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Theorem pwsdompw 8585
Description: Lemma for domtriom 8824. This is the equinumerosity version of the algebraic identity  sum_ k  e.  n
( 2 ^ k
)  =  ( 2 ^ n )  - 
1. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
pwsdompw  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. k  e.  suc  n
( B `  k
)  ~~  ~P k
)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)
Distinct variable group:    B, k, n

Proof of Theorem pwsdompw
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suceq 5450 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  suc  n  =  suc  (/) )
21raleqdv 2970 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k ) 
~~  ~P k  <->  A. k  e.  suc  (/) ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
3 iuneq1 4256 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e.  (/)  ( B `
 k ) )
4 fveq2 5825 . . . . 5  |-  ( n  =  (/)  ->  ( B `
 n )  =  ( B `  (/) ) )
53, 4breq12d 4379 . . . 4  |-  ( n  =  (/)  ->  ( U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k ) 
~<  ( B `  (/) ) ) )
62, 5imbi12d 321 . . 3  |-  ( n  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
) )  <->  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  ~<  ( B `  (/) ) ) ) )
7 suceq 5450 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  suc  n  =  suc  m )
87raleqdv 2970 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k 
<-> 
A. k  e.  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
9 iuneq1 4256 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e.  m  ( B `  k )
)
10 fveq2 5825 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  ( B `  n )  =  ( B `  m ) )
119, 10breq12d 4379 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
) ) )
128, 11imbi12d 321 . . 3  |-  ( n  =  m  ->  (
( A. k  e. 
suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)  <->  ( A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) ) )
13 suceq 5450 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  ->  suc  n  =  suc  suc  m )
1413raleqdv 2970 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( A. k  e. 
suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  <->  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k ) )
15 iuneq1 4256 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  =  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k ) )
16 fveq2 5825 . . . . 5  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( B `  n
)  =  ( B `
 suc  m )
)
1715, 16breq12d 4379 . . . 4  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
)  <->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) )
1814, 17imbi12d 321 . . 3  |-  ( n  =  suc  m  -> 
( ( A. k  e.  suc  n ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)  <->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) ) )
19 0iun 4299 . . . 4  |-  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  =  (/)
20 0ex 4499 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
2120sucid 5464 . . . . . 6  |-  (/)  e.  suc  (/)
22 fveq2 5825 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ( B `
 k )  =  ( B `  (/) ) )
23 pweq 3927 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  (/)  ->  ~P k  =  ~P (/) )
2422, 23breq12d 4379 . . . . . . 7  |-  ( k  =  (/)  ->  ( ( B `  k ) 
~~  ~P k  <->  ( B `  (/) )  ~~  ~P (/) ) )
2524rspcv 3121 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  suc  (/)  ->  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 (/) )  ~~  ~P (/) ) )
2621, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 (/) )  ~~  ~P (/) )
2720canth2 7678 . . . . . 6  |-  (/)  ~<  ~P (/)
28 ensym 7572 . . . . . 6  |-  ( ( B `  (/) )  ~~  ~P (/)  ->  ~P (/)  ~~  ( B `  (/) ) )
29 sdomentr 7659 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  ~P (/)  /\  ~P (/)  ~~  ( B `  (/) ) )  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3027, 28, 29sylancr 667 . . . . 5  |-  ( ( B `  (/) )  ~~  ~P (/)  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3126, 30syl 17 . . . 4  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  (/)  ~<  ( B `  (/) ) )
3219, 31syl5eqbr 4400 . . 3  |-  ( A. k  e.  suc  (/) ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  (/)  ( B `  k )  ~<  ( B `  (/) ) )
33 sssucid 5462 . . . . . . . . 9  |-  suc  m  C_ 
suc  suc  m
34 ssralv 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  m  C_  suc  suc  m  ->  ( A. k  e. 
suc  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  A. k  e.  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )
36 pm2.27 40 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  suc  m ( B `  k ) 
~~  ~P k  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
3735, 36syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( ( A. k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
3837adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
) )
39 vex 3025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  m  e. 
_V
4039sucid 5464 . . . . . . . . . . . 12  |-  m  e. 
suc  m
41 elelsuc 5457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  suc  m  ->  m  e.  suc  suc  m
)
42 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( B `  k )  =  ( B `  m ) )
43 pweq 3927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ~P k  =  ~P m
)
4442, 43breq12d 4379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( B `  k
)  ~~  ~P k  <->  ( B `  m ) 
~~  ~P m ) )
4544rspcv 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  suc  suc  m  ->  ( A. k  e. 
suc  suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  ( B `
 m )  ~~  ~P m ) )
4640, 41, 45mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( B `  m
)  ~~  ~P m
)
47 cdaen 8554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  m
)  ~~  ~P m  /\  ( B `  m
)  ~~  ~P m
)  ->  ( ( B `  m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( ~P m  +c  ~P m
) )
4846, 46, 47syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ~P m  +c  ~P m ) )
49 pwcda1 8575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ( ~P m  +c  ~P m
)  ~~  ~P (
m  +c  1o ) )
50 nnord 6658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  om  ->  Ord  m )
51 ordirr 5403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord  m  ->  -.  m  e.  m )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  om  ->  -.  m  e.  m )
53 cda1en 8556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  om  /\  -.  m  e.  m
)  ->  ( m  +c  1o )  ~~  suc  m )
5452, 53mpdan 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  ->  (
m  +c  1o ) 
~~  suc  m )
55 pwen 7698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +c  1o ) 
~~  suc  m  ->  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m
)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m
)
57 entr 7575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P ( m  +c  1o )  /\  ~P ( m  +c  1o )  ~~  ~P suc  m )  -> 
( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P suc  m )
5849, 56, 57syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  om  ->  ( ~P m  +c  ~P m
)  ~~  ~P suc  m )
59 entr 7575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ~P m  +c  ~P m )  /\  ( ~P m  +c  ~P m )  ~~  ~P suc  m )  -> 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ~P suc  m )
6048, 58, 59syl2an 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ~P suc  m )
6139sucex 6596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  m  e.  _V
6261sucid 5464 . . . . . . . . . . . 12  |-  suc  m  e.  suc  suc  m
63 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  m  -> 
( B `  k
)  =  ( B `
 suc  m )
)
64 pweq 3927 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  suc  m  ->  ~P k  =  ~P suc  m )
6563, 64breq12d 4379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  suc  m  -> 
( ( B `  k )  ~~  ~P k 
<->  ( B `  suc  m )  ~~  ~P suc  m ) )
6665rspcv 3121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  m  e.  suc  suc  m  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  ( B `  suc  m ) 
~~  ~P suc  m ) )
6762, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ( B `  suc  m )  ~~  ~P suc  m )
6867ensymd 7574 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m
) )
6968adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m ) )
70 entr 7575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ~P suc  m  /\  ~P suc  m  ~~  ( B `  suc  m ) )  -> 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( B `  suc  m ) )
7160, 69, 70syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( B `  suc  m ) )
7271ancoms 454 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( B `  suc  m ) )
73 nnfi 7718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  om  ->  m  e.  Fin )
74 pwfi 7822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  Fin  <->  ~P m  e.  Fin )
75 isfinite 8110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P m  e.  Fin  <->  ~P m  ~<  om )
7674, 75bitri 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  Fin  <->  ~P m  ~<  om )
7773, 76sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  om  ->  ~P m  ~<  om )
78 ensdomtr 7661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  m
)  ~~  ~P m  /\  ~P m  ~<  om )  ->  ( B `  m
)  ~<  om )
7946, 77, 78syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( B `  m )  ~<  om )
80 isfinite 8110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  <->  ( B `  m )  ~<  om )
8179, 80sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  /\  m  e.  om )  ->  ( B `  m )  e.  Fin )
8281ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( B `  m )  e.  Fin )
8339, 42iunsuc 5467 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  =  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m )
)
84 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B `
 k )  e. 
_V
8539, 84iunex 6731 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  _V
86 fvex 5835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B `
 m )  e. 
_V
87 uncdadom 8552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  _V  /\  ( B `  m )  e.  _V )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m ) )  ~<_  (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) ) )
8885, 86, 87mp2an 676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  u.  ( B `  m
) )  ~<_  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m
) )
8983, 88eqbrtri 4386 . . . . . . . . . 10  |-  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~<_  (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )
90 sdomtr 7663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  ~<  om )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
9180, 90sylan2b 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
92 isfinite 8110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  <->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  om )
9391, 92sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin )
94 finnum 8334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card )
96 finnum 8334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( B `  m )  e.  dom  card )
9796adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( B `  m )  e.  dom  card )
98 cardacda 8579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card  /\  ( B `  m )  e.  dom  card )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
9995, 97, 98syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
100 ficardom 8347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  Fin  ->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  om )
10193, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om )
102 ficardom 8347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( card `  ( B `  m ) )  e. 
om )
103102adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )
104 cardid2 8339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  e.  dom  card  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )
10593, 94, 1043syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )
106 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
) )
107 cardid2 8339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B `  m )  e.  dom  card  ->  (
card `  ( B `  m ) )  ~~  ( B `  m ) )
108 ensym 7572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  ( B `  m ) )  ~~  ( B `  m )  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )
10996, 107, 1083syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m )
) )
110109adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )
111 ensdomtr 7661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k )  /\  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~<  ( B `  m ) )
112 sdomentr 7659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( B `  m
)  /\  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
113111, 112sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~~  U_ k  e.  m  ( B `  k )  /\  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  /\  ( B `  m )  ~~  ( card `  ( B `  m ) ) )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
114105, 106, 110, 113syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) ) )
115 cardon 8330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  On
116 cardon 8330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( card `  ( B `  m
) )  e.  On
117 onenon 8335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
card `  ( B `  m ) )  e.  On  ->  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card )
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card
119 cardsdomel 8360 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  On  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) ) ) )
120115, 118, 119mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) ) )
121 cardidm 8345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( card `  ( card `  ( B `  m )
) )  =  (
card `  ( B `  m ) )
122121eleq2i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( card `  ( B `  m ) ) )  <-> 
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )
123120, 122bitri 252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  ~< 
( card `  ( B `  m ) )  <->  ( card ` 
U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m
) ) )
124114, 123sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )
125 nnaordr 7276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
)  <->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) ) )
126125biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e. 
om  /\  ( card `  ( B `  m
) )  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m )
)  e.  om )  /\  ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  e.  ( card `  ( B `  m )
) )  ->  (
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
127101, 103, 103, 124, 126syl31anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
128 nnacl 7267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( card `  ( B `  m )
)  e.  om  /\  ( card `  ( B `  m ) )  e. 
om )  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  om )
129102, 102, 128syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  om )
130 cardnn 8349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e. 
om  ->  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  =  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( card `  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )  =  ( (
card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
132131adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  =  ( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
133127, 132eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  e.  ( card `  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) ) )
134 cardsdomelir 8359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  e.  (
card `  ( ( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  -> 
( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~<  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
135133, 134syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m
) ) )  ~< 
( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
136 ensdomtr 7661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~~  ( ( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  /\  (
( card `  U_ k  e.  m  ( B `  k ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~<  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )  -> 
( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( card `  ( B `  m )
)  +o  ( card `  ( B `  m
) ) ) )
13799, 135, 136syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )
138 cardacda 8579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B `  m
)  e.  dom  card  /\  ( B `  m
)  e.  dom  card )  ->  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) ) )
13996, 96, 138syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) )
140139ensymd 7574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  (
( card `  ( B `  m ) )  +o  ( card `  ( B `  m )
) )  ~~  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) )
141140adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) 
~~  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )
142 sdomentr 7659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) )  /\  ( ( card `  ( B `  m
) )  +o  ( card `  ( B `  m ) ) ) 
~~  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )  -> 
( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )
143137, 141, 142syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m )
)  ~<  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) ) )
144 domsdomtr 7660 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<_  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m
) )  /\  ( U_ k  e.  m  ( B `  k )  +c  ( B `  m ) )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) )
14589, 143, 144sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  /\  ( B `  m )  e.  Fin )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) )
146145expcom 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( B `  m )  e.  Fin  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) ) )
14782, 146syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( ( B `  m )  +c  ( B `  m )
) ) )
148 sdomentr 7659 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) )  /\  ( ( B `
 m )  +c  ( B `  m
) )  ~~  ( B `  suc  m ) )  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) )
149148expcom 436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) ) 
~~  ( B `  suc  m )  ->  ( U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  (
( B `  m
)  +c  ( B `
 m ) )  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) )
15072, 147, 149sylsyld 58 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  ( U_ k  e.  m  ( B `  k ) 
~<  ( B `  m
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) )
15138, 150syld 45 . . . . 5  |-  ( ( m  e.  om  /\  A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k )  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) )
152151ex 435 . . . 4  |-  ( m  e.  om  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  ( ( A. k  e.  suc  m ( B `  k ) 
~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  U_ k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~< 
( B `  suc  m ) ) ) )
153152com23 81 . . 3  |-  ( m  e.  om  ->  (
( A. k  e. 
suc  m ( B `
 k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  m  ( B `  k )  ~<  ( B `  m )
)  ->  ( A. k  e.  suc  suc  m
( B `  k
)  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  suc  m ( B `  k )  ~<  ( B `  suc  m ) ) ) )
1546, 12, 18, 32, 153finds1 6680 . 2  |-  ( n  e.  om  ->  ( A. k  e.  suc  n ( B `  k )  ~~  ~P k  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k ) 
~<  ( B `  n
) ) )
155154imp 430 1  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. k  e.  suc  n
( B `  k
)  ~~  ~P k
)  ->  U_ k  e.  n  ( B `  k )  ~<  ( B `  n )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022    u. cun 3377    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   U_ciun 4242   class class class wbr 4366   dom cdm 4796   Ord word 5384   Oncon0 5385   suc csuc 5387   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   omcom 6650   1oc1o 7130    +o coa 7134    ~~ cen 7521    ~<_ cdom 7522    ~< csdm 7523   Fincfn 7524   cardccrd 8321    +c ccda 8548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549
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