Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit3 Structured version   Unicode version

Theorem pwssplit3 18283
 Description: Splitting for structure powers, part 3: restriction is a module homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y s
pwssplit1.z s
pwssplit1.b
pwssplit1.c
pwssplit1.f
Assertion
Ref Expression
pwssplit3 LMHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pwssplit3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.b . 2
2 eqid 2422 . 2
3 eqid 2422 . 2
4 eqid 2422 . 2 Scalar Scalar
5 eqid 2422 . 2 Scalar Scalar
6 eqid 2422 . 2 Scalar Scalar
7 simp1 1005 . . 3
8 simp2 1006 . . 3
9 pwssplit1.y . . . 4 s
109pwslmod 18192 . . 3
117, 8, 10syl2anc 665 . 2
12 simp3 1007 . . . 4
138, 12ssexd 4571 . . 3
14 pwssplit1.z . . . 4 s
1514pwslmod 18192 . . 3
167, 13, 15syl2anc 665 . 2
17 eqid 2422 . . . . 5 Scalar Scalar
1814, 17pwssca 15393 . . . 4 Scalar Scalar
197, 13, 18syl2anc 665 . . 3 Scalar Scalar
209, 17pwssca 15393 . . . 4 Scalar Scalar
217, 8, 20syl2anc 665 . . 3 Scalar Scalar
2219, 21eqtr3d 2465 . 2 Scalar Scalar
23 lmodgrp 18097 . . 3
24 pwssplit1.c . . . 4
25 pwssplit1.f . . . 4
269, 14, 1, 24, 25pwssplit2 18282 . . 3
2723, 26syl3an1 1297 . 2
28 snex 4662 . . . . . . . 8
29 xpexg 6607 . . . . . . . 8
308, 28, 29sylancl 666 . . . . . . 7
31 vex 3083 . . . . . . 7
32 offres 6802 . . . . . . 7
3330, 31, 32sylancl 666 . . . . . 6
3433adantr 466 . . . . 5 Scalar
35 xpssres 5158 . . . . . . . 8
36353ad2ant3 1028 . . . . . . 7
3736adantr 466 . . . . . 6 Scalar
3837oveq1d 6320 . . . . 5 Scalar
3934, 38eqtrd 2463 . . . 4 Scalar
40 eqid 2422 . . . . . 6
41 eqid 2422 . . . . . 6 Scalar Scalar
42 simpl1 1008 . . . . . 6 Scalar
43 simpl2 1009 . . . . . 6 Scalar
4421fveq2d 5885 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
4544eleq2d 2492 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
4645biimpar 487 . . . . . . 7 Scalar Scalar
4746adantrr 721 . . . . . 6 Scalar Scalar
48 simprr 764 . . . . . 6 Scalar
499, 1, 40, 2, 17, 41, 42, 43, 47, 48pwsvscafval 15391 . . . . 5 Scalar
5049reseq1d 5123 . . . 4 Scalar
5125fvtresfn 5966 . . . . . 6
5251ad2antll 733 . . . . 5 Scalar
5352oveq2d 6321 . . . 4 Scalar
5439, 50, 533eqtr4d 2473 . . 3 Scalar
551, 4, 2, 6lmodvscl 18107 . . . . . 6 Scalar
56553expb 1206 . . . . 5 Scalar
5711, 56sylan 473 . . . 4 Scalar
5825fvtresfn 5966 . . . 4
5957, 58syl 17 . . 3 Scalar
6013adantr 466 . . . 4 Scalar
619, 14, 1, 24, 25pwssplit0 18280 . . . . . 6
6261ffvelrnda 6037 . . . . 5
6362adantrl 720 . . . 4 Scalar
6414, 24, 40, 3, 17, 41, 42, 60, 47, 63pwsvscafval 15391 . . 3 Scalar
6554, 59, 643eqtr4d 2473 . 2 Scalar
661, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 16, 22, 27, 65islmhmd 18261 1 LMHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3080   wss 3436  csn 3998   cmpt 4482   cxp 4851   cres 4855  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543  cbs 15120  Scalarcsca 15192  cvsca 15193   s cpws 15344  cgrp 16668   cghm 16879  clmod 18090   LMHom clmhm 18241 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-hom 15213  df-cco 15214  df-0g 15339  df-prds 15345  df-pws 15347  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-ghm 16880  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-lmod 18092  df-lmhm 18244 This theorem is referenced by:  frlmsplit2  19329  pwssplit4  35917  pwslnmlem2  35921
 Copyright terms: Public domain W3C validator