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Theorem pwsdompw 8385
Description: Lemma for domtriom 8624. This is the equinumerosity version of the algebraic identity  sum_ k  e.  n
( 2 ^ k
)  =  ( 2 ^ n )  - 
1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
pwsdompw  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. k  e.  suc  n
( B `  k
)  ~~  ~P k
)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)
Distinct variable group:    B, k, n

Proof of Theorem pwsdompw
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 4796 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  suc  n  =  suc  (/) )
21raleqdv 2935 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k ) 
~~  ~P k  <->  A. k  e.  suc  (/) ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
3 iuneq1 4196 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e.  (/)  ( B `
 k ) )
4 fveq2 5703 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( B `
 n )  =  ( B `  (/) ) )
53, 4breq12d 4317 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k ) 
~<  ( B `  (/) ) ) )
62, 5imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
) )  <->  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  ~<  ( B `  (/) ) ) ) )
7 suceq 4796 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  suc  n  =  suc  m )
87raleqdv 2935 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k 
<-> 
A. k  e.  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
9 iuneq1 4196 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e.  m  ( B `  k )
)
10 fveq2 5703 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( B `  n )  =  ( B `  m ) )
119, 10breq12d 4317 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
) ) )
128, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( A. k  e. 
suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)  <->  ( A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) ) )
13 suceq 4796 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  ->  suc  n  =  suc  suc  m )
1413raleqdv 2935 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( A. k  e. 
suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  <->  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
15 iuneq1 4196 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k ) )
16 fveq2 5703 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( B `  n
)  =  ( B `
 suc  m )
)
1715, 16breq12d 4317 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) )
1814, 17imbi12d 320 . . 3  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( ( A. k  e.  suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)  <->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) ) )
19 0iun 4239 . . . 4  |-  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  =  (/)
20 0ex 4434 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
2120sucid 4810 . . . . . 6  |-  (/)  e.  suc  (/)
22 fveq2 5703 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( B `
 k )  =  ( B `  (/) ) )
23 pweq 3875 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ~P k  =  ~P (/) )
2422, 23breq12d 4317 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( B `  k ) 
~~  ~P k  <->  ( B `  (/) )  ~~  ~P (/) ) )
2524rspcv 3081 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  suc  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 (/) )  ~~  ~P (/) ) )
2621, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 (/) )  ~~  ~P (/) )
2720canth2 7476 . . . . . 6  |-  (/)  ~<  ~P (/)
28 ensym 7370 . . . . . 6  |-  ( ( B `  (/) )  ~~  ~P (/)  ->  ~P (/)  ~~  ( B `  (/) ) )
29 sdomentr 7457 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  ~P (/)  /\  ~P (/)  ~~  ( B `  (/) ) )  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3027, 28, 29sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( B `  (/) )  ~~  ~P (/)  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3126, 30syl 16 . . . 4  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3219, 31syl5eqbr 4337 . . 3  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  ~<  ( B `  (/) ) )
33 sssucid 4808 . . . . . . . . 9  |-  suc  m  C_ 
suc  suc  m
34 ssralv 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  m  C_  suc  suc  m  ->  ( A. k  e. 
suc  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )
36 pm2.27 39 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  suc  m ( B `  k ) 
~~  ~P k  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
3735, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( ( A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
39 vex 2987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  e. 
_V
4039sucid 4810 . . . . . . . . . . . 12  |-  m  e. 
suc  m
41 elelsuc 4803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  suc  m  ->  m  e.  suc  suc  m
)
42 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
43 pweq 3875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ~P k  =  ~P m
)
4442, 43breq12d 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  ~~  ~P k  <->  ( B `  m ) 
~~  ~P m ) )
4544rspcv 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  suc  suc  m  ->  ( A. k  e. 
suc  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 m )  ~~  ~P m ) )
4640, 41, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( B `  m
)  ~~  ~P m
)
47 cdaen 8354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  m
)  ~~  ~P m  /\  ( B `  m
)  ~~  ~P m
)  ->  ( ( B `  m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( ~P m  +c  ~P m
) )
4846, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ~P m  +c  ~P m ) )
49 pwcda1 8375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ( ~P m  +c  ~P m
)  ~~  ~P (
m  +c  1o ) )
50 nnord 6496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
51 ordirr 4749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  m  ->  -.  m  e.  m )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  om  ->  -.  m  e.  m )
53 cda1en 8356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  om  /\  -.  m  e.  m
)  ->  ( m  +c  1o )  ~~  suc  m )
5452, 53mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  ->  (
m  +c  1o ) 
~~  suc  m )
55 pwen 7496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +c  1o ) 
~~  suc  m  ->  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m
)
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m
)
57 entr 7373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P ( m  +c  1o )  /\  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m )  -> 
( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P suc  m )
5849, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  om  ->  ( ~P m  +c  ~P m
)  ~~  ~P suc  m )
59 entr 7373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ~P m  +c  ~P m )  /\  ( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P suc  m )  -> 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ~P suc  m )
6048, 58, 59syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ~P suc  m )
6139sucex 6434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  m  e.  _V
6261sucid 4810 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  m  e.  suc  suc  m
63 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  m  -> 
( B `  k
)  =  ( B `
 suc  m )
)
64 pweq 3875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  m  ->  ~P k  =  ~P suc  m )
6563, 64breq12d 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  suc  m  -> 
( ( B `  k )  ~~  ~P k 
<->  ( B `  suc  m )  ~~  ~P suc  m ) )
6665rspcv 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  m  e.  suc  suc  m  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  ( B `  suc  m ) 
~~  ~P suc  m ) )
6762, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( B `  suc  m )  ~~  ~P suc  m )
6867ensymd 7372 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m
) )
6968adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m ) )
70 entr 7373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ~P suc  m  /\  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m ) )  -> 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( B `  suc  m ) )
7160, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( B `  suc  m ) )
7271ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( B `  suc  m ) )
73 nnfi 7515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  ->  m  e.  Fin )
74 pwfi 7618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  Fin  <->  ~P m  e.  Fin )
75 isfinite 7870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P m  ~<  om )
7674, 75bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  Fin  <->  ~P m  ~<  om )
7773, 76sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  ~<  om )
78 ensdomtr 7459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  m
)  ~~  ~P m  /\  ~P m  ~<  om )  ->  ( B `  m
)  ~<  om )
7946, 77, 78syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( B `  m )  ~<  om )
80 isfinite 7870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  <->  ( B `  m )  ~<  om )
8179, 80sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( B `  m )  e.  Fin )
8281ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( B `  m )  e.  Fin )
8339, 42iunsuc 4813 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  =  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m )
)
84 fvex 5713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B `
 k )  e. 
_V
8539, 84iunex 6569 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  _V
86 fvex 5713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B `
 m )  e. 
_V
87 uncdadom 8352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  _V  /\  ( B `  m )  e.  _V )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m ) )  ~<_  (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) ) )
8885, 86, 87mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m
) )  ~<_  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m
) )
8983, 88eqbrtri 4323 . . . . . . . . . 10  |-  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~<_  (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )
90 sdomtr 7461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  ~<  om )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
9180, 90sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
92 isfinite 7870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  <->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
9391, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin )
94 finnum 8130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card )
96 finnum 8130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( B `  m )  e.  dom  card )
9796adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( B `  m )  e.  dom  card )
98 cardacda 8379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card  /\  ( B `  m )  e.  dom  card )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
9995, 97, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
100 ficardom 8143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  ->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  om )
10193, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om )
102 ficardom 8143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( card `  ( B `  m ) )  e. 
om )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )
104 cardid2 8135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )
10593, 94, 1043syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )
106 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
) )
107 cardid2 8135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B `  m )  e.  dom  card  ->  (
card `  ( B `  m ) )  ~~  ( B `  m ) )
108 ensym 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  ( B `  m ) )  ~~  ( B `  m )  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )
10996, 107, 1083syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m )
) )
110109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )
111 ensdomtr 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k )  /\  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~<  ( B `  m ) )
112 sdomentr 7457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( B `  m
)  /\  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
113111, 112sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k )  /\  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  /\  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
114105, 106, 110, 113syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
115 cardon 8126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  On
116 cardon 8126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  ( B `  m
) )  e.  On
117 onenon 8131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  ( B `  m ) )  e.  On  ->  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card
119 cardsdomel 8156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  On  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) ) ) )
120115, 118, 119mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) ) )
121 cardidm 8141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) )  =  (
card `  ( B `  m ) )
122121eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m ) ) )  <-> 
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )
123120, 122bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m
) ) )
124114, 123sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )
125 nnaordr 7071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
)  <->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) ) )
126125biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )  /\  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )  ->  (
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
127101, 103, 103, 124, 126syl31anc 1221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
128 nnacl 7062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  ( B `  m )
)  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m ) )  e. 
om )  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  om )
129102, 102, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  om )
130 cardnn 8145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e. 
om  ->  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  =  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( card `  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )  =  ( (
card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
132131adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  =  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
133127, 132eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) ) )
134 cardsdomelir 8155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  (
card `  ( ( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  -> 
( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~<  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  ~< 
( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
136 ensdomtr 7459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  /\  (
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~<  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  -> 
( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
13799, 135, 136syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )
138 cardacda 8379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B `  m
)  e.  dom  card  /\  ( B `  m
)  e.  dom  card )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
13996, 96, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )
140139ensymd 7372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~~  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) )
141140adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) 
~~  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )
142 sdomentr 7457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) )  /\  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) 
~~  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )  -> 
( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )
143137, 141, 142syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )
144 domsdomtr 7458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<_  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m
) )  /\  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )
14589, 143, 144sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) )
146145expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) ) )
14782, 146syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) ) )
148 sdomentr 7457 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) )  /\  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( B `  suc  m ) )  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) )
149148expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( B `  suc  m )  ->  ( U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) )
15072, 147, 149sylsyld 56 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) )
15138, 150syld 44 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) )
152151ex 434 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  ( ( A. k  e.  suc  m ( B `  k ) 
~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) ) )
153152com23 78 . . 3  |-  ( m  e.  om  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) ) )
1546, 12, 18, 32, 153finds1 6517 . 2  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
) ) )
155154imp 429 1  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. k  e.  suc  n
( B `  k
)  ~~  ~P k
)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   _Vcvv 2984    u. cun 3338    C_ wss 3340   (/)c0 3649   ~Pcpw 3872   U_ciun 4183   class class class wbr 4304   Ord word 4730   Oncon0 4731   suc csuc 4733   dom cdm 4852   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   omcom 6488   1oc1o 6925    +o coa 6929    ~~ cen 7319    ~<_ cdom 7320    ~< csdm 7321   Fincfn 7322   cardccrd 8117    +c ccda 8348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-card 8121  df-cda 8349
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