MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmulrval Structured version   Unicode version

Theorem pwsmulrval 14758
Description: Value of multiplication in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsplusgval.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsplusgval.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsplusgval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsplusgval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsplusgval.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
pwsplusgval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
pwsmulrval.a  |-  .x.  =  ( .r `  R )
pwsmulrval.p  |-  .xb  =  ( .r `  Y )
Assertion
Ref Expression
pwsmulrval  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( F  oF  .x.  G
) )

Proof of Theorem pwsmulrval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( Base `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
3 fvex 5881 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
5 pwsplusgval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
6 pwsplusgval.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
7 fnconstg 5778 . . . . 5  |-  ( R  e.  V  ->  (
I  X.  { R } )  Fn  I
)
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  X.  { R } )  Fn  I
)
9 pwsplusgval.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
10 pwsplusgval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
11 pwsplusgval.y . . . . . . . . 9  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
12 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
1311, 12pwsval 14753 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
146, 5, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
1514fveq2d 5875 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Base `  Y
)  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1610, 15syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
179, 16eleqtrd 2557 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
18 pwsplusgval.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
1918, 16eleqtrd 2557 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Base `  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
20 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( .r `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
211, 2, 4, 5, 8, 17, 19, 20prdsmulrval 14742 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
) ( .r `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) ) ( G `  x ) ) ) )
22 fvconst2g 6124 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  V  /\  x  e.  I )  ->  ( ( I  X.  { R } ) `  x )  =  R )
236, 22sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
2423fveq2d 5875 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( .r `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  ( .r
`  R ) )
25 pwsmulrval.a . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
2624, 25syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( .r `  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
)  =  .x.  )
2726oveqd 6311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  ( ( I  X.  { R } ) `  x ) ) ( G `  x ) )  =  ( ( F `  x ) 
.x.  ( G `  x ) ) )
2827mpteq2dva 4538 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x ) ( .r
`  ( ( I  X.  { R }
) `  x )
) ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `
 x )  .x.  ( G `  x ) ) ) )
2921, 28eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x
)  .x.  ( G `  x ) ) ) )
30 pwsmulrval.p . . . 4  |-  .xb  =  ( .r `  Y )
3114fveq2d 5875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( .r `  Y
)  =  ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3230, 31syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ph  -> 
.xb  =  ( .r
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
3332oveqd 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( F ( .r `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) G ) )
34 fvex 5881 . . . 4  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3534a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  e.  _V )
36 fvex 5881 . . . 4  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
3736a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  e.  _V )
38 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
3911, 38, 10, 6, 5, 9pwselbas 14756 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
4039feqmptd 5926 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  I  |->  ( F `
 x ) ) )
4111, 38, 10, 6, 5, 18pwselbas 14756 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
4241feqmptd 5926 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  I  |->  ( G `
 x ) ) )
435, 35, 37, 40, 42offval2 6550 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .x.  G )  =  ( x  e.  I  |->  ( ( F `  x )  .x.  ( G `  x )
) ) )
4429, 33, 433eqtr4d 2518 1  |-  ( ph  ->  ( F  .xb  G
)  =  ( F  oF  .x.  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   {csn 4032    |-> cmpt 4510    X. cxp 5002    Fn wfn 5588   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    oFcof 6532   Basecbs 14502   .rcmulr 14568  Scalarcsca 14570   X_scprds 14713    ^s cpws 14714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-hom 14591  df-cco 14592  df-prds 14715  df-pws 14717
This theorem is referenced by:  mpfmulcl  18051  mpfind  18052  evl1muld  18226  pf1mulcl  18237  ply1rem  22409  fta1glem2  22412  fta1blem  22414  plypf1  22454
  Copyright terms: Public domain W3C validator