Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Structured version   Unicode version

Theorem pwsmgp 16700
 Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y s
pwsmgp.m mulGrp
pwsmgp.z s
pwsmgp.n mulGrp
pwsmgp.b
pwsmgp.c
pwsmgp.p
pwsmgp.q
Assertion
Ref Expression
pwsmgp

Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . 6 Scalars Scalars
2 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrpScalars mulGrpScalars
3 eqid 2438 . . . . . 6 ScalarsmulGrp ScalarsmulGrp
4 simpr 461 . . . . . 6
5 fvex 5696 . . . . . . 7 Scalar
65a1i 11 . . . . . 6 Scalar
7 fnconstg 5593 . . . . . . 7
87adantr 465 . . . . . 6
91, 2, 3, 4, 6, 8prdsmgp 16692 . . . . 5 mulGrpScalars ScalarsmulGrp mulGrpScalars ScalarsmulGrp
109simpld 459 . . . 4 mulGrpScalars ScalarsmulGrp
11 pwsmgp.n . . . . . 6 mulGrp
12 pwsmgp.y . . . . . . . 8 s
13 eqid 2438 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
1412, 13pwsval 14416 . . . . . . 7 Scalars
1514fveq2d 5690 . . . . . 6 mulGrp mulGrpScalars
1611, 15syl5eq 2482 . . . . 5 mulGrpScalars
1716fveq2d 5690 . . . 4 mulGrpScalars
18 pwsmgp.z . . . . . 6 s
19 pwsmgp.m . . . . . . . . 9 mulGrp
20 fvex 5696 . . . . . . . . 9 mulGrp
2119, 20eqeltri 2508 . . . . . . . 8
22 eqid 2438 . . . . . . . . 9 s s
23 eqid 2438 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
2422, 23pwsval 14416 . . . . . . . 8 s Scalars
2521, 4, 24sylancr 663 . . . . . . 7 s Scalars
2619, 13mgpsca 16588 . . . . . . . . . 10 Scalar Scalar
2726eqcomi 2442 . . . . . . . . 9 Scalar Scalar
2827a1i 11 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
29 fnmgp 16583 . . . . . . . . . 10 mulGrp
30 elex 2976 . . . . . . . . . . 11
3130adantr 465 . . . . . . . . . 10
32 fcoconst 5875 . . . . . . . . . 10 mulGrp mulGrp mulGrp
3329, 31, 32sylancr 663 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
3419sneqi 3883 . . . . . . . . . 10 mulGrp
3534xpeq2i 4856 . . . . . . . . 9 mulGrp
3633, 35syl6reqr 2489 . . . . . . . 8 mulGrp
3728, 36oveq12d 6104 . . . . . . 7 Scalars ScalarsmulGrp
3825, 37eqtrd 2470 . . . . . 6 s ScalarsmulGrp
3918, 38syl5eq 2482 . . . . 5 ScalarsmulGrp
4039fveq2d 5690 . . . 4 ScalarsmulGrp
4110, 17, 403eqtr4d 2480 . . 3
42 pwsmgp.b . . 3
43 pwsmgp.c . . 3
4441, 42, 433eqtr4g 2495 . 2
459simprd 463 . . . 4 mulGrpScalars ScalarsmulGrp
4616fveq2d 5690 . . . 4 mulGrpScalars
4739fveq2d 5690 . . . 4 ScalarsmulGrp
4845, 46, 473eqtr4d 2480 . . 3
49 pwsmgp.p . . 3
50 pwsmgp.q . . 3
5148, 49, 503eqtr4g 2495 . 2
5244, 51jca 532 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1369   wcel 1756  cvv 2967  csn 3872   cxp 4833   ccom 4839   wfn 5408  cfv 5413  (class class class)co 6086  cbs 14166   cplusg 14230  Scalarcsca 14233  scprds 14376   s cpws 14377  mulGrpcmgp 16581 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-prds 14378  df-pws 14380  df-mgp 16582 This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  16810  pwsco2rhm  16811  pwsdiagrhm  16878  evl1expd  17759
 Copyright terms: Public domain W3C validator