MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwslmod Structured version   Unicode version

Theorem pwslmod 17934
Description: The product of a family of left modules is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwslmod.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
Assertion
Ref Expression
pwslmod  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  LMod )

Proof of Theorem pwslmod
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwslmod.y . . 3  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 eqid 2402 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
31, 2pwsval 15098 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
52lmodring 17838 . . . 4  |-  ( R  e.  LMod  ->  (Scalar `  R )  e.  Ring )
65adantr 463 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  Ring )
7 simpr 459 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
8 fconst6g 5756 . . . 4  |-  ( R  e.  LMod  ->  ( I  X.  { R }
) : I --> LMod )
98adantr 463 . . 3  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  { R } ) : I -->
LMod )
10 fvconst2g 6104 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  x  e.  I )  ->  (
( I  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
1110adantlr 713 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  /\  x  e.  I
)  ->  ( (
I  X.  { R } ) `  x
)  =  R )
1211fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  /\  x  e.  I
)  ->  (Scalar `  (
( I  X.  { R } ) `  x
) )  =  (Scalar `  R ) )
134, 6, 7, 9, 12prdslmodd 17933 . 2  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  ->  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  e. 
LMod )
143, 13eqeltrd 2490 1  |-  ( ( R  e.  LMod  /\  I  e.  V )  ->  Y  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3971    X. cxp 4820   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277  Scalarcsca 14910   X_scprds 15058    ^s cpws 15059   Ringcrg 17516   LModclmod 17830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-lmod 17832
This theorem is referenced by:  pwsdiaglmhm  18021  pwssplit3  18025  frlm0  19081  frlmsubgval  19092  frlmgsumOLD  19095  frlmgsum  19096  frlmsplit2  19097  pwssplit4  35377  pwslnmlem0  35379
  Copyright terms: Public domain W3C validator