Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnmlem2 Structured version   Unicode version

Theorem pwslnmlem2 31222
 Description: A sum of powers is Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwslnmlem2.a
pwslnmlem2.b
pwslnmlem2.x s
pwslnmlem2.y s
pwslnmlem2.z s
pwslnmlem2.w
pwslnmlem2.dj
pwslnmlem2.xn LNoeM
pwslnmlem2.yn LNoeM
Assertion
Ref Expression
pwslnmlem2 LNoeM

Proof of Theorem pwslnmlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslnmlem2.w . . 3
2 pwslnmlem2.a . . . . 5
3 pwslnmlem2.b . . . . 5
42, 3unex 6597 . . . 4
54a1i 11 . . 3
6 ssun1 3663 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 pwslnmlem2.z . . . 4 s
9 pwslnmlem2.x . . . 4 s
10 eqid 2457 . . . 4
11 eqid 2457 . . . 4
12 eqid 2457 . . . 4
138, 9, 10, 11, 12pwssplit3 17834 . . 3 LMHom
141, 5, 7, 13syl3anc 1228 . 2 LMHom
15 fvex 5882 . . . . . 6
1612mptiniseg 5507 . . . . . 6
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5
18 lmodgrp 17646 . . . . . . . . . 10
19 grpmnd 16189 . . . . . . . . . 10
201, 18, 193syl 20 . . . . . . . . 9
21 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
229, 21pws0g 16083 . . . . . . . . 9
2320, 2, 22sylancl 662 . . . . . . . 8
2423eqcomd 2465 . . . . . . 7
2524eqeq2d 2471 . . . . . 6
2625rabbidv 3101 . . . . 5
2717, 26syl5eq 2510 . . . 4
2827oveq2d 6312 . . 3 s s
29 pwslnmlem2.yn . . . 4 LNoeM
30 pwslnmlem2.dj . . . . . 6
31 eqid 2457 . . . . . . 7
32 eqid 2457 . . . . . . 7
33 pwslnmlem2.y . . . . . . 7 s
34 eqid 2457 . . . . . . 7 s s
358, 10, 21, 31, 32, 9, 33, 34pwssplit4 31218 . . . . . 6 s LMIso
361, 5, 30, 35syl3anc 1228 . . . . 5 s LMIso
37 brlmici 17842 . . . . 5 s LMIso s 𝑚
38 lnmlmic 31217 . . . . 5 s 𝑚 s LNoeM LNoeM
3936, 37, 383syl 20 . . . 4 s LNoeM LNoeM
4029, 39mpbird 232 . . 3 s LNoeM
4128, 40eqeltrd 2545 . 2 s LNoeM
428, 9, 10, 11, 12pwssplit1 17832 . . . . . . 7
4320, 5, 7, 42syl3anc 1228 . . . . . 6
44 forn 5804 . . . . . 6
4543, 44syl 16 . . . . 5
4645oveq2d 6312 . . . 4 s s
47 pwslnmlem2.xn . . . . 5 LNoeM
4811ressid 14706 . . . . 5 LNoeM s
4947, 48syl 16 . . . 4 s
5046, 49eqtrd 2498 . . 3 s
5150, 47eqeltrd 2545 . 2 s LNoeM
52 eqid 2457 . . 3
53 eqid 2457 . . 3
54 eqid 2457 . . 3 s s
55 eqid 2457 . . 3 s s
5652, 53, 54, 55lmhmlnmsplit 31216 . 2 LMHom s LNoeM s LNoeM LNoeM
5714, 41, 51, 56syl3anc 1228 1 LNoeM
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811  cvv 3109   cun 3469   cin 3470   wss 3471  c0 3793  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515   cxp 5006  ccnv 5007   crn 5009   cres 5010  cima 5011  wfo 5592  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644   ↾s cress 14645  c0g 14857   s cpws 14864  cmnd 16046  cgrp 16180  clmod 17639   LMHom clmhm 17792   LMIso clmim 17793   𝑚 clmic 17794  LNoeMclnm 31204 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lmhm 17795  df-lmim 17796  df-lmic 17797  df-lfig 31197  df-lnm 31205 This theorem is referenced by:  pwslnm  31223
 Copyright terms: Public domain W3C validator