MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Structured version   Unicode version

Theorem pwspjmhm 16566
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwspjmhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, I    x, R    x, V
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 eqid 2429 . . 3  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
3 simp2 1006 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  I  e.  V )
4 fvex 5891 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
6 fconst6g 5789 . . . 4  |-  ( R  e.  Mnd  ->  (
I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
763ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
8 simp3 1007 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  I )
91, 2, 3, 5, 7, 8prdspjmhm 16565 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) 
|->  ( x `  A
) )  e.  ( ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) MndHom  (
( I  X.  { R } ) `  A
) ) )
10 pwspjmhm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
11 pwspjmhm.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
12 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
1311, 12pwsval 15343 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
14133adant3 1025 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
1514fveq2d 5885 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1610, 15syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  B  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1716mpteq1d 4507 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) 
|->  ( x `  A
) ) )
18 fvconst2g 6133 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  A )  =  R )
19183adant2 1024 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  A )  =  R )
2019eqcomd 2437 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  R  =  ( ( I  X.  { R } ) `  A
) )
2114, 20oveq12d 6323 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( Y MndHom  R )  =  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) MndHom  (
( I  X.  { R } ) `  A
) ) )
229, 17, 213eltr4d 2532 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   {csn 4002    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084  Scalarcsca 15155   X_scprds 15303    ^s cpws 15304   Mndcmnd 16486   MndHom cmhm 16531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533
This theorem is referenced by:  pwsmulg  16751
  Copyright terms: Public domain W3C validator