Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2rhm Structured version   Unicode version

Theorem pwsco2rhm 17902
 Description: Left composition with a ring homomorphism yields a ring homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2rhm.y s
pwsco2rhm.z s
pwsco2rhm.b
pwsco2rhm.a
pwsco2rhm.f RingHom
Assertion
Ref Expression
pwsco2rhm RingHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pwsco2rhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2rhm.f . . . . 5 RingHom
2 rhmrcl1 17882 . . . . 5 RingHom
31, 2syl 17 . . . 4
4 pwsco2rhm.a . . . 4
5 pwsco2rhm.y . . . . 5 s
65pwsring 17778 . . . 4
73, 4, 6syl2anc 665 . . 3
8 rhmrcl2 17883 . . . . 5 RingHom
91, 8syl 17 . . . 4
10 pwsco2rhm.z . . . . 5 s
1110pwsring 17778 . . . 4
129, 4, 11syl2anc 665 . . 3
137, 12jca 534 . 2
14 pwsco2rhm.b . . . . 5
15 rhmghm 17888 . . . . . . 7 RingHom
161, 15syl 17 . . . . . 6
17 ghmmhm 16844 . . . . . 6 MndHom
1816, 17syl 17 . . . . 5 MndHom
195, 10, 14, 4, 18pwsco2mhm 16569 . . . 4 MndHom
20 ringgrp 17720 . . . . . 6
217, 20syl 17 . . . . 5
22 ringgrp 17720 . . . . . 6
2312, 22syl 17 . . . . 5
24 ghmmhmb 16845 . . . . 5 MndHom
2521, 23, 24syl2anc 665 . . . 4 MndHom
2619, 25eleqtrrd 2520 . . 3
27 eqid 2429 . . . . 5 mulGrp s mulGrp s
28 eqid 2429 . . . . 5 mulGrp s mulGrp s
29 eqid 2429 . . . . 5 mulGrp s mulGrp s
30 eqid 2429 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
31 eqid 2429 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
3230, 31rhmmhm 17885 . . . . . 6 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
331, 32syl 17 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrp
3427, 28, 29, 4, 33pwsco2mhm 16569 . . . 4 mulGrp s mulGrp s MndHom mulGrp s
35 eqid 2429 . . . . . . . . 9
365, 35pwsbas 15344 . . . . . . . 8
373, 4, 36syl2anc 665 . . . . . . 7
3837, 14syl6eqr 2488 . . . . . 6
3930ringmgp 17721 . . . . . . . 8 mulGrp
403, 39syl 17 . . . . . . 7 mulGrp
4130, 35mgpbas 17664 . . . . . . . 8 mulGrp
4227, 41pwsbas 15344 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp s
4340, 4, 42syl2anc 665 . . . . . 6 mulGrp s
4438, 43eqtr3d 2472 . . . . 5 mulGrp s
4544mpteq1d 4507 . . . 4 mulGrp s
46 eqidd 2430 . . . . 5 mulGrp mulGrp
47 eqidd 2430 . . . . 5 mulGrp mulGrp
48 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
49 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
50 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
51 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s
525, 30, 27, 48, 49, 29, 50, 51pwsmgp 17781 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp s mulGrp mulGrp s
533, 4, 52syl2anc 665 . . . . . 6 mulGrp mulGrp s mulGrp mulGrp s
5453simpld 460 . . . . 5 mulGrp mulGrp s
55 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
56 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
57 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s
58 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrp
59 eqid 2429 . . . . . . . 8 mulGrp s mulGrp s
6010, 31, 28, 55, 56, 57, 58, 59pwsmgp 17781 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp s mulGrp mulGrp s
619, 4, 60syl2anc 665 . . . . . 6 mulGrp mulGrp s mulGrp mulGrp s
6261simpld 460 . . . . 5 mulGrp mulGrp s
6353simprd 464 . . . . . 6 mulGrp mulGrp s
6463oveqdr 6329 . . . . 5 mulGrp mulGrp mulGrp mulGrp s
6561simprd 464 . . . . . 6 mulGrp mulGrp s
6665oveqdr 6329 . . . . 5 mulGrp mulGrp mulGrp mulGrp s
6746, 47, 54, 62, 64, 66mhmpropd 16539 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrp mulGrp s MndHom mulGrp s
6834, 45, 673eltr4d 2532 . . 3 mulGrp MndHom mulGrp
6926, 68jca 534 . 2 mulGrp MndHom mulGrp
7048, 55isrhm 17884 . 2 RingHom mulGrp MndHom mulGrp
7113, 69, 70sylanbrc 668 1 RingHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870   cmpt 4484   ccom 4858  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmap 7480  cbs 15084   cplusg 15152   s cpws 15304  cmnd 16486   MndHom cmhm 16531  cgrp 16620   cghm 16831  mulGrpcmgp 17658  crg 17715   RingHom crh 17875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-hom 15176  df-cco 15177  df-0g 15299  df-prds 15305  df-pws 15307  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-ghm 16832  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-rnghom 17878 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator