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Theorem pwsco1mhm 14724
Description: Right composition with a function on the index sets yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1mhm.y  |-  Y  =  ( R  ^s  A )
pwsco1mhm.z  |-  Z  =  ( R  ^s  B )
pwsco1mhm.c  |-  C  =  ( Base `  Z
)
pwsco1mhm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
pwsco1mhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pwsco1mhm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
pwsco1mhm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
pwsco1mhm  |-  ( ph  ->  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) )  e.  ( Z MndHom  Y ) )
Distinct variable groups:    C, g    g, Y    g, Z    g, F    ph, g
Allowed substitution hints:    A( g)    B( g)    R( g)    V( g)    W( g)

Proof of Theorem pwsco1mhm
Dummy variables  x  z  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1mhm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
2 pwsco1mhm.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
3 pwsco1mhm.z . . . . 5  |-  Z  =  ( R  ^s  B )
43pwsmnd 14685 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  W )  ->  Z  e.  Mnd )
51, 2, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  Mnd )
6 pwsco1mhm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 pwsco1mhm.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  A )
87pwsmnd 14685 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  Y  e.  Mnd )
91, 6, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
105, 9jca 519 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  Mnd  /\  Y  e.  Mnd )
)
11 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
12 pwsco1mhm.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( Base `  Z
)
133, 11, 12pwselbasb 13665 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  W )  ->  ( g  e.  C  <->  g : B --> ( Base `  R ) ) )
141, 2, 13syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( g  e.  C  <->  g : B --> ( Base `  R ) ) )
1514biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  g : B --> ( Base `  R
) )
16 pwsco1mhm.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1716adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  F : A --> B )
18 fco 5559 . . . . . 6  |-  ( ( g : B --> ( Base `  R )  /\  F : A --> B )  -> 
( g  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
1915, 17, 18syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
g  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) )
20 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
217, 11, 20pwselbasb 13665 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( g  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( g  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
221, 6, 21syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( g  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( g  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
2322adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
( g  o.  F
)  e.  ( Base `  Y )  <->  ( g  o.  F ) : A --> ( Base `  R )
) )
2419, 23mpbird 224 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
g  o.  F )  e.  ( Base `  Y
) )
25 eqid 2404 . . . 4  |-  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) )  =  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) )
2624, 25fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) : C --> ( Base `  Y )
)
276adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  A  e.  V )
28 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( x `
 ( F `  z ) )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
x `  ( F `  z ) )  e. 
_V )
30 fvex 5701 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 ( F `  z ) )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
y `  ( F `  z ) )  e. 
_V )
3216adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  F : A --> B )
3332ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  B )
3432feqmptd 5738 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `
 z ) ) )
351adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  R  e.  Mnd )
362adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  B  e.  W )
37 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  C )
383, 11, 12, 35, 36, 37pwselbas 13666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  x : B --> ( Base `  R ) )
3938feqmptd 5738 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  x  =  ( w  e.  B  |->  ( x `
 w ) ) )
40 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
x `  w )  =  ( x `  ( F `  z ) ) )
4133, 34, 39, 40fmptco 5860 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o.  F
)  =  ( z  e.  A  |->  ( x `
 ( F `  z ) ) ) )
42 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  e.  C )
433, 11, 12, 35, 36, 42pwselbas 13666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
y : B --> ( Base `  R ) )
4443feqmptd 5738 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  =  ( w  e.  B  |->  ( y `
 w ) ) )
45 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( F `  z ) ) )
4633, 34, 44, 45fmptco 5860 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  o.  F
)  =  ( z  e.  A  |->  ( y `
 ( F `  z ) ) ) )
4727, 29, 31, 41, 46offval2 6281 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x  o.  F )  o F ( +g  `  R
) ( y  o.  F ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x `  ( F `  z ) ) ( +g  `  R
) ( y `  ( F `  z ) ) ) ) )
48 fco 5559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x : B --> ( Base `  R )  /\  F : A --> B )  -> 
( x  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
4938, 32, 48syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
507, 11, 20pwselbasb 13665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( x  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( x  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
5135, 27, 50syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( x  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
5249, 51mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o.  F
)  e.  ( Base `  Y ) )
53 fco 5559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y : B --> ( Base `  R )  /\  F : A --> B )  -> 
( y  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
5443, 32, 53syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
557, 11, 20pwselbasb 13665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( y  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( y  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
5635, 27, 55syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( y  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( y  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
5754, 56mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  o.  F
)  e.  ( Base `  Y ) )
58 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
59 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
607, 20, 35, 27, 52, 57, 58, 59pwsplusgval 13667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x  o.  F ) ( +g  `  Y ) ( y  o.  F ) )  =  ( ( x  o.  F )  o F ( +g  `  R
) ( y  o.  F ) ) )
61 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
623, 12, 35, 36, 37, 42, 58, 61pwsplusgval 13667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  Z ) y )  =  ( x  o F ( +g  `  R
) y ) )
63 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 w )  e. 
_V
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
x `  w )  e.  _V )
65 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
6665a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
y `  w )  e.  _V )
6736, 64, 66, 39, 44offval2 6281 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o F ( +g  `  R
) y )  =  ( w  e.  B  |->  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) ) )
6862, 67eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  Z ) y )  =  ( w  e.  B  |->  ( ( x `
 w ) ( +g  `  R ) ( y `  w
) ) ) )
6940, 45oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) )  =  ( ( x `  ( F `  z ) ) ( +g  `  R
) ( y `  ( F `  z ) ) ) )
7033, 34, 68, 69fmptco 5860 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x `  ( F `
 z ) ) ( +g  `  R
) ( y `  ( F `  z ) ) ) ) )
7147, 60, 703eqtr4rd 2447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F
)  =  ( ( x  o.  F ) ( +g  `  Y
) ( y  o.  F ) ) )
7212, 61mndcl 14650 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  Mnd  /\  x  e.  C  /\  y  e.  C )  ->  ( x ( +g  `  Z ) y )  e.  C )
73723expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  Mnd  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x ( +g  `  Z
) y )  e.  C )
745, 73sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  Z ) y )  e.  C )
75 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( x ( +g  `  Z
) y )  e. 
_V
76 fex 5928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
7716, 6, 76syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
7877adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  F  e.  _V )
79 coexg 5371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ( +g  `  Z ) y )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  (
( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F )  e. 
_V )
8075, 78, 79sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F
)  e.  _V )
81 coeq1 4989 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( x ( +g  `  Z ) y )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( x ( +g  `  Z
) y )  o.  F ) )
8281, 25fvmptg 5763 . . . . . 6  |-  ( ( ( x ( +g  `  Z ) y )  e.  C  /\  (
( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F )  e. 
_V )  ->  (
( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) `  (
x ( +g  `  Z
) y ) )  =  ( ( x ( +g  `  Z
) y )  o.  F ) )
8374, 80, 82syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z ) y ) )  =  ( ( x ( +g  `  Z
) y )  o.  F ) )
84 coexg 5371 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  F  e.  _V )  ->  ( x  o.  F
)  e.  _V )
8537, 78, 84syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o.  F
)  e.  _V )
86 coeq1 4989 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  x  ->  (
g  o.  F )  =  ( x  o.  F ) )
8786, 25fvmptg 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  C  /\  ( x  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  x )  =  ( x  o.  F ) )
8837, 85, 87syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  x )  =  ( x  o.  F ) )
89 coexg 5371 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  C  /\  F  e.  _V )  ->  ( y  o.  F
)  e.  _V )
9042, 78, 89syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  o.  F
)  e.  _V )
91 coeq1 4989 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  y  ->  (
g  o.  F )  =  ( y  o.  F ) )
9291, 25fvmptg 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  C  /\  ( y  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  y )  =  ( y  o.  F ) )
9342, 90, 92syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  y )  =  ( y  o.  F ) )
9488, 93oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 x ) ( +g  `  Y ) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  y ) )  =  ( ( x  o.  F ) ( +g  `  Y ) ( y  o.  F ) ) )
9571, 83, 943eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) `  x
) ( +g  `  Y
) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 y ) ) )
9695ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) `  x
) ( +g  `  Y
) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 y ) ) )
97 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  Z )  =  ( 0g `  Z
)
9812, 97mndidcl 14669 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  Mnd  ->  ( 0g `  Z )  e.  C )
995, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Z
)  e.  C )
100 coexg 5371 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  Z
)  e.  C  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  e.  _V )
10199, 77, 100syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  e.  _V )
102 coeq1 4989 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( 0g `  Z )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( 0g
`  Z )  o.  F ) )
103102, 25fvmptg 5763 . . . . 5  |-  ( ( ( 0g `  Z
)  e.  C  /\  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( 0g `  Z ) )  =  ( ( 0g `  Z )  o.  F ) )
10499, 101, 103syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( 0g `  Z ) )  =  ( ( 0g `  Z )  o.  F ) )
1053, 11, 12, 1, 2, 99pwselbas 13666 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Z
) : B --> ( Base `  R ) )
106 fco 5559 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  Z
) : B --> ( Base `  R )  /\  F : A --> B )  -> 
( ( 0g `  Z )  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
107105, 16, 106syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
108 ffn 5550 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  Z
)  o.  F ) : A --> ( Base `  R )  ->  (
( 0g `  Z
)  o.  F )  Fn  A )
109107, 108syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  Fn  A )
110 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
112 fnconstg 5590 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  R )  e.  _V  ->  ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } )  Fn  A )
113111, 112syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  Fn  A )
114 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1153, 114pws0g 14686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  W )  ->  ( B  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Z
) )
1161, 2, 115syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Z
) )
117116fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { ( 0g `  R ) } ) `
 ( F `  x ) )  =  ( ( 0g `  Z ) `  ( F `  x )
) )
118117adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  ( F `  x ) )  =  ( ( 0g `  Z ) `
 ( F `  x ) ) )
11916ffvelrnda 5829 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
120 fvconst2g 5904 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  R
)  e.  _V  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( ( B  X.  { ( 0g `  R ) } ) `
 ( F `  x ) )  =  ( 0g `  R
) )
121110, 119, 120sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  ( F `  x ) )  =  ( 0g
`  R ) )
122118, 121eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( 0g `  Z
) `  ( F `  x ) )  =  ( 0g `  R
) )
123 fvco3 5759 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( 0g
`  Z )  o.  F ) `  x
)  =  ( ( 0g `  Z ) `
 ( F `  x ) ) )
12416, 123sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( 0g `  Z )  o.  F
) `  x )  =  ( ( 0g
`  Z ) `  ( F `  x ) ) )
125 fvconst2g 5904 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  R
)  e.  _V  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ( 0g `  R ) } ) `
 x )  =  ( 0g `  R
) )
126111, 125sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )
127122, 124, 1263eqtr4d 2446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( 0g `  Z )  o.  F
) `  x )  =  ( ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } ) `  x ) )
128109, 113, 127eqfnfvd 5789 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  =  ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } ) )
1297, 114pws0g 14686 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Y
) )
1301, 6, 129syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Y
) )
131104, 128, 1303eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( 0g `  Z ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
13226, 96, 1313jca 1134 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) : C --> ( Base `  Y
)  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( (
g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z
) y ) )  =  ( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  x ) ( +g  `  Y
) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 y ) )  /\  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 ( 0g `  Z ) )  =  ( 0g `  Y
) ) )
133 eqid 2404 . . 3  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
13412, 20, 61, 59, 97, 133ismhm 14695 . 2  |-  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) )  e.  ( Z MndHom  Y )  <->  ( ( Z  e.  Mnd  /\  Y  e.  Mnd )  /\  (
( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) : C --> ( Base `  Y )  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) `  x
) ( +g  `  Y
) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 y ) )  /\  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 ( 0g `  Z ) )  =  ( 0g `  Y
) ) ) )
13510, 132, 134sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) )  e.  ( Z MndHom  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   Basecbs 13424   +g cplusg 13484    ^s cpws 13625   0gc0g 13678   Mndcmnd 14639   MndHom cmhm 14691
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  15788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-hom 13508  df-cco 13509  df-prds 13626  df-pws 13628  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-mhm 14693
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