Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwslnmlem0 Structured version   Unicode version

Theorem pwslnmlem0 35380
Description: Zeroeth powers are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslnmlem0.y  |-  Y  =  ( W  ^s  (/) )
Assertion
Ref Expression
pwslnmlem0  |-  ( W  e.  LMod  ->  Y  e. LNoeM
)

Proof of Theorem pwslnmlem0
StepHypRef Expression
1 0ex 4525 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 pwslnmlem0.y . . . 4  |-  Y  =  ( W  ^s  (/) )
32pwslmod 17828 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (/)  e.  _V )  ->  Y  e.  LMod )
41, 3mpan2 669 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  Y  e. 
LMod )
5 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
62, 5pwsbas 14993 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( ( Base `  W )  ^m  (/) )  =  ( Base `  Y
) )
71, 6mpan2 669 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( (
Base `  W )  ^m  (/) )  =  (
Base `  Y )
)
8 fvex 5815 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  e.  _V
9 map0e 7414 . . . . . 6  |-  ( (
Base `  W )  e.  _V  ->  ( ( Base `  W )  ^m  (/) )  =  1o )
108, 9ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
Base `  W )  ^m  (/) )  =  1o
11 df1o2 7099 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
1210, 11eqtri 2431 . . . 4  |-  ( (
Base `  W )  ^m  (/) )  =  { (/)
}
13 snfi 7554 . . . 4  |-  { (/) }  e.  Fin
1412, 13eqeltri 2486 . . 3  |-  ( (
Base `  W )  ^m  (/) )  e.  Fin
157, 14syl6eqelr 2499 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( Base `  Y )  e.  Fin )
16 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1716filnm 35379 . 2  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  ( Base `  Y )  e. 
Fin )  ->  Y  e. LNoeM )
184, 15, 17syl2anc 659 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  Y  e. LNoeM
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   {csn 3971   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   1oc1o 7080    ^m cmap 7377   Fincfn 7474   Basecbs 14733    ^s cpws 14953   LModclmod 17724  LNoeMclnm 35364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-ip 14819  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-hom 14825  df-cco 14826  df-0g 14948  df-prds 14954  df-pws 14956  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-subg 16414  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-lmod 17726  df-lss 17791  df-lsp 17830  df-lfig 35357  df-lnm 35365
This theorem is referenced by:  pwslnm  35383
  Copyright terms: Public domain W3C validator