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Theorem pwsdompw 8582
Description: Lemma for domtriom 8821. This is the equinumerosity version of the algebraic identity  sum_ k  e.  n
( 2 ^ k
)  =  ( 2 ^ n )  - 
1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
pwsdompw  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. k  e.  suc  n
( B `  k
)  ~~  ~P k
)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)
Distinct variable group:    B, k, n

Proof of Theorem pwsdompw
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4929 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  suc  n  =  suc  (/) )
21raleqdv 3044 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k ) 
~~  ~P k  <->  A. k  e.  suc  (/) ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
3 iuneq1 4325 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e.  (/)  ( B `
 k ) )
4 fveq2 5852 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( B `
 n )  =  ( B `  (/) ) )
53, 4breq12d 4446 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k ) 
~<  ( B `  (/) ) ) )
62, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
) )  <->  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  ~<  ( B `  (/) ) ) ) )
7 suceq 4929 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  suc  n  =  suc  m )
87raleqdv 3044 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k 
<-> 
A. k  e.  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
9 iuneq1 4325 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e.  m  ( B `  k )
)
10 fveq2 5852 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( B `  n )  =  ( B `  m ) )
119, 10breq12d 4446 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
) ) )
128, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( A. k  e. 
suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)  <->  ( A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) ) )
13 suceq 4929 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  ->  suc  n  =  suc  suc  m )
1413raleqdv 3044 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( A. k  e. 
suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  <->  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
15 iuneq1 4325 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k ) )
16 fveq2 5852 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( B `  n
)  =  ( B `
 suc  m )
)
1715, 16breq12d 4446 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( ( A. k  e.  suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)  <->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) ) )
19 0iun 4368 . . . 4  |-  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  =  (/)
20 0ex 4563 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
2120sucid 4943 . . . . . 6  |-  (/)  e.  suc  (/)
22 fveq2 5852 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( B `
 k )  =  ( B `  (/) ) )
23 pweq 3996 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ~P k  =  ~P (/) )
2422, 23breq12d 4446 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( B `  k ) 
~~  ~P k  <->  ( B `  (/) )  ~~  ~P (/) ) )
2524rspcv 3190 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  suc  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 (/) )  ~~  ~P (/) ) )
2621, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 (/) )  ~~  ~P (/) )
2720canth2 7668 . . . . . 6  |-  (/)  ~<  ~P (/)
28 ensym 7562 . . . . . 6  |-  ( ( B `  (/) )  ~~  ~P (/)  ->  ~P (/)  ~~  ( B `  (/) ) )
29 sdomentr 7649 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  ~P (/)  /\  ~P (/)  ~~  ( B `  (/) ) )  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3027, 28, 29sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( B `  (/) )  ~~  ~P (/)  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3126, 30syl 16 . . . 4  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3219, 31syl5eqbr 4466 . . 3  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  ~<  ( B `  (/) ) )
33 sssucid 4941 . . . . . . . . 9  |-  suc  m  C_ 
suc  suc  m
34 ssralv 3546 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  m  C_  suc  suc  m  ->  ( A. k  e. 
suc  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )
36 pm2.27 39 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  suc  m ( B `  k ) 
~~  ~P k  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( ( A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
39 vex 3096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  e. 
_V
4039sucid 4943 . . . . . . . . . . . 12  |-  m  e. 
suc  m
41 elelsuc 4936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  suc  m  ->  m  e.  suc  suc  m
)
42 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
43 pweq 3996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ~P k  =  ~P m
)
4442, 43breq12d 4446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  ~~  ~P k  <->  ( B `  m ) 
~~  ~P m ) )
4544rspcv 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  suc  suc  m  ->  ( A. k  e. 
suc  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 m )  ~~  ~P m ) )
4640, 41, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( B `  m
)  ~~  ~P m
)
47 cdaen 8551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  m
)  ~~  ~P m  /\  ( B `  m
)  ~~  ~P m
)  ->  ( ( B `  m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( ~P m  +c  ~P m
) )
4846, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ~P m  +c  ~P m ) )
49 pwcda1 8572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ( ~P m  +c  ~P m
)  ~~  ~P (
m  +c  1o ) )
50 nnord 6689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
51 ordirr 4882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  m  ->  -.  m  e.  m )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  om  ->  -.  m  e.  m )
53 cda1en 8553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  om  /\  -.  m  e.  m
)  ->  ( m  +c  1o )  ~~  suc  m )
5452, 53mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  ->  (
m  +c  1o ) 
~~  suc  m )
55 pwen 7688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +c  1o ) 
~~  suc  m  ->  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m
)
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m
)
57 entr 7565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P ( m  +c  1o )  /\  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m )  -> 
( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P suc  m )
5849, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  om  ->  ( ~P m  +c  ~P m
)  ~~  ~P suc  m )
59 entr 7565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ~P m  +c  ~P m )  /\  ( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P suc  m )  -> 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ~P suc  m )
6048, 58, 59syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ~P suc  m )
6139sucex 6627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  m  e.  _V
6261sucid 4943 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  m  e.  suc  suc  m
63 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  m  -> 
( B `  k
)  =  ( B `
 suc  m )
)
64 pweq 3996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  m  ->  ~P k  =  ~P suc  m )
6563, 64breq12d 4446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  suc  m  -> 
( ( B `  k )  ~~  ~P k 
<->  ( B `  suc  m )  ~~  ~P suc  m ) )
6665rspcv 3190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  m  e.  suc  suc  m  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  ( B `  suc  m ) 
~~  ~P suc  m ) )
6762, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( B `  suc  m )  ~~  ~P suc  m )
6867ensymd 7564 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m
) )
6968adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m ) )
70 entr 7565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ~P suc  m  /\  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m ) )  -> 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( B `  suc  m ) )
7160, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( B `  suc  m ) )
7271ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( B `  suc  m ) )
73 nnfi 7708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  ->  m  e.  Fin )
74 pwfi 7813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  Fin  <->  ~P m  e.  Fin )
75 isfinite 8067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P m  ~<  om )
7674, 75bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  Fin  <->  ~P m  ~<  om )
7773, 76sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  ~<  om )
78 ensdomtr 7651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  m
)  ~~  ~P m  /\  ~P m  ~<  om )  ->  ( B `  m
)  ~<  om )
7946, 77, 78syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( B `  m )  ~<  om )
80 isfinite 8067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  <->  ( B `  m )  ~<  om )
8179, 80sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( B `  m )  e.  Fin )
8281ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( B `  m )  e.  Fin )
8339, 42iunsuc 4946 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  =  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m )
)
84 fvex 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B `
 k )  e. 
_V
8539, 84iunex 6761 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  _V
86 fvex 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B `
 m )  e. 
_V
87 uncdadom 8549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  _V  /\  ( B `  m )  e.  _V )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m ) )  ~<_  (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) ) )
8885, 86, 87mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m
) )  ~<_  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m
) )
8983, 88eqbrtri 4452 . . . . . . . . . 10  |-  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~<_  (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )
90 sdomtr 7653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  ~<  om )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
9180, 90sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
92 isfinite 8067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  <->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
9391, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin )
94 finnum 8327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card )
96 finnum 8327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( B `  m )  e.  dom  card )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( B `  m )  e.  dom  card )
98 cardacda 8576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card  /\  ( B `  m )  e.  dom  card )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
9995, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
100 ficardom 8340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  ->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  om )
10193, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om )
102 ficardom 8340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( card `  ( B `  m ) )  e. 
om )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )
104 cardid2 8332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )
10593, 94, 1043syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )
106 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
) )
107 cardid2 8332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B `  m )  e.  dom  card  ->  (
card `  ( B `  m ) )  ~~  ( B `  m ) )
108 ensym 7562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  ( B `  m ) )  ~~  ( B `  m )  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )
10996, 107, 1083syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m )
) )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )
111 ensdomtr 7651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k )  /\  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~<  ( B `  m ) )
112 sdomentr 7649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( B `  m
)  /\  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
113111, 112sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k )  /\  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  /\  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
114105, 106, 110, 113syl21anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
115 cardon 8323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  On
116 cardon 8323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  ( B `  m
) )  e.  On
117 onenon 8328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  ( B `  m ) )  e.  On  ->  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card
119 cardsdomel 8353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  On  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) ) ) )
120115, 118, 119mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) ) )
121 cardidm 8338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) )  =  (
card `  ( B `  m ) )
122121eleq2i 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m ) ) )  <-> 
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )
123120, 122bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m
) ) )
124114, 123sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )
125 nnaordr 7267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
)  <->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) ) )
126125biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )  /\  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )  ->  (
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
127101, 103, 103, 124, 126syl31anc 1230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
128 nnacl 7258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  ( B `  m )
)  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m ) )  e. 
om )  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  om )
129102, 102, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  om )
130 cardnn 8342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e. 
om  ->  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  =  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( card `  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )  =  ( (
card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  =  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
133127, 132eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) ) )
134 cardsdomelir 8352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  (
card `  ( ( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  -> 
( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~<  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  ~< 
( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
136 ensdomtr 7651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  /\  (
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~<  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  -> 
( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
13799, 135, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )
138 cardacda 8576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B `  m
)  e.  dom  card  /\  ( B `  m
)  e.  dom  card )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
13996, 96, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )
140139ensymd 7564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~~  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) )
141140adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) 
~~  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )
142 sdomentr 7649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) )  /\  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) 
~~  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )  -> 
( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )
143137, 141, 142syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )
144 domsdomtr 7650 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<_  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m
) )  /\  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )
14589, 143, 144sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) )
146145expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) ) )
14782, 146syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) ) )
148 sdomentr 7649 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) )  /\  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( B `  suc  m ) )  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) )
149148expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( B `  suc  m )  ->  ( U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) )
15072, 147, 149sylsyld 56 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) )
15138, 150syld 44 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) )
152151ex 434 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  ( ( A. k  e.  suc  m ( B `  k ) 
~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) ) )
153152com23 78 . . 3  |-  ( m  e.  om  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) ) )
1546, 12, 18, 32, 153finds1 6710 . 2  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
) ) )
155154imp 429 1  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. k  e.  suc  n
( B `  k
)  ~~  ~P k
)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093    u. cun 3456    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   U_ciun 4311   class class class wbr 4433   Ord word 4863   Oncon0 4864   suc csuc 4866   dom cdm 4985   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   omcom 6681   1oc1o 7121    +o coa 7125    ~~ cen 7511    ~<_ cdom 7512    ~< csdm 7513   Fincfn 7514   cardccrd 8314    +c ccda 8545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-card 8318  df-cda 8546
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