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Theorem pwssplit4 30969
Description: Splitting for structure powers 4: maps isomorphically onto the other half. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit4.e  |-  E  =  ( R  ^s  ( A  u.  B ) )
pwssplit4.g  |-  G  =  ( Base `  E
)
pwssplit4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
pwssplit4.k  |-  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }
pwssplit4.f  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
pwssplit4.c  |-  C  =  ( R  ^s  A )
pwssplit4.d  |-  D  =  ( R  ^s  B )
pwssplit4.l  |-  L  =  ( Es  K )
Assertion
Ref Expression
pwssplit4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMIso  D ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y    x, D, y   
x, E, y    x, G, y    x, K    x, L    x, R, y    x, V, y    x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    K( y)    L( y)

Proof of Theorem pwssplit4
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit4.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
2 pwssplit4.k . . . . . 6  |-  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }
3 ssrab2 3590 . . . . . 6  |-  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) } 
C_  G
42, 3eqsstri 3539 . . . . 5  |-  K  C_  G
5 resmpt 5329 . . . . 5  |-  ( K 
C_  G  ->  (
( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  |`  K )  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
71, 6eqtr4i 2499 . . 3  |-  F  =  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  |`  K )
8 ssun2 3673 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  C_  ( A  u.  B
) )
10 pwssplit4.e . . . . . 6  |-  E  =  ( R  ^s  ( A  u.  B ) )
11 pwssplit4.d . . . . . 6  |-  D  =  ( R  ^s  B )
12 pwssplit4.g . . . . . 6  |-  G  =  ( Base `  E
)
13 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
14 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  =  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )
1510, 11, 12, 13, 14pwssplit3 17576 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  B  C_  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  e.  ( E LMHom 
D ) )
169, 15syld3an3 1273 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( E LMHom  D ) )
17 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  R  e. 
LMod )
18 lmodgrp 17388 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
19 grpmnd 15933 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Grp  ->  R  e.  Mnd )
2017, 18, 193syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  R  e. 
Mnd )
21 ssun1 3672 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
22 ssexg 4599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2321, 22mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  e.  V  ->  A  e.  _V )
24233ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e. 
_V )
25 pwssplit4.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( R  ^s  A )
26 pwssplit4.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2725, 26pws0g 15828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  C ) )
2820, 24, 27syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  C ) )
2928eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) ) )
3029rabbidv 3110 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
312, 30syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
3221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  C_  ( A  u.  B
) )
33 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
34 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )  =  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )
3510, 25, 12, 33, 34pwssplit3 17576 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  A  C_  ( A  u.  B
) )  ->  (
y  e.  G  |->  ( y  |`  A )
)  e.  ( E LMHom 
C ) )
3632, 35syld3an3 1273 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )  e.  ( E LMHom  C ) )
37 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  C )  e. 
_V
3834mptiniseg 5507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  C )  e.  _V  ->  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )  =  {
y  e.  G  | 
( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }
4039eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  =  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )
41 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
42 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  E )  =  (
LSubSp `  E )
4340, 41, 42lmhmkerlss 17566 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A )
)  e.  ( E LMHom 
C )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  e.  ( LSubSp `  E )
)
4436, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  e.  ( LSubSp `  E )
)
4531, 44eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  e.  ( LSubSp `  E )
)
46 pwssplit4.l . . . . 5  |-  L  =  ( Es  K )
4742, 46reslmhm 17567 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( E LMHom 
D )  /\  K  e.  ( LSubSp `  E )
)  ->  ( (
x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  e.  ( L LMHom  D ) )
4816, 45, 47syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  e.  ( L LMHom  D ) )
497, 48syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMHom  D ) )
501fvtresfn 5958 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  K  ->  ( F `  a )  =  ( a  |`  B ) )
51 ssexg 4599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  B  e.  _V )
528, 51mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  e.  V  ->  B  e.  _V )
53523ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e. 
_V )
5411, 26pws0g 15828 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  _V )  ->  ( B  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  D ) )
5520, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( B  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  D ) )
5655eqcomd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( 0g
`  D )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )
5750, 56eqeqan12rd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( F `  a
)  =  ( 0g
`  D )  <->  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )
58 reseq1 5273 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
y  |`  A )  =  ( a  |`  A ) )
5958eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
6059, 2elrab2 3268 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  K  <->  ( a  e.  G  /\  (
a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
61 uneq12 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( ( a  |`  A )  u.  (
a  |`  B ) )  =  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  u.  ( B  X.  {  .0.  }
) ) )
62 resundi 5293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( a  |`  A )  u.  ( a  |`  B ) )
63 xpundir 5059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  ( B  X.  {  .0.  }
) )
6461, 62, 633eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( a  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  X.  {  .0.  } ) )
6564adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  (
a  |`  ( A  u.  B ) )  =  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  } ) )
6665adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( a  |`  ( A  u.  B )
)  =  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
) )
67 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
68 simpl1 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  ->  R  e.  LMod )
69 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  V )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  V )
71 simprll 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a  e.  G )
7210, 67, 12, 68, 70, 71pwselbas 14760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a : ( A  u.  B ) --> (
Base `  R )
)
73 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R )  ->  a  Fn  ( A  u.  B
) )
74 fnresdm 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  Fn  ( A  u.  B )  ->  (
a  |`  ( A  u.  B ) )  =  a )
7572, 73, 743syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( a  |`  ( A  u.  B )
)  =  a )
7610, 26pws0g 15828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( A  u.  B
)  e.  V )  ->  ( ( A  u.  B )  X. 
{  .0.  } )  =  ( 0g `  E ) )
7720, 69, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  E ) )
7810pwslmod 17485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  E  e.  LMod )
79783adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  E  e. 
LMod )
8042lsssubg 17472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  e.  LMod  /\  K  e.  ( LSubSp `  E )
)  ->  K  e.  (SubGrp `  E ) )
8179, 45, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  e.  (SubGrp `  E )
)
82 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  E )  =  ( 0g `  E
)
8346, 82subg0 16078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (SubGrp `  E
)  ->  ( 0g `  E )  =  ( 0g `  L ) )
8481, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( 0g
`  E )  =  ( 0g `  L
) )
8577, 84eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  L ) )
8685adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  L ) )
8766, 75, 863eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )
8887exp32 605 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
8960, 88syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  K  ->  (
( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
9089imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) )
9157, 90sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( F `  a
)  =  ( 0g
`  D )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) )
9291ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) )
93 lmghm 17546 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F  e.  ( L  GrpHom  D ) )
9446, 12ressbas2 14562 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  G  ->  K  =  ( Base `  L
) )
954, 94ax-mp 5 . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  L
)
96 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
97 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
9895, 13, 96, 97ghmf1 16166 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L  GrpHom  D )  ->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D
)  <->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
9949, 93, 983syl 20 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D )  <->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
10092, 99mpbird 232 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F : K -1-1-> ( Base `  D
) )
101 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
102101, 13lmhmf 17549 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F :
( Base `  L ) --> ( Base `  D )
)
103 frn 5743 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  L
) --> ( Base `  D
)  ->  ran  F  C_  ( Base `  D )
)
10449, 102, 1033syl 20 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  D
) )
10511, 67, 13pwselbasb 14759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  B  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( Base `  D )  <->  a : B
--> ( Base `  R
) ) )
10617, 53, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  ( Base `  D
)  <->  a : B --> ( Base `  R )
) )
107106biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  a : B --> ( Base `  R
) )
108 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
10926, 108eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  e.  _V
110109fconst 5777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> {  .0.  }
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> {  .0.  } )
11220adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  R  e.  Mnd )
11367, 26mndidcl 15810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
115114snssd 4178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  {  .0.  } 
C_  ( Base `  R
) )
116111, 115fssd 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> ( Base `  R ) )
117 incom 3696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
118 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
119117, 118syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
120119adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
121 fun 5754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a : B --> ( Base `  R )  /\  ( A  X.  {  .0.  } ) : A --> ( Base `  R )
)  /\  ( B  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) : ( B  u.  A
) --> ( ( Base `  R )  u.  ( Base `  R ) ) )
122107, 116, 120, 121syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( B  u.  A ) --> ( ( Base `  R
)  u.  ( Base `  R ) ) )
123 uncom 3653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  u.  A )  =  ( A  u.  B
)
124 unidm 3652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Base `  R )  u.  ( Base `  R
) )  =  (
Base `  R )
125123, 124feq23i 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( B  u.  A ) --> ( ( Base `  R
)  u.  ( Base `  R ) )  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) : ( A  u.  B
) --> ( Base `  R
) )
126122, 125sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) )
12710, 67, 12pwselbasb 14759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
1281273adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
130126, 129mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G
)
131 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
132117, 131syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
133 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a : B --> ( Base `  R )  ->  a  Fn  B )
134 fnresdisj 5697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  Fn  B  ->  (
( B  i^i  A
)  =  (/)  <->  ( a  |`  A )  =  (/) ) )
135107, 133, 1343syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( B  i^i  A
)  =  (/)  <->  ( a  |`  A )  =  (/) ) )
136132, 135mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  |`  A )  =  (/) )
137 fnconstg 5779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  .0. 
e.  _V  ->  ( A  X.  {  .0.  }
)  Fn  A )
138 fnresdm 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A  -> 
( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
139109, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
141136, 140uneq12d 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  A )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  A ) )  =  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )
142 resundir 5294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  A )  =  ( ( a  |`  A )  u.  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  A ) )
143 uncom 3653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  =  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  (/) )
144 un0 3815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  (/) )  =  ( A  X.  {  .0.  } )
145143, 144eqtr2i 2497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  X.  {  .0.  }
)  =  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )
146141, 142, 1453eqtr4g 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
147 reseq1 5273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( y  |`  A )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A ) )
148147eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
149148, 2elrab2 3268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  <->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  /\  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
150130, 146, 149sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K
)
151 resexg 5322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  ->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B )  e.  _V )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  e.  _V )
153 reseq1 5273 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( x  |`  B )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
154153, 1fvmptg 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  /\  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B )  e.  _V )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
155150, 152, 154syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
156 resundir 5294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  =  ( ( a  |`  B )  u.  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  B ) )
157 fnresdm 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  Fn  B  ->  (
a  |`  B )  =  a )
158107, 133, 1573syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  |`  B )  =  a )
159 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } ) : A --> {  .0.  }  ->  ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A )
160 fnresdisj 5697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A  -> 
( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B )  =  (/) ) )
161110, 159, 160mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B )  =  (/) )
162161biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
1631623ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
165158, 164uneq12d 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  B )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B ) )  =  ( a  u.  (/) ) )
166 un0 3815 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  u.  (/) )  =  a
167165, 166syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  B )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B ) )  =  a )
168156, 167syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  =  a )
169155, 168eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  =  a )
17095, 13lmhmf 17549 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F : K
--> ( Base `  D
) )
171 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : K --> ( Base `  D )  ->  F  Fn  K )
17249, 170, 1713syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  Fn  K )
173172adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  Fn  K )
174 fnfvelrn 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  K  /\  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K
)  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )  e. 
ran  F )
175173, 150, 174syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  e.  ran  F )
176169, 175eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  a  e.  ran  F )
177176ex 434 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  ( Base `  D
)  ->  a  e.  ran  F ) )
178177ssrdv 3515 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( Base `  D )  C_  ran  F )
179104, 178eqssd 3526 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ran  F  =  ( Base `  D
) )
180 dff1o5 5831 . . 3  |-  ( F : K -1-1-onto-> ( Base `  D
)  <->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D
)  /\  ran  F  =  ( Base `  D
) ) )
181100, 179, 180sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F : K
-1-1-onto-> ( Base `  D )
)
18295, 13islmim 17577 . 2  |-  ( F  e.  ( L LMIso  D
)  <->  ( F  e.  ( L LMHom  D )  /\  F : K -1-1-onto-> ( Base `  D ) ) )
18349, 181, 182sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMIso  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   `'ccnv 5004   ran crn 5006    |` cres 5007   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14506   ↾s cress 14507   0gc0g 14711    ^s cpws 14718   Mndcmnd 15792   Grpcgrp 15924  SubGrpcsubg 16066    GrpHom cghm 16135   LModclmod 17381   LSubSpclss 17447   LMHom clmhm 17534   LMIso clmim 17535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-hom 14595  df-cco 14596  df-0g 14713  df-prds 14719  df-pws 14721  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-subg 16069  df-ghm 16136  df-mgp 17012  df-ur 17024  df-ring 17070  df-lmod 17383  df-lss 17448  df-lmhm 17537  df-lmim 17538
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  30973
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