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Theorem pwsco2mhm 15499
Description: Left composition with a monoid homomorphism yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2mhm.y  |-  Y  =  ( R  ^s  A )
pwsco2mhm.z  |-  Z  =  ( S  ^s  A )
pwsco2mhm.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
pwsco2mhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pwsco2mhm.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
Assertion
Ref Expression
pwsco2mhm  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) )  e.  ( Y MndHom  Z ) )
Distinct variable groups:    B, g    g, F    g, Y    g, Z    ph, g
Allowed substitution hints:    A( g)    R( g)    S( g)    V( g)

Proof of Theorem pwsco2mhm
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2mhm.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
2 mhmrcl1 15467 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  R  e.  Mnd )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
4 pwsco2mhm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 pwsco2mhm.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  A )
65pwsmnd 15456 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  Y  e.  Mnd )
73, 4, 6syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
8 mhmrcl2 15468 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  S  e.  Mnd )
91, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Mnd )
10 pwsco2mhm.z . . . . 5  |-  Z  =  ( S  ^s  A )
1110pwsmnd 15456 . . . 4  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  Z  e.  Mnd )
129, 4, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  Mnd )
137, 12jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  Mnd  /\  Z  e.  Mnd )
)
14 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
1614, 15mhmf 15469 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  F :
( Base `  R ) --> ( Base `  S )
)
171, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  R ) --> ( Base `  S ) )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  F : ( Base `  R
) --> ( Base `  S
) )
19 pwsco2mhm.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
203adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  R  e.  Mnd )
214adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  A  e.  V )
22 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  g  e.  B )
235, 14, 19, 20, 21, 22pwselbas 14427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  g : A --> ( Base `  R
) )
24 fco 5568 . . . . . 6  |-  ( ( F : ( Base `  R ) --> ( Base `  S )  /\  g : A --> ( Base `  R
) )  ->  ( F  o.  g ) : A --> ( Base `  S
) )
2518, 23, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  ( F  o.  g ) : A --> ( Base `  S
) )
269adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  S  e.  Mnd )
27 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
2810, 15, 27pwselbasb 14426 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( F  o.  g )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  g ) : A --> ( Base `  S ) ) )
2926, 21, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  (
( F  o.  g
)  e.  ( Base `  Z )  <->  ( F  o.  g ) : A --> ( Base `  S )
) )
3025, 29mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  B )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( Base `  Z
) )
31 eqid 2443 . . . 4  |-  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) )  =  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) )
3230, 31fmptd 5867 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) : B --> ( Base `  Z )
)
331adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
3433adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  F  e.  ( R MndHom  S ) )
3533, 2syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  R  e.  Mnd )
364adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  A  e.  V )
37 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
385, 14, 19, 35, 36, 37pwselbas 14427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x : A --> ( Base `  R ) )
3938ffvelrnda 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
x `  w )  e.  ( Base `  R
) )
40 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
415, 14, 19, 35, 36, 40pwselbas 14427 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y : A --> ( Base `  R ) )
4241ffvelrnda 5843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
y `  w )  e.  ( Base `  R
) )
43 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
44 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  S )  =  ( +g  `  S )
4514, 43, 44mhmlin 15471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  (
x `  w )  e.  ( Base `  R
)  /\  ( y `  w )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( F `  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) )  =  ( ( F `  ( x `
 w ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( y `  w
) ) ) )
4634, 39, 42, 45syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( (
x `  w )
( +g  `  R ) ( y `  w
) ) )  =  ( ( F `  ( x `  w
) ) ( +g  `  S ) ( F `
 ( y `  w ) ) ) )
4746mpteq2dva 4378 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( w  e.  A  |->  ( F `  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) ) ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( F `  ( x `
 w ) ) ( +g  `  S
) ( F `  ( y `  w
) ) ) ) )
48 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( x `  w ) )  e. 
_V
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( x `  w ) )  e. 
_V )
50 fvex 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( F `
 ( y `  w ) )  e. 
_V
5150a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  ( y `  w ) )  e. 
_V )
5238feqmptd 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  =  ( w  e.  A  |->  ( x `
 w ) ) )
5333, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  F : ( Base `  R
) --> ( Base `  S
) )
5453feqmptd 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  F  =  ( z  e.  ( Base `  R
)  |->  ( F `  z ) ) )
55 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x `  w )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( x `  w
) ) )
5639, 52, 54, 55fmptco 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  x
)  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 ( x `  w ) ) ) )
5741feqmptd 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  =  ( w  e.  A  |->  ( y `
 w ) ) )
58 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( y `  w )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( y `  w
) ) )
5942, 57, 54, 58fmptco 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  y
)  =  ( w  e.  A  |->  ( F `
 ( y `  w ) ) ) )
6036, 49, 51, 56, 59offval2 6336 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( F  o.  x )  oF ( +g  `  S
) ( F  o.  y ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( F `  ( x `  w
) ) ( +g  `  S ) ( F `
 ( y `  w ) ) ) ) )
6147, 60eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( w  e.  A  |->  ( F `  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) ) ) )  =  ( ( F  o.  x )  oF ( +g  `  S ) ( F  o.  y ) ) )
6235adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  R  e.  Mnd )
6314, 43mndcl 15420 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( x `  w
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
y `  w )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) )  e.  ( Base `  R
) )
6462, 39, 42, 63syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) )  e.  ( Base `  R
) )
65 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
665, 19, 35, 36, 37, 40, 43, 65pwsplusgval 14428 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  Y ) y )  =  ( x  oF ( +g  `  R
) y ) )
67 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 w )  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
x `  w )  e.  _V )
69 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
7069a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  w  e.  A )  ->  (
y `  w )  e.  _V )
7136, 68, 70, 52, 57offval2 6336 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x  oF ( +g  `  R
) y )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) ) )
7266, 71eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  Y ) y )  =  ( w  e.  A  |->  ( ( x `
 w ) ( +g  `  R ) ( y `  w
) ) ) )
73 fveq2 5691 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( ( x `
 w ) ( +g  `  R ) ( y `  w
) )  ->  ( F `  z )  =  ( F `  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) ) )
7464, 72, 54, 73fmptco 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  (
x ( +g  `  Y
) y ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( F `  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) ) ) )
7533, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  S  e.  Mnd )
76 fco 5568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  R ) --> ( Base `  S )  /\  x : A --> ( Base `  R
) )  ->  ( F  o.  x ) : A --> ( Base `  S
) )
7753, 38, 76syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  x
) : A --> ( Base `  S ) )
7810, 15, 27pwselbasb 14426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( F  o.  x )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  x ) : A --> ( Base `  S ) ) )
7975, 36, 78syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( F  o.  x )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  x ) : A --> ( Base `  S ) ) )
8077, 79mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  x
)  e.  ( Base `  Z ) )
81 fco 5568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  R ) --> ( Base `  S )  /\  y : A --> ( Base `  R
) )  ->  ( F  o.  y ) : A --> ( Base `  S
) )
8253, 41, 81syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  y
) : A --> ( Base `  S ) )
8310, 15, 27pwselbasb 14426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( F  o.  y )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  y ) : A --> ( Base `  S ) ) )
8475, 36, 83syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( F  o.  y )  e.  (
Base `  Z )  <->  ( F  o.  y ) : A --> ( Base `  S ) ) )
8582, 84mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  y
)  e.  ( Base `  Z ) )
86 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
8710, 27, 75, 36, 80, 85, 44, 86pwsplusgval 14428 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( F  o.  x ) ( +g  `  Z ) ( F  o.  y ) )  =  ( ( F  o.  x )  oF ( +g  `  S
) ( F  o.  y ) ) )
8861, 74, 873eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  (
x ( +g  `  Y
) y ) )  =  ( ( F  o.  x ) ( +g  `  Z ) ( F  o.  y
) ) )
8919, 65mndcl 15420 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  Y ) y )  e.  B )
90893expb 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  Mnd  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )  ->  (
x ( +g  `  Y
) y )  e.  B )
917, 90sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  Y ) y )  e.  B )
92 coexg 6528 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  (
x ( +g  `  Y
) y )  e.  B )  ->  ( F  o.  ( x
( +g  `  Y ) y ) )  e. 
_V )
9333, 91, 92syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( F  o.  (
x ( +g  `  Y
) y ) )  e.  _V )
94 coeq2 4998 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( x ( +g  `  Y ) y )  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  ( x ( +g  `  Y ) y ) ) )
9594, 31fvmptg 5772 . . . . . 6  |-  ( ( ( x ( +g  `  Y ) y )  e.  B  /\  ( F  o.  ( x
( +g  `  Y ) y ) )  e. 
_V )  ->  (
( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) `  (
x ( +g  `  Y
) y ) )  =  ( F  o.  ( x ( +g  `  Y ) y ) ) )
9691, 93, 95syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y ) y ) )  =  ( F  o.  ( x ( +g  `  Y ) y ) ) )
97 coeq2 4998 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  x  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  x ) )
9897, 31fvmptg 5772 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  ( F  o.  x
)  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  x )  =  ( F  o.  x ) )
9937, 80, 98syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  x )  =  ( F  o.  x ) )
100 coeq2 4998 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  y  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  y ) )
101100, 31fvmptg 5772 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( F  o.  y
)  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  y )  =  ( F  o.  y ) )
10240, 85, 101syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  y )  =  ( F  o.  y ) )
10399, 102oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 x ) ( +g  `  Z ) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  y ) )  =  ( ( F  o.  x ) ( +g  `  Z ) ( F  o.  y ) ) )
10488, 96, 1033eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) `  x
) ( +g  `  Z
) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 y ) ) )
105104ralrimivva 2808 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) `  x
) ( +g  `  Z
) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 y ) ) )
106 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
10719, 106mndidcl 15439 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Mnd  ->  ( 0g `  Y )  e.  B )
1087, 107syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Y
)  e.  B )
109 coexg 6528 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( R MndHom  S )  /\  ( 0g `  Y )  e.  B )  ->  ( F  o.  ( 0g `  Y ) )  e. 
_V )
1101, 108, 109syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( 0g `  Y ) )  e.  _V )
111 coeq2 4998 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( 0g `  Y )  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  ( 0g `  Y ) ) )
112111, 31fvmptg 5772 . . . . 5  |-  ( ( ( 0g `  Y
)  e.  B  /\  ( F  o.  ( 0g `  Y ) )  e.  _V )  -> 
( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( F  o.  ( 0g `  Y ) ) )
113108, 110, 112syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( F  o.  ( 0g `  Y ) ) )
114 ffn 5559 . . . . . . 7  |-  ( F : ( Base `  R
) --> ( Base `  S
)  ->  F  Fn  ( Base `  R )
)
11517, 114syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( Base `  R ) )
116 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
11714, 116mndidcl 15439 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Mnd  ->  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )
1183, 117syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  ( Base `  R ) )
119 fcoconst 5880 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  ( Base `  R )  /\  ( 0g `  R )  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( F  o.  ( A  X.  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( A  X.  { ( F `
 ( 0g `  R ) ) } ) )
120115, 118, 119syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( A  X.  { ( F `  ( 0g
`  R ) ) } ) )
1215, 116pws0g 15457 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Y
) )
1223, 4, 121syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Y
) )
123122coeq2d 5002 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } ) )  =  ( F  o.  ( 0g
`  Y ) ) )
124 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  S )  =  ( 0g `  S
)
125116, 124mhm0 15472 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( R MndHom  S
)  ->  ( F `  ( 0g `  R
) )  =  ( 0g `  S ) )
1261, 125syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  S ) )
127126sneqd 3889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( F `  ( 0g `  R ) ) }  =  {
( 0g `  S
) } )
128127xpeq2d 4864 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( F `  ( 0g `  R ) ) } )  =  ( A  X.  { ( 0g `  S ) } ) )
129120, 123, 1283eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  ( 0g `  Y ) )  =  ( A  X.  { ( 0g `  S ) } ) )
13010, 124pws0g 15457 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  {
( 0g `  S
) } )  =  ( 0g `  Z
) )
1319, 4, 130syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( 0g `  S
) } )  =  ( 0g `  Z
) )
132113, 129, 1313eqtrd 2479 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g
`  Z ) )
13332, 105, 1323jca 1168 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) : B --> ( Base `  Z
)  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( (
g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y
) y ) )  =  ( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  x ) ( +g  `  Z
) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 y ) )  /\  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  Z
) ) )
134 eqid 2443 . . 3  |-  ( 0g
`  Z )  =  ( 0g `  Z
)
13519, 27, 65, 86, 106, 134ismhm 15466 . 2  |-  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) )  e.  ( Y MndHom  Z )  <->  ( ( Y  e.  Mnd  /\  Z  e.  Mnd )  /\  (
( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) : B --> ( Base `  Z )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `  ( x ( +g  `  Y ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) ) `  x
) ( +g  `  Z
) ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 y ) )  /\  ( ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g ) ) `
 ( 0g `  Y ) )  =  ( 0g `  Z
) ) ) )
13613, 133, 135sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  B  |->  ( F  o.  g
) )  e.  ( Y MndHom  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   _Vcvv 2972   {csn 3877    e. cmpt 4350    X. cxp 4838    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oFcof 6318   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378    ^s cpws 14385   Mndcmnd 15409   MndHom cmhm 15462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-hom 14262  df-cco 14263  df-0g 14380  df-prds 14386  df-pws 14388  df-mnd 15415  df-mhm 15464
This theorem is referenced by:  pwsco2rhm  16827
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