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Theorem pwssun 4745
Description: The power class of the union of two classes is a subset of the union of their power classes, iff one class is a subclass of the other. Exercise 4.12(l) of [Mendelson] p. 235. (Contributed by NM, 23-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
pwssun  |-  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  <->  ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B ) )

Proof of Theorem pwssun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssequn2 3598 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  A  <->  ( A  u.  B )  =  A )
2 pweq 3945 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  =  A  ->  ~P ( A  u.  B
)  =  ~P A
)
3 eqimss 3470 . . . . . . 7  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  =  ~P A  ->  ~P ( A  u.  B )  C_  ~P A )
42, 3syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  =  A  ->  ~P ( A  u.  B
)  C_  ~P A
)
51, 4sylbi 200 . . . . 5  |-  ( B 
C_  A  ->  ~P ( A  u.  B
)  C_  ~P A
)
6 ssequn1 3595 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
7 pweq 3945 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  =  B  ->  ~P ( A  u.  B
)  =  ~P B
)
8 eqimss 3470 . . . . . . 7  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  =  ~P B  ->  ~P ( A  u.  B )  C_  ~P B )
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  =  B  ->  ~P ( A  u.  B
)  C_  ~P B
)
106, 9sylbi 200 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  ~P ( A  u.  B
)  C_  ~P B
)
115, 10orim12i 525 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  \/  A  C_  B )  -> 
( ~P ( A  u.  B )  C_  ~P A  \/  ~P ( A  u.  B
)  C_  ~P B
) )
1211orcoms 396 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  -> 
( ~P ( A  u.  B )  C_  ~P A  \/  ~P ( A  u.  B
)  C_  ~P B
) )
13 ssun 3604 . . 3  |-  ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ~P A  \/  ~P ( A  u.  B )  C_ 
~P B )  ->  ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  ->  ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
) )
15 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  x  e. 
_V
1615snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  <->  { x }  C_  A )
17 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  e. 
_V
1817snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  B  <->  { y }  C_  B )
19 unss12 3597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { x }  C_  A  /\  { y } 
C_  B )  -> 
( { x }  u.  { y } ) 
C_  ( A  u.  B ) )
2016, 18, 19syl2anb 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( { x }  u.  { y } ) 
C_  ( A  u.  B ) )
21 zfpair2 4640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { x ,  y }  e.  _V
2221elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B )  <->  { x ,  y }  C_  ( A  u.  B
) )
23 df-pr 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { x ,  y }  =  ( { x }  u.  { y } )
2423sseq1i 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { x ,  y } 
C_  ( A  u.  B )  <->  ( {
x }  u.  {
y } )  C_  ( A  u.  B
) )
2522, 24bitr2i 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { x }  u.  { y } )  C_  ( A  u.  B
)  <->  { x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B )
)
2620, 25sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B )
)
27 ssel 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
)  ->  ( {
x ,  y }  e.  ~P ( A  u.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ( ~P A  u.  ~P B
) ) )
2826, 27syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
)  ->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  { x ,  y }  e.  ( ~P A  u.  ~P B
) ) )
2928expcomd 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
)  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  { x ,  y }  e.  ( ~P A  u.  ~P B ) ) ) )
3029imp31 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B )  /\  y  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  { x ,  y }  e.  ( ~P A  u.  ~P B ) )
31 elun 3565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x ,  y }  e.  ( ~P A  u.  ~P B )  <->  ( {
x ,  y }  e.  ~P A  \/  { x ,  y }  e.  ~P B ) )
3230, 31sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B )  /\  y  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  ( { x ,  y }  e.  ~P A  \/  { x ,  y }  e.  ~P B
) )
3321elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x ,  y }  e.  ~P A  <->  { x ,  y }  C_  A )
3415, 17prss 4117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  { x ,  y } 
C_  A )
3533, 34bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x ,  y }  e.  ~P A  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )
3635simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x ,  y }  e.  ~P A  -> 
y  e.  A )
3721elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { x ,  y }  e.  ~P B  <->  { x ,  y }  C_  B )
3815, 17prss 4117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  { x ,  y } 
C_  B )
3937, 38bitr4i 260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x ,  y }  e.  ~P B  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )
4039simplbi 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { x ,  y }  e.  ~P B  ->  x  e.  B )
4136, 40orim12i 525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x ,  y }  e.  ~P A  \/  { x ,  y }  e.  ~P B
)  ->  ( y  e.  A  \/  x  e.  B ) )
4232, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B )  /\  y  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y  e.  A  \/  x  e.  B )
)
4342ord 384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B )  /\  y  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  x  e.  B ) )
4443impancom 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B )  /\  y  e.  B )  /\  -.  y  e.  A )  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  B ) )
4544ssrdv 3424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B )  /\  y  e.  B )  /\  -.  y  e.  A )  ->  A  C_  B )
4645exp31 615 . . . . . . . 8  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
)  ->  ( y  e.  B  ->  ( -.  y  e.  A  ->  A  C_  B ) ) )
47 con1b 340 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  y  e.  A  ->  A  C_  B )  <->  ( -.  A  C_  B  ->  y  e.  A ) )
4846, 47syl6ib 234 . . . . . . 7  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
)  ->  ( y  e.  B  ->  ( -.  A  C_  B  ->  y  e.  A ) ) )
4948com23 80 . . . . . 6  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
)  ->  ( -.  A  C_  B  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  A ) ) )
5049imp 436 . . . . 5  |-  ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B )  /\  -.  A  C_  B )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  A ) )
5150ssrdv 3424 . . . 4  |-  ( ( ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B )  /\  -.  A  C_  B )  ->  B  C_  A )
5251ex 441 . . 3  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
)  ->  ( -.  A  C_  B  ->  B  C_  A ) )
5352orrd 385 . 2  |-  ( ~P ( A  u.  B
)  C_  ( ~P A  u.  ~P B
)  ->  ( A  C_  B  \/  B  C_  A ) )
5414, 53impbii 192 1  |-  ( ( A  C_  B  \/  B  C_  A )  <->  ~P ( A  u.  B )  C_  ( ~P A  u.  ~P B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-v 3033  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962
This theorem is referenced by:  pwun  4747
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