Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsco2mhm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pwsco2mhm 16696
 Description: Left composition with a monoid homomorphism yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco2mhm.y s
pwsco2mhm.z s
pwsco2mhm.b
pwsco2mhm.a
pwsco2mhm.f MndHom
Assertion
Ref Expression
pwsco2mhm MndHom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pwsco2mhm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco2mhm.f . . . . 5 MndHom
2 mhmrcl1 16663 . . . . 5 MndHom
31, 2syl 17 . . . 4
4 pwsco2mhm.a . . . 4
5 pwsco2mhm.y . . . . 5 s
65pwsmnd 16649 . . . 4
73, 4, 6syl2anc 673 . . 3
8 mhmrcl2 16664 . . . . 5 MndHom
91, 8syl 17 . . . 4
10 pwsco2mhm.z . . . . 5 s
1110pwsmnd 16649 . . . 4
129, 4, 11syl2anc 673 . . 3
137, 12jca 541 . 2
14 eqid 2471 . . . . . . . . 9
15 eqid 2471 . . . . . . . . 9
1614, 15mhmf 16665 . . . . . . . 8 MndHom
171, 16syl 17 . . . . . . 7
1817adantr 472 . . . . . 6
19 pwsco2mhm.b . . . . . . 7
203adantr 472 . . . . . . 7
214adantr 472 . . . . . . 7
22 simpr 468 . . . . . . 7
235, 14, 19, 20, 21, 22pwselbas 15465 . . . . . 6
24 fco 5751 . . . . . 6
2518, 23, 24syl2anc 673 . . . . 5
269adantr 472 . . . . . 6
27 eqid 2471 . . . . . . 7
2810, 15, 27pwselbasb 15464 . . . . . 6
2926, 21, 28syl2anc 673 . . . . 5
3025, 29mpbird 240 . . . 4
31 eqid 2471 . . . 4
3230, 31fmptd 6061 . . 3
331adantr 472 . . . . . . . . . 10 MndHom
3433adantr 472 . . . . . . . . 9 MndHom
3533, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11
364adantr 472 . . . . . . . . . . 11
37 simprl 772 . . . . . . . . . . 11
385, 14, 19, 35, 36, 37pwselbas 15465 . . . . . . . . . 10
3938ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
40 simprr 774 . . . . . . . . . . 11
415, 14, 19, 35, 36, 40pwselbas 15465 . . . . . . . . . 10
4241ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
43 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
44 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
4514, 43, 44mhmlin 16667 . . . . . . . . 9 MndHom
4634, 39, 42, 45syl3anc 1292 . . . . . . . 8
4746mpteq2dva 4482 . . . . . . 7
48 fvex 5889 . . . . . . . . 9
4948a1i 11 . . . . . . . 8
50 fvex 5889 . . . . . . . . 9
5150a1i 11 . . . . . . . 8
5238feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
5333, 16syl 17 . . . . . . . . . 10
5453feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
55 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
5639, 52, 54, 55fmptco 6072 . . . . . . . 8
5741feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
58 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
5942, 57, 54, 58fmptco 6072 . . . . . . . 8
6036, 49, 51, 56, 59offval2 6567 . . . . . . 7
6147, 60eqtr4d 2508 . . . . . 6
6235adantr 472 . . . . . . . 8
6314, 43mndcl 16623 . . . . . . . 8
6462, 39, 42, 63syl3anc 1292 . . . . . . 7
65 eqid 2471 . . . . . . . . 9
665, 19, 35, 36, 37, 40, 43, 65pwsplusgval 15466 . . . . . . . 8
67 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
6867a1i 11 . . . . . . . . 9
69 fvex 5889 . . . . . . . . . 10
7069a1i 11 . . . . . . . . 9
7136, 68, 70, 52, 57offval2 6567 . . . . . . . 8
7266, 71eqtrd 2505 . . . . . . 7
73 fveq2 5879 . . . . . . 7
7464, 72, 54, 73fmptco 6072 . . . . . 6
7533, 8syl 17 . . . . . . 7
76 fco 5751 . . . . . . . . 9
7753, 38, 76syl2anc 673 . . . . . . . 8
7810, 15, 27pwselbasb 15464 . . . . . . . . 9
7975, 36, 78syl2anc 673 . . . . . . . 8
8077, 79mpbird 240 . . . . . . 7
81 fco 5751 . . . . . . . . 9
8253, 41, 81syl2anc 673 . . . . . . . 8
8310, 15, 27pwselbasb 15464 . . . . . . . . 9
8475, 36, 83syl2anc 673 . . . . . . . 8
8582, 84mpbird 240 . . . . . . 7
86 eqid 2471 . . . . . . 7
8710, 27, 75, 36, 80, 85, 44, 86pwsplusgval 15466 . . . . . 6
8861, 74, 873eqtr4d 2515 . . . . 5
8919, 65mndcl 16623 . . . . . . . 8
90893expb 1232 . . . . . . 7
917, 90sylan 479 . . . . . 6
92 coexg 6763 . . . . . . 7 MndHom
9333, 91, 92syl2anc 673 . . . . . 6
94 coeq2 4998 . . . . . . 7
9594, 31fvmptg 5961 . . . . . 6
9691, 93, 95syl2anc 673 . . . . 5
97 coeq2 4998 . . . . . . . 8
9897, 31fvmptg 5961 . . . . . . 7
9937, 80, 98syl2anc 673 . . . . . 6
100 coeq2 4998 . . . . . . . 8
101100, 31fvmptg 5961 . . . . . . 7
10240, 85, 101syl2anc 673 . . . . . 6
10399, 102oveq12d 6326 . . . . 5
10488, 96, 1033eqtr4d 2515 . . . 4
105104ralrimivva 2814 . . 3
106 eqid 2471 . . . . . . 7
10719, 106mndidcl 16632 . . . . . 6
1087, 107syl 17 . . . . 5
109 coexg 6763 . . . . . 6 MndHom
1101, 108, 109syl2anc 673 . . . . 5
111 coeq2 4998 . . . . . 6
112111, 31fvmptg 5961 . . . . 5
113108, 110, 112syl2anc 673 . . . 4
114 ffn 5739 . . . . . . 7
11517, 114syl 17 . . . . . 6
116 eqid 2471 . . . . . . . 8
11714, 116mndidcl 16632 . . . . . . 7
1183, 117syl 17 . . . . . 6
119 fcoconst 6076 . . . . . 6
120115, 118, 119syl2anc 673 . . . . 5
1215, 116pws0g 16650 . . . . . . 7
1223, 4, 121syl2anc 673 . . . . . 6
123122coeq2d 5002 . . . . 5
124 eqid 2471 . . . . . . . . 9
125116, 124mhm0 16668 . . . . . . . 8 MndHom
1261, 125syl 17 . . . . . . 7
127126sneqd 3971 . . . . . 6
128127xpeq2d 4863 . . . . 5
129120, 123, 1283eqtr3d 2513 . . . 4
13010, 124pws0g 16650 . . . . 5
1319, 4, 130syl2anc 673 . . . 4
132113, 129, 1313eqtrd 2509 . . 3
13332, 105, 1323jca 1210 . 2
134 eqid 2471 . . 3
13519, 27, 65, 86, 106, 134ismhm 16662 . 2 MndHom
13613, 133, 135sylanbrc 677 1 MndHom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031  csn 3959   cmpt 4454   cxp 4837   ccom 4843   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cof 6548  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416   s cpws 15423  cmnd 16613   MndHom cmhm 16658 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660 This theorem is referenced by:  pwsco2rhm  18045
 Copyright terms: Public domain W3C validator