Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Unicode version

Theorem pwsmulrval 14758
 Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y s
pwsplusgval.b
pwsplusgval.r
pwsplusgval.i
pwsplusgval.f
pwsplusgval.g
pwsmulrval.a
pwsmulrval.p
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4 Scalars Scalars
2 eqid 2467 . . . 4 Scalars Scalars
3 fvex 5881 . . . . 5 Scalar
43a1i 11 . . . 4 Scalar
5 pwsplusgval.i . . . 4
6 pwsplusgval.r . . . . 5
7 fnconstg 5778 . . . . 5
86, 7syl 16 . . . 4
9 pwsplusgval.f . . . . 5
10 pwsplusgval.b . . . . . 6
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9 s
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
1311, 12pwsval 14753 . . . . . . . 8 Scalars
146, 5, 13syl2anc 661 . . . . . . 7 Scalars
1514fveq2d 5875 . . . . . 6 Scalars
1610, 15syl5eq 2520 . . . . 5 Scalars
179, 16eleqtrd 2557 . . . 4 Scalars
18 pwsplusgval.g . . . . 5
1918, 16eleqtrd 2557 . . . 4 Scalars
20 eqid 2467 . . . 4 Scalars Scalars
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsmulrval 14742 . . 3 Scalars
22 fvconst2g 6124 . . . . . . . 8
236, 22sylan 471 . . . . . . 7
2423fveq2d 5875 . . . . . 6
25 pwsmulrval.a . . . . . 6
2624, 25syl6eqr 2526 . . . . 5
2726oveqd 6311 . . . 4
2827mpteq2dva 4538 . . 3
2921, 28eqtrd 2508 . 2 Scalars
30 pwsmulrval.p . . . 4
3114fveq2d 5875 . . . 4 Scalars
3230, 31syl5eq 2520 . . 3 Scalars
3332oveqd 6311 . 2 Scalars
34 fvex 5881 . . . 4
3534a1i 11 . . 3
36 fvex 5881 . . . 4
3736a1i 11 . . 3
38 eqid 2467 . . . . 5
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 14756 . . . 4
4039feqmptd 5926 . . 3
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 14756 . . . 4
4241feqmptd 5926 . . 3
435, 35, 37, 40, 42offval2 6550 . 2
4429, 33, 433eqtr4d 2518 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118  csn 4032   cmpt 4510   cxp 5002   wfn 5588  cfv 5593  (class class class)co 6294   cof 6532  cbs 14502  cmulr 14568  Scalarcsca 14570  scprds 14713   s cpws 14714 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-prds 14715  df-pws 14717 This theorem is referenced by:  mpfmulcl  18051  mpfind  18052  evl1muld  18226  pf1mulcl  18237  ply1rem  22409  fta1glem2  22412  fta1blem  22414  plypf1  22454
 Copyright terms: Public domain W3C validator