Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssplit1 Structured version   Unicode version

Theorem pwssplit1 17576
 Description: Splitting for structure powers, part 1: restriction is an onto function. The only actual monoid law we need here is that the base set is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwssplit1.y s
pwssplit1.z s
pwssplit1.b
pwssplit1.c
pwssplit1.f
Assertion
Ref Expression
pwssplit1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pwssplit1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwssplit1.y . . 3 s
2 pwssplit1.z . . 3 s
3 pwssplit1.b . . 3
4 pwssplit1.c . . 3
5 pwssplit1.f . . 3
61, 2, 3, 4, 5pwssplit0 17575 . 2
7 simp1 996 . . . . . . . . 9
8 simp2 997 . . . . . . . . . 10
9 simp3 998 . . . . . . . . . 10
108, 9ssexd 4600 . . . . . . . . 9
11 eqid 2467 . . . . . . . . . 10
122, 11, 4pwselbasb 14760 . . . . . . . . 9
137, 10, 12syl2anc 661 . . . . . . . 8
1413biimpa 484 . . . . . . 7
15 fvex 5882 . . . . . . . . . 10
1615fconst 5777 . . . . . . . . 9
1716a1i 11 . . . . . . . 8
18 simpl1 999 . . . . . . . . . 10
19 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11
2011, 19mndidcl 15811 . . . . . . . . . 10
2118, 20syl 16 . . . . . . . . 9
2221snssd 4178 . . . . . . . 8
23 fss 5745 . . . . . . . 8
2417, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . 7
25 disjdif 3905 . . . . . . . 8
2625a1i 11 . . . . . . 7
27 fun 5754 . . . . . . 7
2814, 24, 26, 27syl21anc 1227 . . . . . 6
29 simpl3 1001 . . . . . . . 8
30 undif 3913 . . . . . . . 8
3129, 30sylib 196 . . . . . . 7
32 unidm 3652 . . . . . . . 8
3332a1i 11 . . . . . . 7
3431, 33feq23d 5732 . . . . . 6
3528, 34mpbid 210 . . . . 5
36 simpl2 1000 . . . . . 6
371, 11, 3pwselbasb 14760 . . . . . 6
3818, 36, 37syl2anc 661 . . . . 5
3935, 38mpbird 232 . . . 4
405fvtresfn 5958 . . . . . 6
4139, 40syl 16 . . . . 5
42 resundir 5294 . . . . . . 7
43 ffn 5737 . . . . . . . . 9
44 fnresdm 5696 . . . . . . . . 9
4514, 43, 443syl 20 . . . . . . . 8
46 incom 3696 . . . . . . . . . 10
4746, 25eqtri 2496 . . . . . . . . 9
48 fnconstg 5779 . . . . . . . . . . 11
4915, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
50 fnresdisj 5697 . . . . . . . . . 10
5149, 50mp1i 12 . . . . . . . . 9
5247, 51mpbii 211 . . . . . . . 8
5345, 52uneq12d 3664 . . . . . . 7
5442, 53syl5eq 2520 . . . . . 6
55 un0 3815 . . . . . 6
5654, 55syl6eq 2524 . . . . 5
5741, 56eqtr2d 2509 . . . 4
58 fveq2 5872 . . . . . 6
5958eqeq2d 2481 . . . . 5
6059rspcev 3219 . . . 4
6139, 57, 60syl2anc 661 . . 3
6261ralrimiva 2881 . 2
63 dffo3 6047 . 2
646, 62, 63sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  cvv 3118   cdif 3478   cun 3479   cin 3480   wss 3481  c0 3790  csn 4033   cmpt 4511   cxp 5003   cres 5007   wfn 5589  wf 5590  wfo 5592  cfv 5594  (class class class)co 6295  cbs 14507  c0g 14712   s cpws 14719  cmnd 15793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795 This theorem is referenced by:  pwslnmlem2  30967
 Copyright terms: Public domain W3C validator