MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsumOLD Structured version   Unicode version

Theorem pwsgsumOLD 16599
Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) Obsolete version of pwsgsum 16598 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsumOLD.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsgsumOLD.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pwsgsumOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
pwsgsumOLD.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
pwsgsumOLD.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
pwsgsumOLD.r  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
pwsgsumOLD.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
pwsgsumOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
pwsgsumOLD  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, I, y    ph, x, y    x,  .0. , y    x, J, y    x, R, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem pwsgsumOLD
StepHypRef Expression
1 pwsgsumOLD.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
2 pwsgsumOLD.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 pwsgsumOLD.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
53, 4pwsval 14546 . . . 4  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
76oveq1d 6218 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) )
8 fconstmpt 4993 . . . 4  |-  ( I  X.  { R }
)  =  ( x  e.  I  |->  R )
98oveq2i 6214 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
10 pwsgsumOLD.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
11 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
12 pwsgsumOLD.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
13 fvex 5812 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
151adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e. CMnd )
16 pwsgsumOLD.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
17 pwsgsumOLD.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
186fveq2d 5806 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Y
)  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
1917, 18syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
2019sneqd 4000 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  =  { ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) } )
2120difeq2d 3585 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {  .0.  } )  =  ( _V  \  { ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) } ) )
2221imaeq2d 5280 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  =  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) } ) ) )
23 pwsgsumOLD.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
2422, 23eqeltrrd 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) " ( _V 
\  { ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) } ) )  e. 
Fin )
259, 10, 11, 2, 12, 14, 15, 16, 24prdsgsumOLD 16597 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
267, 25eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   {csn 3988    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   `'ccnv 4950   "cima 4954   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   Basecbs 14295  Scalarcsca 14363   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   X_scprds 14506    ^s cpws 14507  CMndccmn 16401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-cntz 15957  df-cmn 16403
This theorem is referenced by:  frlmgsumOLD  18323
  Copyright terms: Public domain W3C validator