MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsleval Structured version   Unicode version

Theorem pwsleval 14530
Description: Ordering in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsle.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsle.v  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsle.o  |-  O  =  ( le `  R
)
pwsle.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
pwsleval.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
pwsleval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
pwsleval.a  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
pwsleval.b  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
pwsleval  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, I    x, O    x, R    x, V    x, F    x, G    ph, x    x, W
Allowed substitution hints:    .<_ ( x)    Y( x)

Proof of Theorem pwsleval
StepHypRef Expression
1 pwsleval.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
2 pwsleval.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
3 pwsle.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
4 pwsle.v . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 pwsle.o . . . . 5  |-  O  =  ( le `  R
)
6 pwsle.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  Y )
73, 4, 5, 6pwsle 14529 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  I  e.  W )  -> 
.<_  =  (  oR O  i^i  ( B  X.  B ) ) )
81, 2, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  -> 
.<_  =  (  oR O  i^i  ( B  X.  B ) ) )
98breqd 4398 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  F (  oR O  i^i  ( B  X.  B
) ) G ) )
10 pwsleval.a . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
11 pwsleval.b . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
12 brinxp 4996 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  oR O G  <->  F (  oR O  i^i  ( B  X.  B
) ) G ) )
1310, 11, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oR O G  <->  F (  oR O  i^i  ( B  X.  B
) ) G ) )
14 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
153, 14, 4, 1, 2, 10pwselbas 14526 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  R ) )
16 ffn 5654 . . . 4  |-  ( F : I --> ( Base `  R )  ->  F  Fn  I )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  I )
183, 14, 4, 1, 2, 11pwselbas 14526 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : I --> ( Base `  R ) )
19 ffn 5654 . . . 4  |-  ( G : I --> ( Base `  R )  ->  G  Fn  I )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  I )
21 inidm 3654 . . 3  |-  ( I  i^i  I )  =  I
22 eqidd 2452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
23 eqidd 2452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2417, 20, 2, 2, 21, 22, 23ofrfval 6425 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  oR O G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
259, 13, 243bitr2d 281 1  |-  ( ph  ->  ( F  .<_  G  <->  A. x  e.  I  ( F `  x ) O ( G `  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2793    i^i cin 3422   class class class wbr 4387    X. cxp 4933    Fn wfn 5508   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6187    oRcofr 6416   Basecbs 14273   lecple 14344    ^s cpws 14484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-ofr 6418  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-uz 10960  df-fz 11536  df-struct 14275  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-ip 14355  df-tset 14356  df-ple 14357  df-ds 14359  df-hom 14361  df-cco 14362  df-prds 14485  df-pws 14487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator