MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsum Structured version   Unicode version

Theorem pwsgsum 16461
Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsum.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsgsum.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pwsgsum.z  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
pwsgsum.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
pwsgsum.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
pwsgsum.r  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
pwsgsum.f  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
pwsgsum.w  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
pwsgsum  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, I, y    ph, x, y    x,  .0. , y    x, J, y    x, R, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    U( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem pwsgsum
StepHypRef Expression
1 pwsgsum.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
2 pwsgsum.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
3 pwsgsum.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
53, 4pwsval 14416 . . . 4  |-  ( ( R  e. CMnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
61, 2, 5syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
76oveq1d 6101 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) ) )
8 fconstmpt 4877 . . . 4  |-  ( I  X.  { R }
)  =  ( x  e.  I  |->  R )
98oveq2i 6097 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( x  e.  I  |->  R ) )
10 pwsgsum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
11 eqid 2438 . . 3  |-  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )  =  ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
12 pwsgsum.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
13 fvex 5696 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
1413a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
151adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e. CMnd )
16 pwsgsum.f . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  J ) )  ->  U  e.  B )
17 pwsgsum.w . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) finSupp  .0.  )
18 pwsgsum.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
196fveq2d 5690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Y
)  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
2018, 19syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
2117, 20breqtrd 4311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) finSupp  ( 0g `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
229, 10, 11, 2, 12, 14, 15, 16, 21prdsgsum 16459 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
237, 22eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( Y  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( x  e.  I  |->  U ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  U ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   {csn 3872   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345    X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   finSupp cfsupp 7612   Basecbs 14166  Scalarcsca 14233   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371   X_scprds 14376    ^s cpws 14377  CMndccmn 16268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-hom 14254  df-cco 14255  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-prds 14378  df-pws 14380  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-cntz 15826  df-cmn 16270
This theorem is referenced by:  frlmgsum  18171  plypf1  21655
  Copyright terms: Public domain W3C validator