MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Structured version   Unicode version

Theorem pwspjmhm 15607
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwspjmhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, I    x, R    x, V
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
3 simp2 989 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  I  e.  V )
4 fvex 5802 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
6 fconst6g 5700 . . . 4  |-  ( R  e.  Mnd  ->  (
I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
763ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
8 simp3 990 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  I )
91, 2, 3, 5, 7, 8prdspjmhm 15606 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  (
Base `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) 
|->  ( x `  A
) )  e.  ( ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) MndHom  (
( I  X.  { R } ) `  A
) ) )
10 pwspjmhm.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
11 pwspjmhm.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
12 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
1311, 12pwsval 14535 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
14133adant3 1008 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
1514fveq2d 5796 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1610, 15syl5eq 2504 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  B  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1716mpteq1d 4474 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  =  ( x  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) 
|->  ( x `  A
) ) )
18 fvconst2g 6033 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  A )  =  R )
19183adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  A )  =  R )
2019eqcomd 2459 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  R  =  ( ( I  X.  { R } ) `  A
) )
2114, 20oveq12d 6211 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( Y MndHom  R )  =  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) MndHom  (
( I  X.  { R } ) `  A
) ) )
229, 17, 213eltr4d 2554 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( x  e.  B  |->  ( x `  A
) )  e.  ( Y MndHom  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   {csn 3978    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Basecbs 14285  Scalarcsca 14352   X_scprds 14495    ^s cpws 14496   Mndcmnd 15520   MndHom cmhm 15573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-ixp 7367  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-n0 10684  df-z 10751  df-dec 10860  df-uz 10966  df-fz 11548  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-mulr 14363  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-ip 14367  df-tset 14368  df-ple 14369  df-ds 14371  df-hom 14373  df-cco 14374  df-0g 14491  df-prds 14497  df-pws 14499  df-mnd 15526  df-mhm 15575
This theorem is referenced by:  pwsmulg  15780
  Copyright terms: Public domain W3C validator