MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsplusgval Structured version   Unicode version

Theorem pwsplusgval 14550
Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
pwsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
pwsplusgval.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
pwsplusgval.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
pwsplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  oF  .+  G
) )

Proof of Theorem pwsplusgval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
3 fvex 5812 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
5 pwsplusgval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 pwsplusgval.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
7 fnconstg 5709 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (
I  X.  { R } )  Fn  I
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  X.  { R } )  Fn  I
)
9 pwsplusgval.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
10 pwsplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
12 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
1311, 12pwsval 14546 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
146, 5, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
1514fveq2d 5806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1610, 15syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
179, 16eleqtrd 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
18 pwsplusgval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1918, 16eleqtrd 2544 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
20 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsplusgval 14533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( +g  `  (
( I  X.  { R } ) `  x
) ) ( G `
 x ) ) ) )
22 fvconst2g 6043 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  x )  =  R )
236, 22sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
2423fveq2d 5806 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  ( +g  `  R ) )
25 pwsplusgval.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2624, 25syl6eqr 2513 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  .+  )
2726oveqd 6220 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  (
( I  X.  { R } ) `  x
) ) ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
2827mpteq2dva 4489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) ) ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) ) )
2921, 28eqtrd 2495 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) ) )
30 pwsplusgval.p . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
3114fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3230, 31syl5eq 2507 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+b  =  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3332oveqd 6220 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G ) )
34 fvex 5812 . . . 4  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3534a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  _V )
36 fvex 5812 . . . 4  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
3736a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
38 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 14549 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
4039feqmptd 5856 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 14549 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
4241feqmptd 5856 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  I  |->  ( G `
 x ) ) )
435, 35, 37, 40, 42offval2 6449 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) ) )
4429, 33, 433eqtr4d 2505 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  oF  .+  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   {csn 3988    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   Basecbs 14295   +g cplusg 14360  Scalarcsca 14363   X_scprds 14506    ^s cpws 14507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-prds 14508  df-pws 14510
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  15619  pwsco1mhm  15620  pwsco2mhm  15621  pwssub  15790  pwssplit2  17267  mpfaddcl  17747  mpfind  17749  evl1addd  17903  pf1addcl  17915  frlmplusgval  18319  ply1rem  21771
  Copyright terms: Public domain W3C validator