Theorem pwssun 3578

Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235.

Assertion

Ref	Expression
pwssun	|- ((A C_ B \/ B C_ A) <-> ~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB))

Proof of Theorem pwssun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orcom 266	. . . 4 |- ((A C_ B \/ B C_ A) <-> (B C_ A \/ A C_ B))
2		ssequn2 2779	. . . . . 6 |- (B C_ A <-> (A u. B) = A)
3		pweq 3036	. . . . . . 7 |- ((A u. B) = A -> ~P(A u. B) = ~PA)
4		eqimss 2665	. . . . . . 7 |- (~P(A u. B) = ~PA -> ~P(A u. B) C_ ~PA)
5	3, 4	syl 12	. . . . . 6 |- ((A u. B) = A -> ~P(A u. B) C_ ~PA)
6	2, 5	sylbi 216	. . . . 5 |- (B C_ A -> ~P(A u. B) C_ ~PA)
7		ssequn1 2775	. . . . . 6 |- (A C_ B <-> (A u. B) = B)
8		pweq 3036	. . . . . . 7 |- ((A u. B) = B -> ~P(A u. B) = ~PB)
9		eqimss 2665	. . . . . . 7 |- (~P(A u. B) = ~PB -> ~P(A u. B) C_ ~PB)
10	8, 9	syl 12	. . . . . 6 |- ((A u. B) = B -> ~P(A u. B) C_ ~PB)
11	7, 10	sylbi 216	. . . . 5 |- (A C_ B -> ~P(A u. B) C_ ~PB)
12	6, 11	orim12i 363	. . . 4 |- ((B C_ A \/ A C_ B) -> (~P(A u. B) C_ ~PA \/ ~P(A u. B) C_ ~PB))
13	1, 12	sylbi 216	. . 3 |- ((A C_ B \/ B C_ A) -> (~P(A u. B) C_ ~PA \/ ~P(A u. B) C_ ~PB))
14		ssun 2782	. . 3 |- ((~P(A u. B) C_ ~PA \/ ~P(A u. B) C_ ~PB) -> ~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB))
15	13, 14	syl 12	. 2 |- ((A C_ B \/ B C_ A) -> ~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB))
16		ssel 2615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> ({x, y} e. ~P(A u. B) -> {x, y} e. (~PA u. ~PB)))
17		unss12 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (({x} C_ A /\ {y} C_ B) -> ({x} u. {y}) C_ (A u. B))
18		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- x e. _V
19	18	snss 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (x e. A <-> {x} C_ A)
20		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- y e. _V
21	20	snss 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. B <-> {y} C_ B)
22	17, 19, 21	syl2anb 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((x e. A /\ y e. B) -> ({x} u. {y}) C_ (A u. B))
23		zfpair2 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- {x, y} e. _V
24	23	elpw 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ({x, y} e. ~P(A u. B) <-> {x, y} C_ (A u. B))
25		df-pr 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- {x, y} = ({x} u. {y})
26	25	sseq1i 2641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ({x, y} C_ (A u. B) <-> ({x} u. {y}) C_ (A u. B))
27	24, 26	bitr2i 191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (({x} u. {y}) C_ (A u. B) <-> {x, y} e. ~P(A u. B))
28	22, 27	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. ~P(A u. B))
29	16, 28	syl5 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> ((x e. A /\ y e. B) -> {x, y} e. (~PA u. ~PB)))
30	29	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> (x e. A -> (y e. B -> {x, y} e. (~PA u. ~PB))))
31	30	com23 36	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> (y e. B -> (x e. A -> {x, y} e. (~PA u. ~PB))))
32	31	imp31 389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ y e. B) /\ x e. A) -> {x, y} e. (~PA u. ~PB))
33		elun 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. (~PA u. ~PB) <-> ({x, y} e. ~PA \/ {x, y} e. ~PB))
34	32, 33	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ y e. B) /\ x e. A) -> ({x, y} e. ~PA \/ {x, y} e. ~PB))
35	23	elpw 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ({x, y} e. ~PA <-> {x, y} C_ A)
36	18, 20	prss 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. A /\ y e. A) <-> {x, y} C_ A)
37	35, 36	bitr4i 193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ({x, y} e. ~PA <-> (x e. A /\ y e. A))
38	37	simprbi 353	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. ~PA -> y e. A)
39	23	elpw 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ({x, y} e. ~PB <-> {x, y} C_ B)
40	18, 20	prss 3138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. B /\ y e. B) <-> {x, y} C_ B)
41	39, 40	bitr4i 193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ({x, y} e. ~PB <-> (x e. B /\ y e. B))
42	41	simplbi 349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({x, y} e. ~PB -> x e. B)
43	38, 42	orim12i 363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (({x, y} e. ~PA \/ {x, y} e. ~PB) -> (y e. A \/ x e. B))
44	34, 43	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ y e. B) /\ x e. A) -> (y e. A \/ x e. B))
45	44	ord 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ y e. B) /\ x e. A) -> (-. y e. A -> x e. B))
46	45	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ y e. B) -> (x e. A -> (-. y e. A -> x e. B)))
47	46	com23 36	. . . . . . . . . . 11 |- ((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ y e. B) -> (-. y e. A -> (x e. A -> x e. B)))
48	47	imp 377	. . . . . . . . . 10 |- (((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ y e. B) /\ -. y e. A) -> (x e. A -> x e. B))
49	48	ssrdv 2622	. . . . . . . . 9 |- (((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ y e. B) /\ -. y e. A) -> A C_ B)
50	49	exp31 407	. . . . . . . 8 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> (y e. B -> (-. y e. A -> A C_ B)))
51		con1b 181	. . . . . . . 8 |- ((-. y e. A -> A C_ B) <-> (-. A C_ B -> y e. A))
52	50, 51	syl6ib 229	. . . . . . 7 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> (y e. B -> (-. A C_ B -> y e. A)))
53	52	com23 36	. . . . . 6 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> (-. A C_ B -> (y e. B -> y e. A)))
54	53	imp 377	. . . . 5 |- ((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ -. A C_ B) -> (y e. B -> y e. A))
55	54	ssrdv 2622	. . . 4 |- ((~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) /\ -. A C_ B) -> B C_ A)
56	55	ex 402	. . 3 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> (-. A C_ B -> B C_ A))
57	56	orrd 250	. 2 |- (~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB) -> (A C_ B \/ B C_ A))
58	15, 57	impbii 174	1 |- ((A C_ B \/ B C_ A) <-> ~P(A u. B) C_ (~PA u. ~PB))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   u. cun 2591   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044  {cpr 3045

This theorem is referenced by:  pwun 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050

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