~P { A ,  B ,  C }  =  (
( { (/) ,  { A } }  u.  { { B } ,  { A ,  B } } )  u.  ( { { C } ,  { A ,  C } }  u.  { { B ,  C } ,  { A ,  B ,  C } } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 366    = wceq 1403    e. wcel 1840    u. cun 3409    C_ wss 3411   (/)c0 3735   ~Pcpw 3952   {csn 3969   {cpr 3971   {ctp 3973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ral 2756  df-v 3058  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974
This theorem is referenced by:  ex-pw  25449
  Copyright terms: Public domain W3C validator