MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsvscaval Structured version   Unicode version

Theorem pwsvscaval 14448
Description: Scalar multiplication of a single coordinate in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsvscaval.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsvscaval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsvscaval.s  |-  .x.  =  ( .s `  R )
pwsvscaval.t  |-  .xb  =  ( .s `  Y )
pwsvscaval.f  |-  F  =  (Scalar `  R )
pwsvscaval.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
pwsvscaval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsvscaval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsvscaval.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
pwsvscaval.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
pwsvscaval.j  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
Assertion
Ref Expression
pwsvscaval  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( A 
.x.  ( X `  J ) ) )

Proof of Theorem pwsvscaval
StepHypRef Expression
1 pwsvscaval.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 pwsvscaval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 pwsvscaval.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  R )
4 pwsvscaval.t . . . 4  |-  .xb  =  ( .s `  Y )
5 pwsvscaval.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  R )
6 pwsvscaval.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
7 pwsvscaval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
8 pwsvscaval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 pwsvscaval.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
10 pwsvscaval.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pwsvscafval 14447 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .xb  X
)  =  ( ( I  X.  { A } )  oF  .x.  X ) )
1211fveq1d 5708 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( ( ( I  X.  { A } )  oF  .x.  X ) `  J ) )
13 pwsvscaval.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  I )
14 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
151, 14, 2, 7, 8, 10pwselbas 14442 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : I --> ( Base `  R ) )
16 ffn 5574 . . . . 5  |-  ( X : I --> ( Base `  R )  ->  X  Fn  I )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  Fn  I )
18 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  I )  ->  ( X `  J )  =  ( X `  J ) )
198, 9, 17, 18ofc1 6358 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  I )  ->  (
( ( I  X.  { A } )  oF  .x.  X ) `
 J )  =  ( A  .x.  ( X `  J )
) )
2013, 19mpdan 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( I  X.  { A }
)  oF  .x.  X ) `  J
)  =  ( A 
.x.  ( X `  J ) ) )
2112, 20eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .xb  X ) `  J
)  =  ( A 
.x.  ( X `  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3892    X. cxp 4853    Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    oFcof 6333   Basecbs 14189  Scalarcsca 14256   .scvsca 14257    ^s cpws 14400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-fz 11453  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-hom 14277  df-cco 14278  df-prds 14401  df-pws 14403
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator