MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsumOLD Structured version   Unicode version

Theorem pwsgsumOLD 17328
Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) Obsolete version of pwsgsum 17327 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsumOLD.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsgsumOLD.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pwsgsumOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
pwsgsumOLD.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
pwsgsumOLD.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
pwsgsumOLD.r  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
pwsgsumOLD.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
pwsgsumOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
pwsgsumOLD  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, I, y    ph, x, y    x,  .0. , y    x, J, y    x, R, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem pwsgsumOLD
StepHypRef Expression
1 pwsgsumOLD.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
2 pwsgsumOLD.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 pwsgsumOLD.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
53, 4pwsval 15098 . . . 4  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
61, 2, 5syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
76oveq1d 6292 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) )
8 fconstmpt 4866 . . . 4  |-  ( I  X.  { R }
)  =  ( x  e.  I  |->  R )
98oveq2i 6288 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
10 pwsgsumOLD.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
11 eqid 2402 . . 3  |-  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
12 pwsgsumOLD.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
13 fvex 5858 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
151adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e. CMnd )
16 pwsgsumOLD.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
17 pwsgsumOLD.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
186fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Y
)  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1917, 18syl5eq 2455 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
2019sneqd 3983 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  =  { ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) } )
2120difeq2d 3560 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {  .0.  } )  =  ( _V  \  { ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) } ) )
2221imaeq2d 5156 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) } ) ) )
23 pwsgsumOLD.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2422, 23eqeltrrd 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) } ) )  e. 
Fin )
259, 10, 11, 2, 12, 14, 15, 16, 24prdsgsumOLD 17326 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
267, 25eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    \ cdif 3410   {csn 3971    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   `'ccnv 4821   "cima 4825   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   Basecbs 14839  Scalarcsca 14910   0gc0g 15052    gsumg cgsu 15053   X_scprds 15058    ^s cpws 15059  CMndccmn 17120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-cntz 16677  df-cmn 17122
This theorem is referenced by:  frlmgsumOLD  19095
  Copyright terms: Public domain W3C validator