MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsplusgval Unicode version

Theorem pwsplusgval 13667
Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
pwsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
pwsplusgval.a  |-  .+  =  ( +g  `  R )
pwsplusgval.p  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
Assertion
Ref Expression
pwsplusgval  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  o F  .+  G
) )

Proof of Theorem pwsplusgval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
3 fvex 5701 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
5 pwsplusgval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 pwsplusgval.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
7 fnconstg 5590 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (
I  X.  { R } )  Fn  I
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  X.  { R } )  Fn  I
)
9 pwsplusgval.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
10 pwsplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
12 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
1311, 12pwsval 13663 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
146, 5, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
1514fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1610, 15syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
179, 16eleqtrd 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
18 pwsplusgval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1918, 16eleqtrd 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
20 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsplusgval 13650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( +g  `  (
( I  X.  { R } ) `  x
) ) ( G `
 x ) ) ) )
22 fvconst2g 5904 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  x )  =  R )
236, 22sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
2423fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  ( +g  `  R ) )
25 pwsplusgval.a . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
2624, 25syl6eqr 2454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( +g  `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  .+  )
2726oveqd 6057 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  (
( I  X.  { R } ) `  x
) ) ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  .+  ( G `  x ) ) )
2827mpteq2dva 4255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( +g  `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) ) ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) ) )
2921, 28eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .+  ( G `  x ) ) ) )
30 pwsplusgval.p . . . 4  |-  .+b  =  ( +g  `  Y )
3114fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  Y
)  =  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3230, 31syl5eq 2448 . . 3  |-  ( ph  -> 
.+b  =  ( +g  `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3332oveqd 6057 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F ( +g  `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G ) )
34 fvex 5701 . . . 4  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3534a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  _V )
36 fvex 5701 . . . 4  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
3736a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
38 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 13666 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
4039feqmptd 5738 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 13666 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
4241feqmptd 5738 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  I  |->  ( G `
 x ) ) )
435, 35, 37, 40, 42offval2 6281 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F 
.+  G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .+  ( G `  x )
) ) )
4429, 33, 433eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  ( F  .+b  G
)  =  ( F  o F  .+  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   Basecbs 13424   +g cplusg 13484  Scalarcsca 13487   X_scprds 13624    ^s cpws 13625
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  14723  pwsco1mhm  14724  pwsco2mhm  14725  pwssub  14886  evl1addd  19907  mpfaddcl  19916  mpfind  19918  pf1addcl  19926  ply1rem  20039  pwssplit2  27057  frlmplusgval  27097
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628
  Copyright terms: Public domain W3C validator