Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsdiagmhm Structured version   Unicode version

Theorem pwsdiagmhm 15872
 Description: Diagonal monoid homomorphism into a structure power. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsdiagmhm.y s
pwsdiagmhm.b
pwsdiagmhm.f
Assertion
Ref Expression
pwsdiagmhm MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pwsdiagmhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3
2 pwsdiagmhm.y . . . 4 s
32pwsmnd 15828 . . 3
41, 3jca 532 . 2
5 pwsdiagmhm.b . . . . . . 7
6 fvex 5882 . . . . . . 7
75, 6eqeltri 2551 . . . . . 6
8 pwsdiagmhm.f . . . . . . 7
98fdiagfn 7474 . . . . . 6
107, 9mpan 670 . . . . 5
1110adantl 466 . . . 4
122, 5pwsbas 14759 . . . . 5
13 feq3 5721 . . . . 5
1412, 13syl 16 . . . 4
1511, 14mpbid 210 . . 3
16 simplr 754 . . . . . 6
17 eqid 2467 . . . . . . . . 9
185, 17mndcl 15802 . . . . . . . 8
19183expb 1197 . . . . . . 7
2019adantlr 714 . . . . . 6
218fvdiagfn 7475 . . . . . 6
2216, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5
238fvdiagfn 7475 . . . . . . . . 9
248fvdiagfn 7475 . . . . . . . . 9
2523, 24oveqan12d 6314 . . . . . . . 8
2625anandis 828 . . . . . . 7
2726adantll 713 . . . . . 6
28 eqid 2467 . . . . . . 7
29 simpll 753 . . . . . . 7
302, 5, 28pwsdiagel 14769 . . . . . . . 8
3130adantrr 716 . . . . . . 7
322, 5, 28pwsdiagel 14769 . . . . . . . 8
3332adantrl 715 . . . . . . 7
34 eqid 2467 . . . . . . 7
352, 28, 29, 16, 31, 33, 17, 34pwsplusgval 14762 . . . . . 6
36 id 22 . . . . . . . 8
37 vex 3121 . . . . . . . . 9
3837a1i 11 . . . . . . . 8
39 vex 3121 . . . . . . . . 9
4039a1i 11 . . . . . . . 8
4136, 38, 40ofc12 6560 . . . . . . 7
4241ad2antlr 726 . . . . . 6
4327, 35, 423eqtrd 2512 . . . . 5
4422, 43eqtr4d 2511 . . . 4
4544ralrimivva 2888 . . 3
46 simpr 461 . . . . 5
47 eqid 2467 . . . . . . 7
485, 47mndidcl 15811 . . . . . 6
4948adantr 465 . . . . 5
508fvdiagfn 7475 . . . . 5
5146, 49, 50syl2anc 661 . . . 4
522, 47pws0g 15829 . . . 4
5351, 52eqtrd 2508 . . 3
5415, 45, 533jca 1176 . 2
55 eqid 2467 . . 3
565, 28, 17, 34, 47, 55ismhm 15841 . 2 MndHom
574, 54, 56sylanbrc 664 1 MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  cvv 3118  csn 4033   cmpt 4511   cxp 5003  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295   cof 6533   cmap 7432  cbs 14507   cplusg 14572  c0g 14712   s cpws 14719  cmnd 15793   MndHom cmhm 15837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839 This theorem is referenced by:  pwsdiagghm  16166  pwsdiagrhm  17333
 Copyright terms: Public domain W3C validator