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Theorem pwssplit4 31218
Description: Splitting for structure powers 4: maps isomorphically onto the other half. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit4.e  |-  E  =  ( R  ^s  ( A  u.  B ) )
pwssplit4.g  |-  G  =  ( Base `  E
)
pwssplit4.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
pwssplit4.k  |-  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }
pwssplit4.f  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
pwssplit4.c  |-  C  =  ( R  ^s  A )
pwssplit4.d  |-  D  =  ( R  ^s  B )
pwssplit4.l  |-  L  =  ( Es  K )
Assertion
Ref Expression
pwssplit4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMIso  D ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y    x, C, y    x, D, y   
x, E, y    x, G, y    x, K    x, L    x, R, y    x, V, y    x,  .0. , y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    K( y)    L( y)

Proof of Theorem pwssplit4
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit4.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
2 pwssplit4.k . . . . . 6  |-  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }
3 ssrab2 3581 . . . . . 6  |-  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) } 
C_  G
42, 3eqsstri 3529 . . . . 5  |-  K  C_  G
5 resmpt 5333 . . . . 5  |-  ( K 
C_  G  ->  (
( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  |`  K )  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) ) )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  =  ( x  e.  K  |->  ( x  |`  B ) )
71, 6eqtr4i 2489 . . 3  |-  F  =  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  |`  K )
8 ssun2 3664 . . . . . 6  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  C_  ( A  u.  B
) )
10 pwssplit4.e . . . . . 6  |-  E  =  ( R  ^s  ( A  u.  B ) )
11 pwssplit4.d . . . . . 6  |-  D  =  ( R  ^s  B )
12 pwssplit4.g . . . . . 6  |-  G  =  ( Base `  E
)
13 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
14 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  =  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )
1510, 11, 12, 13, 14pwssplit3 17834 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  B  C_  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  e.  ( E LMHom 
D ) )
169, 15syld3an3 1273 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( E LMHom  D ) )
17 simp1 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  R  e. 
LMod )
18 lmodgrp 17646 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  LMod  ->  R  e. 
Grp )
19 grpmnd 16189 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Grp  ->  R  e.  Mnd )
2017, 18, 193syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  R  e. 
Mnd )
21 ssun1 3663 . . . . . . . . . . 11  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
22 ssexg 4602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  A  e.  _V )
2321, 22mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  e.  V  ->  A  e.  _V )
24233ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e. 
_V )
25 pwssplit4.c . . . . . . . . . 10  |-  C  =  ( R  ^s  A )
26 pwssplit4.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
2725, 26pws0g 16083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  _V )  ->  ( A  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  C ) )
2820, 24, 27syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  C ) )
2928eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) ) )
3029rabbidv 3101 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) }  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
312, 30syl5eq 2510 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
3221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  C_  ( A  u.  B
) )
33 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
34 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )  =  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )
3510, 25, 12, 33, 34pwssplit3 17834 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  A  C_  ( A  u.  B
) )  ->  (
y  e.  G  |->  ( y  |`  A )
)  e.  ( E LMHom 
C ) )
3632, 35syld3an3 1273 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) )  e.  ( E LMHom  C ) )
37 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  C )  e. 
_V
3834mptiniseg 5507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0g `  C )  e.  _V  ->  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )  =  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) } )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )  =  {
y  e.  G  | 
( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }
4039eqcomi 2470 . . . . . . 7  |-  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  =  ( `' ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A ) ) " { ( 0g `  C ) } )
41 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  C )  =  ( 0g `  C
)
42 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  E )  =  (
LSubSp `  E )
4340, 41, 42lmhmkerlss 17824 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  G  |->  ( y  |`  A )
)  e.  ( E LMHom 
C )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  e.  ( LSubSp `  E )
)
4436, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  { y  e.  G  |  ( y  |`  A )  =  ( 0g `  C ) }  e.  ( LSubSp `  E )
)
4531, 44eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  e.  ( LSubSp `  E )
)
46 pwssplit4.l . . . . 5  |-  L  =  ( Es  K )
4742, 46reslmhm 17825 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B ) )  e.  ( E LMHom 
D )  /\  K  e.  ( LSubSp `  E )
)  ->  ( (
x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  e.  ( L LMHom  D ) )
4816, 45, 47syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  e.  G  |->  ( x  |`  B )
)  |`  K )  e.  ( L LMHom  D ) )
497, 48syl5eqel 2549 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMHom  D ) )
501fvtresfn 5957 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  K  ->  ( F `  a )  =  ( a  |`  B ) )
51 ssexg 4602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  ( A  u.  B )  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  B  e.  _V )
528, 51mpan 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  e.  V  ->  B  e.  _V )
53523ad2ant2 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e. 
_V )
5411, 26pws0g 16083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  _V )  ->  ( B  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  D ) )
5520, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( B  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  D ) )
5655eqcomd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( 0g
`  D )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )
5750, 56eqeqan12rd 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( F `  a
)  =  ( 0g
`  D )  <->  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )
58 reseq1 5277 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  (
y  |`  A )  =  ( a  |`  A ) )
5958eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
6059, 2elrab2 3259 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  K  <->  ( a  e.  G  /\  (
a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
61 uneq12 3649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( ( a  |`  A )  u.  (
a  |`  B ) )  =  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  u.  ( B  X.  {  .0.  }
) ) )
62 resundi 5297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( a  |`  A )  u.  ( a  |`  B ) )
63 xpundir 5062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  ( B  X.  {  .0.  }
) )
6461, 62, 633eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( a  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( A  u.  B
)  X.  {  .0.  } ) )
6564adantll 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) )  ->  (
a  |`  ( A  u.  B ) )  =  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  } ) )
6665adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( a  |`  ( A  u.  B )
)  =  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
) )
67 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
68 simpl1 999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  ->  R  e.  LMod )
69 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  V )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( A  u.  B
)  e.  V )
71 simprll 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a  e.  G )
7210, 67, 12, 68, 70, 71pwselbas 14906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a : ( A  u.  B ) --> (
Base `  R )
)
73 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R )  ->  a  Fn  ( A  u.  B
) )
74 fnresdm 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  Fn  ( A  u.  B )  ->  (
a  |`  ( A  u.  B ) )  =  a )
7572, 73, 743syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( a  |`  ( A  u.  B )
)  =  a )
7610, 26pws0g 16083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( A  u.  B
)  e.  V )  ->  ( ( A  u.  B )  X. 
{  .0.  } )  =  ( 0g `  E ) )
7720, 69, 76syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  E ) )
7810pwslmod 17743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  E  e.  LMod )
79783adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  E  e. 
LMod )
8042lsssubg 17730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E  e.  LMod  /\  K  e.  ( LSubSp `  E )
)  ->  K  e.  (SubGrp `  E ) )
8179, 45, 80syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  K  e.  (SubGrp `  E )
)
82 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  E )  =  ( 0g `  E
)
8346, 82subg0 16334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  (SubGrp `  E
)  ->  ( 0g `  E )  =  ( 0g `  L ) )
8481, 83syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( 0g
`  E )  =  ( 0g `  L
) )
8577, 84eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  }
)  =  ( 0g
`  L ) )
8685adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
( ( A  u.  B )  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  L ) )
8766, 75, 863eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  /\  ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } ) ) )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) )
8887exp32 605 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( a  e.  G  /\  ( a  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )  ->  ( ( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
8960, 88syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  K  ->  (
( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) ) )
9089imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( a  |`  B )  =  ( B  X.  {  .0.  } )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) )
9157, 90sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  K )  ->  (
( F `  a
)  =  ( 0g
`  D )  -> 
a  =  ( 0g
`  L ) ) )
9291ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) )
93 lmghm 17804 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F  e.  ( L  GrpHom  D ) )
9446, 12ressbas2 14702 . . . . . . 7  |-  ( K 
C_  G  ->  K  =  ( Base `  L
) )
954, 94ax-mp 5 . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  L
)
96 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  L )  =  ( 0g `  L
)
97 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  D )  =  ( 0g `  D
)
9895, 13, 96, 97ghmf1 16422 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L  GrpHom  D )  ->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D
)  <->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
9949, 93, 983syl 20 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D )  <->  A. a  e.  K  ( ( F `  a )  =  ( 0g `  D )  ->  a  =  ( 0g `  L ) ) ) )
10092, 99mpbird 232 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F : K -1-1-> ( Base `  D
) )
101 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( Base `  L )  =  (
Base `  L )
102101, 13lmhmf 17807 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F :
( Base `  L ) --> ( Base `  D )
)
103 frn 5743 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  L
) --> ( Base `  D
)  ->  ran  F  C_  ( Base `  D )
)
10449, 102, 1033syl 20 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  D
) )
10511, 67, 13pwselbasb 14905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  B  e.  _V )  ->  (
a  e.  ( Base `  D )  <->  a : B
--> ( Base `  R
) ) )
10617, 53, 105syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  ( Base `  D
)  <->  a : B --> ( Base `  R )
) )
107106biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  a : B --> ( Base `  R
) )
108 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
10926, 108eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  e.  _V
110109fconst 5777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> {  .0.  }
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> {  .0.  } )
11220adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  R  e.  Mnd )
11367, 26mndidcl 16065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  .0.  e.  ( Base `  R
) )
115114snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  {  .0.  } 
C_  ( Base `  R
) )
116111, 115fssd 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  X.  {  .0.  }
) : A --> ( Base `  R ) )
117 incom 3687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
118 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
119117, 118syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
120119adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
121 fun 5754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a : B --> ( Base `  R )  /\  ( A  X.  {  .0.  } ) : A --> ( Base `  R )
)  /\  ( B  i^i  A )  =  (/) )  ->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) : ( B  u.  A
) --> ( ( Base `  R )  u.  ( Base `  R ) ) )
122107, 116, 120, 121syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( B  u.  A ) --> ( ( Base `  R
)  u.  ( Base `  R ) ) )
123 uncom 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  u.  A )  =  ( A  u.  B
)
124 unidm 3643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Base `  R )  u.  ( Base `  R
) )  =  (
Base `  R )
125123, 124feq23i 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( B  u.  A ) --> ( ( Base `  R
)  u.  ( Base `  R ) )  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) : ( A  u.  B
) --> ( Base `  R
) )
126122, 125sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) )
12710, 67, 12pwselbasb 14905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
1281273adant3 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
129128adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  <->  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) : ( A  u.  B ) --> ( Base `  R
) ) )
130126, 129mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G
)
131 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
132117, 131syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( B  i^i  A )  =  (/) )
133 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a : B --> ( Base `  R )  ->  a  Fn  B )
134 fnresdisj 5697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  Fn  B  ->  (
( B  i^i  A
)  =  (/)  <->  ( a  |`  A )  =  (/) ) )
135107, 133, 1343syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( B  i^i  A
)  =  (/)  <->  ( a  |`  A )  =  (/) ) )
136132, 135mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  |`  A )  =  (/) )
137 fnconstg 5779 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  .0. 
e.  _V  ->  ( A  X.  {  .0.  }
)  Fn  A )
138 fnresdm 5696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A  -> 
( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
139109, 137, 138mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
141136, 140uneq12d 3655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  A )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  A ) )  =  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )
142 resundir 5298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  A )  =  ( ( a  |`  A )  u.  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  A ) )
143 uncom 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  =  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  (/) )
144 un0 3819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  u.  (/) )  =  ( A  X.  {  .0.  } )
145143, 144eqtr2i 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  X.  {  .0.  }
)  =  ( (/)  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )
146141, 142, 1453eqtr4g 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) )
147 reseq1 5277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( y  |`  A )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A ) )
148147eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( ( y  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } )  <->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
149148, 2elrab2 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  <->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  G  /\  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  A )  =  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )
150130, 146, 149sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K
)
151 resexg 5326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  ->  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B )  e.  _V )
152150, 151syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  e.  _V )
153 reseq1 5277 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  -> 
( x  |`  B )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
154153, 1fvmptg 5954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K  /\  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B )  e.  _V )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
155150, 152, 154syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  =  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) )  |`  B ) )
156 resundir 5298 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  =  ( ( a  |`  B )  u.  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  B ) )
157 fnresdm 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  Fn  B  ->  (
a  |`  B )  =  a )
158107, 133, 1573syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
a  |`  B )  =  a )
159 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } ) : A --> {  .0.  }  ->  ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A )
160 fnresdisj 5697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  X.  {  .0.  } )  Fn  A  -> 
( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B )  =  (/) ) )
161110, 159, 160mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B )  =  (/) )
162161biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
1631623ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( A  X.  {  .0.  } )  |`  B )  =  (/) )
165158, 164uneq12d 3655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  B )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B ) )  =  ( a  u.  (/) ) )
166 un0 3819 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  u.  (/) )  =  a
167165, 166syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  |`  B )  u.  ( ( A  X.  {  .0.  }
)  |`  B ) )  =  a )
168156, 167syl5eq 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  (
( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  |`  B )  =  a )
169155, 168eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  =  a )
17095, 13lmhmf 17807 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( L LMHom  D
)  ->  F : K
--> ( Base `  D
) )
171 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : K --> ( Base `  D )  ->  F  Fn  K )
17249, 170, 1713syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  Fn  K )
173172adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  F  Fn  K )
174 fnfvelrn 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  K  /\  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) )  e.  K
)  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  }
) ) )  e. 
ran  F )
175173, 150, 174syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  ( F `  ( a  u.  ( A  X.  {  .0.  } ) ) )  e.  ran  F )
176169, 175eqeltrrd 2546 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B
)  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  a  e.  ( Base `  D
) )  ->  a  e.  ran  F )
177176ex 434 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( a  e.  ( Base `  D
)  ->  a  e.  ran  F ) )
178177ssrdv 3505 . . . 4  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( Base `  D )  C_  ran  F )
179104, 178eqssd 3516 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ran  F  =  ( Base `  D
) )
180 dff1o5 5831 . . 3  |-  ( F : K -1-1-onto-> ( Base `  D
)  <->  ( F : K -1-1-> ( Base `  D
)  /\  ran  F  =  ( Base `  D
) ) )
181100, 179, 180sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F : K
-1-1-onto-> ( Base `  D )
)
18295, 13islmim 17835 . 2  |-  ( F  e.  ( L LMIso  D
)  <->  ( F  e.  ( L LMHom  D )  /\  F : K -1-1-onto-> ( Base `  D ) ) )
18349, 181, 182sylanbrc 664 1  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  ( A  u.  B )  e.  V  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  F  e.  ( L LMIso  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   _Vcvv 3109    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   ran crn 5009    |` cres 5010   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   0gc0g 14857    ^s cpws 14864   Mndcmnd 16046   Grpcgrp 16180  SubGrpcsubg 16322    GrpHom cghm 16391   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LMHom clmhm 17792   LMIso clmim 17793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lmhm 17795  df-lmim 17796
This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  31222
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