Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsumOLD Structured version   Unicode version

Theorem pwsgsumOLD 17328
 Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) Obsolete version of pwsgsum 17327 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsumOLD.y s
pwsgsumOLD.b
pwsgsumOLD.z
pwsgsumOLD.i
pwsgsumOLD.j
pwsgsumOLD.r CMnd
pwsgsumOLD.f
pwsgsumOLD.w
Assertion
Ref Expression
pwsgsumOLD g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   , ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem pwsgsumOLD
StepHypRef Expression
1 pwsgsumOLD.r . . . 4 CMnd
2 pwsgsumOLD.i . . . 4
3 pwsgsumOLD.y . . . . 5 s
4 eqid 2402 . . . . 5 Scalar Scalar
53, 4pwsval 15098 . . . 4 CMnd Scalars
61, 2, 5syl2anc 659 . . 3 Scalars
76oveq1d 6292 . 2 g Scalars g
8 fconstmpt 4866 . . . 4
98oveq2i 6288 . . 3 Scalars Scalars
10 pwsgsumOLD.b . . 3
11 eqid 2402 . . 3 Scalars Scalars
12 pwsgsumOLD.j . . 3
13 fvex 5858 . . . 4 Scalar
1413a1i 11 . . 3 Scalar
151adantr 463 . . 3 CMnd
16 pwsgsumOLD.f . . 3
17 pwsgsumOLD.z . . . . . . . 8
186fveq2d 5852 . . . . . . . 8 Scalars
1917, 18syl5eq 2455 . . . . . . 7 Scalars
2019sneqd 3983 . . . . . 6 Scalars
2120difeq2d 3560 . . . . 5 Scalars
2221imaeq2d 5156 . . . 4 Scalars
23 pwsgsumOLD.w . . . 4
2422, 23eqeltrrd 2491 . . 3 Scalars
259, 10, 11, 2, 12, 14, 15, 16, 24prdsgsumOLD 17326 . 2 Scalars g g
267, 25eqtrd 2443 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3058   cdif 3410  csn 3971   cmpt 4452   cxp 4820  ccnv 4821  cima 4825  cfv 5568  (class class class)co 6277  cfn 7553  cbs 14839  Scalarcsca 14910  c0g 15052   g cgsu 15053  scprds 15058   s cpws 15059  CMndccmn 17120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-cntz 16677  df-cmn 17122 This theorem is referenced by:  frlmgsumOLD  19095
 Copyright terms: Public domain W3C validator