MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsvscaval Structured version   Unicode version

Theorem pwsvscaval 15345
Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsvscaval.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsvscaval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsvscaval.s  |-  .x.  =  ( .s `  R )
pwsvscaval.t  |-  .xb  =  ( .s `  Y )
pwsvscaval.f  |-  F  =  (Scalar `  R )
pwsvscaval.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
pwsvscaval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsvscaval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsvscaval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
pwsvscaval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
pwsvscaval.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
pwsvscaval  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( A 
.x.  ( X `  J ) ) )

Proof of Theorem pwsvscaval
StepHypRef Expression
1 pwsvscaval.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 pwsvscaval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 pwsvscaval.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  R )
4 pwsvscaval.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  Y )
5 pwsvscaval.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  R )
6 pwsvscaval.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
7 pwsvscaval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
8 pwsvscaval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 pwsvscaval.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
10 pwsvscaval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pwsvscafval 15344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  X
)  =  ( ( I  X.  { A } )  oF  .x.  X ) )
1211fveq1d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( ( ( I  X.  { A } )  oF  .x.  X ) `  J ) )
13 pwsvscaval.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
14 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
151, 14, 2, 7, 8, 10pwselbas 15339 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : I --> ( Base `  R ) )
16 ffn 5737 . . . . 5  |-  ( X : I --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  I )
1715, 16syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  Fn  I )
18 eqidd 2421 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  I )  ->  ( X `  J )  =  ( X `  J ) )
198, 9, 17, 18ofc1 6559 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  I )  ->  (
( ( I  X.  { A } )  oF  .x.  X ) `
 J )  =  ( A  .x.  ( X `  J )
) )
2013, 19mpdan 672 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I  X.  { A }
)  oF  .x.  X ) `  J
)  =  ( A 
.x.  ( X `  J ) ) )
2112, 20eqtrd 2461 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( A 
.x.  ( X `  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {csn 3993    X. cxp 4843    Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296    oFcof 6534   Basecbs 15073  Scalarcsca 15145   .scvsca 15146    ^s cpws 15297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-hom 15166  df-cco 15167  df-prds 15298  df-pws 15300
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator