MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwselbas Structured version   Unicode version

Theorem pwselbas 14439
Description: An element of a structure power is a function from the index set to the base set of the structure. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsbas.f  |-  B  =  ( Base `  R
)
pwselbas.v  |-  V  =  ( Base `  Y
)
pwselbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
pwselbas.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
pwselbas.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
pwselbas  |-  ( ph  ->  X : I --> B )

Proof of Theorem pwselbas
StepHypRef Expression
1 pwselbas.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 pwselbas.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
3 pwselbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
4 pwsbas.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
5 pwsbas.f . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 pwselbas.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  Y
)
74, 5, 6pwselbasb 14438 . . 3  |-  ( ( R  e.  W  /\  I  e.  Z )  ->  ( X  e.  V  <->  X : I --> B ) )
82, 3, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  <->  X : I --> B ) )
91, 8mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  X : I --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Basecbs 14186    ^s cpws 14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-ixp 7276  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-sca 14266  df-vsca 14267  df-ip 14268  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-hom 14274  df-cco 14275  df-prds 14398  df-pws 14400
This theorem is referenced by:  pwsplusgval  14440  pwsmulrval  14441  pwsle  14442  pwsleval  14443  pwsvscafval  14444  pwsvscaval  14445  pwsco1mhm  15510  pwsco2mhm  15511  pwsinvg  15679  pwssub  15680  mpff  17631  fveval1fvcl  17779  evl1addd  17787  evl1subd  17788  evl1muld  17789  pf1f  17796  pf1mpf  17798  ply1remlem  21646  ply1rem  21647  facth1  21648  fta1glem1  21649  fta1glem2  21650  fta1g  21651  fta1blem  21652  plypf1  21692  lgsqrlem2  22693  lgsqrlem3  22694  pwssplit4  29454  idomrootle  29572
  Copyright terms: Public domain W3C validator