MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwselbas Structured version   Unicode version

Theorem pwselbas 14763
Description: An element of a structure power is a function from the index set to the base set of the structure. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pwsbas.f  |-  B  =  ( Base `  R
)
pwselbas.v  |-  V  =  ( Base `  Y
)
pwselbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
pwselbas.i  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
pwselbas.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
Assertion
Ref Expression
pwselbas  |-  ( ph  ->  X : I --> B )

Proof of Theorem pwselbas
StepHypRef Expression
1 pwselbas.x . 2  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
2 pwselbas.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
3 pwselbas.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  Z )
4 pwsbas.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
5 pwsbas.f . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 pwselbas.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  Y
)
74, 5, 6pwselbasb 14762 . . 3  |-  ( ( R  e.  W  /\  I  e.  Z )  ->  ( X  e.  V  <->  X : I --> B ) )
82, 3, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  <->  X : I --> B ) )
91, 8mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  X : I --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509    ^s cpws 14721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-fz 11682  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-hom 14598  df-cco 14599  df-prds 14722  df-pws 14724
This theorem is referenced by:  pwsplusgval  14764  pwsmulrval  14765  pwsle  14766  pwsleval  14767  pwsvscafval  14768  pwsvscaval  14769  pwsco1mhm  15875  pwsco2mhm  15876  pwsinvg  16056  pwssub  16057  mpff  18076  fveval1fvcl  18243  evl1addd  18251  evl1subd  18252  evl1muld  18253  pf1f  18260  pf1mpf  18262  ply1remlem  22436  ply1rem  22437  fta1glem1  22439  fta1glem2  22440  fta1g  22441  fta1blem  22442  plypf1  22482  lgsqrlem2  23489  lgsqrlem3  23490  pwssplit4  31010  idomrootle  31128
  Copyright terms: Public domain W3C validator