MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsleval Structured version   Unicode version

Theorem pwsleval 14985
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsle.v  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsle.o  |-  O  =  ( le `  R
)
pwsle.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
pwsleval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsleval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsleval.a  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
pwsleval.b  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
pwsleval  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, O    x, R    x, V    x, F    x, G    ph, x    x, W
Allowed substitution hints:    .<_ ( x)    Y( x)

Proof of Theorem pwsleval
StepHypRef Expression
1 pwsleval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
2 pwsleval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 pwsle.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
4 pwsle.v . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 pwsle.o . . . . 5  |-  O  =  ( le `  R
)
6 pwsle.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  Y )
73, 4, 5, 6pwsle 14984 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  -> 
.<_  =  (  oR O  i^i  ( B  X.  B ) ) )
81, 2, 7syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  -> 
.<_  =  (  oR O  i^i  ( B  X.  B ) ) )
98breqd 4450 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  F (  oR O  i^i  ( B  X.  B
) ) G ) )
10 pwsleval.a . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
11 pwsleval.b . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
12 brinxp 5051 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  oR O G  <->  F (  oR O  i^i  ( B  X.  B
) ) G ) )
1310, 11, 12syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oR O G  <->  F (  oR O  i^i  ( B  X.  B
) ) G ) )
14 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
153, 14, 4, 1, 2, 10pwselbas 14981 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
16 ffn 5713 . . . 4  |-  ( F : I --> ( Base `  R )  ->  F  Fn  I )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  I )
183, 14, 4, 1, 2, 11pwselbas 14981 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
19 ffn 5713 . . . 4  |-  ( G : I --> ( Base `  R )  ->  G  Fn  I )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
21 inidm 3693 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
22 eqidd 2455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
23 eqidd 2455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2417, 20, 2, 2, 21, 22, 23ofrfval 6521 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oR O G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
259, 13, 243bitr2d 281 1  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804    i^i cin 3460   class class class wbr 4439    X. cxp 4986    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oRcofr 6512   Basecbs 14719   lecple 14794    ^s cpws 14939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-hom 14811  df-cco 14812  df-prds 14940  df-pws 14942
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator