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Theorem pwsco1mhm 15620
Description: Right composition with a function on the index sets yields a monoid homomorphism of structure powers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsco1mhm.y  |-  Y  =  ( R  ^s  A )
pwsco1mhm.z  |-  Z  =  ( R  ^s  B )
pwsco1mhm.c  |-  C  =  ( Base `  Z
)
pwsco1mhm.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
pwsco1mhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
pwsco1mhm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
pwsco1mhm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
Assertion
Ref Expression
pwsco1mhm  |-  ( ph  ->  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) )  e.  ( Z MndHom  Y ) )
Distinct variable groups:    C, g    g, Y    g, Z    g, F    ph, g
Allowed substitution hints:    A( g)    B( g)    R( g)    V( g)    W( g)

Proof of Theorem pwsco1mhm
Dummy variables  x  z  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsco1mhm.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
2 pwsco1mhm.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
3 pwsco1mhm.z . . . . 5  |-  Z  =  ( R  ^s  B )
43pwsmnd 15578 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  W )  ->  Z  e.  Mnd )
51, 2, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Z  e.  Mnd )
6 pwsco1mhm.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 pwsco1mhm.y . . . . 5  |-  Y  =  ( R  ^s  A )
87pwsmnd 15578 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  Y  e.  Mnd )
91, 6, 8syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  Mnd )
105, 9jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  ( Z  e.  Mnd  /\  Y  e.  Mnd )
)
11 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
12 pwsco1mhm.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( Base `  Z
)
133, 11, 12pwselbasb 14548 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  W )  ->  ( g  e.  C  <->  g : B --> ( Base `  R ) ) )
141, 2, 13syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( g  e.  C  <->  g : B --> ( Base `  R ) ) )
1514biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  g : B --> ( Base `  R
) )
16 pwsco1mhm.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
1716adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  F : A --> B )
18 fco 5679 . . . . . 6  |-  ( ( g : B --> ( Base `  R )  /\  F : A --> B )  -> 
( g  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
g  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) )
20 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
217, 11, 20pwselbasb 14548 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( g  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( g  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
221, 6, 21syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( g  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( g  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
2322adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
( g  o.  F
)  e.  ( Base `  Y )  <->  ( g  o.  F ) : A --> ( Base `  R )
) )
2419, 23mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  g  e.  C )  ->  (
g  o.  F )  e.  ( Base `  Y
) )
25 eqid 2454 . . . 4  |-  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) )  =  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) )
2624, 25fmptd 5979 . . 3  |-  ( ph  ->  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) : C --> ( Base `  Y )
)
276adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  A  e.  V )
28 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( x `
 ( F `  z ) )  e. 
_V
2928a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
x `  ( F `  z ) )  e. 
_V )
30 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( y `
 ( F `  z ) )  e. 
_V
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  z  e.  A )  ->  (
y `  ( F `  z ) )  e. 
_V )
3216adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  F : A --> B )
3332ffvelrnda 5955 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  B )
3432feqmptd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  F  =  ( z  e.  A  |->  ( F `
 z ) ) )
351adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  R  e.  Mnd )
362adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  B  e.  W )
37 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  x  e.  C )
383, 11, 12, 35, 36, 37pwselbas 14549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  x : B --> ( Base `  R ) )
3938feqmptd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  x  =  ( w  e.  B  |->  ( x `
 w ) ) )
40 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
x `  w )  =  ( x `  ( F `  z ) ) )
4133, 34, 39, 40fmptco 5988 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o.  F
)  =  ( z  e.  A  |->  ( x `
 ( F `  z ) ) ) )
42 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  e.  C )
433, 11, 12, 35, 36, 42pwselbas 14549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
y : B --> ( Base `  R ) )
4443feqmptd 5856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
y  =  ( w  e.  B  |->  ( y `
 w ) ) )
45 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
y `  w )  =  ( y `  ( F `  z ) ) )
4633, 34, 44, 45fmptco 5988 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  o.  F
)  =  ( z  e.  A  |->  ( y `
 ( F `  z ) ) ) )
4727, 29, 31, 41, 46offval2 6449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x  o.  F )  oF ( +g  `  R
) ( y  o.  F ) )  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x `  ( F `  z ) ) ( +g  `  R
) ( y `  ( F `  z ) ) ) ) )
48 fco 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x : B --> ( Base `  R )  /\  F : A --> B )  -> 
( x  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
4938, 32, 48syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
507, 11, 20pwselbasb 14548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( x  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( x  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
5135, 27, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( x  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
5249, 51mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o.  F
)  e.  ( Base `  Y ) )
53 fco 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y : B --> ( Base `  R )  /\  F : A --> B )  -> 
( y  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
5443, 32, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
557, 11, 20pwselbasb 14548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( ( y  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( y  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
5635, 27, 55syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( y  o.  F )  e.  (
Base `  Y )  <->  ( y  o.  F ) : A --> ( Base `  R ) ) )
5754, 56mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  o.  F
)  e.  ( Base `  Y ) )
58 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
59 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
607, 20, 35, 27, 52, 57, 58, 59pwsplusgval 14550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x  o.  F ) ( +g  `  Y ) ( y  o.  F ) )  =  ( ( x  o.  F )  oF ( +g  `  R
) ( y  o.  F ) ) )
61 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
623, 12, 35, 36, 37, 42, 58, 61pwsplusgval 14550 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  Z ) y )  =  ( x  oF ( +g  `  R
) y ) )
63 fvex 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 w )  e. 
_V
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
x `  w )  e.  _V )
65 fvex 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 w )  e. 
_V
6665a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  C  /\  y  e.  C )
)  /\  w  e.  B )  ->  (
y `  w )  e.  _V )
6736, 64, 66, 39, 44offval2 6449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  oF ( +g  `  R
) y )  =  ( w  e.  B  |->  ( ( x `  w ) ( +g  `  R ) ( y `
 w ) ) ) )
6862, 67eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  Z ) y )  =  ( w  e.  B  |->  ( ( x `
 w ) ( +g  `  R ) ( y `  w
) ) ) )
6940, 45oveq12d 6221 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  z )  ->  (
( x `  w
) ( +g  `  R
) ( y `  w ) )  =  ( ( x `  ( F `  z ) ) ( +g  `  R
) ( y `  ( F `  z ) ) ) )
7033, 34, 68, 69fmptco 5988 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F
)  =  ( z  e.  A  |->  ( ( x `  ( F `
 z ) ) ( +g  `  R
) ( y `  ( F `  z ) ) ) ) )
7147, 60, 703eqtr4rd 2506 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F
)  =  ( ( x  o.  F ) ( +g  `  Y
) ( y  o.  F ) ) )
7212, 61mndcl 15542 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  Mnd  /\  x  e.  C  /\  y  e.  C )  ->  ( x ( +g  `  Z ) y )  e.  C )
73723expb 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  Mnd  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C
) )  ->  (
x ( +g  `  Z
) y )  e.  C )
745, 73sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x ( +g  `  Z ) y )  e.  C )
75 ovex 6228 . . . . . . 7  |-  ( x ( +g  `  Z
) y )  e. 
_V
76 fex 6062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  _V )
7716, 6, 76syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
7877adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  ->  F  e.  _V )
79 coexg 6641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ( +g  `  Z ) y )  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  (
( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F )  e. 
_V )
8075, 78, 79sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F
)  e.  _V )
81 coeq1 5108 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( x ( +g  `  Z ) y )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( x ( +g  `  Z
) y )  o.  F ) )
8281, 25fvmptg 5884 . . . . . 6  |-  ( ( ( x ( +g  `  Z ) y )  e.  C  /\  (
( x ( +g  `  Z ) y )  o.  F )  e. 
_V )  ->  (
( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) `  (
x ( +g  `  Z
) y ) )  =  ( ( x ( +g  `  Z
) y )  o.  F ) )
8374, 80, 82syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z ) y ) )  =  ( ( x ( +g  `  Z
) y )  o.  F ) )
84 coexg 6641 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  C  /\  F  e.  _V )  ->  ( x  o.  F
)  e.  _V )
8537, 78, 84syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( x  o.  F
)  e.  _V )
86 coeq1 5108 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  x  ->  (
g  o.  F )  =  ( x  o.  F ) )
8786, 25fvmptg 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  C  /\  ( x  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  x )  =  ( x  o.  F ) )
8837, 85, 87syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  x )  =  ( x  o.  F ) )
89 coexg 6641 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  C  /\  F  e.  _V )  ->  ( y  o.  F
)  e.  _V )
9042, 78, 89syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( y  o.  F
)  e.  _V )
91 coeq1 5108 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  y  ->  (
g  o.  F )  =  ( y  o.  F ) )
9291, 25fvmptg 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  C  /\  ( y  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  y )  =  ( y  o.  F ) )
9342, 90, 92syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  y )  =  ( y  o.  F ) )
9488, 93oveq12d 6221 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 x ) ( +g  `  Y ) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  y ) )  =  ( ( x  o.  F ) ( +g  `  Y ) ( y  o.  F ) ) )
9571, 83, 943eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  C  /\  y  e.  C ) )  -> 
( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) `  x
) ( +g  `  Y
) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 y ) ) )
9695ralrimivva 2914 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) `  x
) ( +g  `  Y
) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 y ) ) )
97 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  Z )  =  ( 0g `  Z
)
9812, 97mndidcl 15561 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  Mnd  ->  ( 0g `  Z )  e.  C )
995, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Z
)  e.  C )
100 coexg 6641 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  Z
)  e.  C  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  e.  _V )
10199, 77, 100syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  e.  _V )
102 coeq1 5108 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( 0g `  Z )  ->  (
g  o.  F )  =  ( ( 0g
`  Z )  o.  F ) )
103102, 25fvmptg 5884 . . . . 5  |-  ( ( ( 0g `  Z
)  e.  C  /\  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  e.  _V )  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( 0g `  Z ) )  =  ( ( 0g `  Z )  o.  F ) )
10499, 101, 103syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( 0g `  Z ) )  =  ( ( 0g `  Z )  o.  F ) )
1053, 11, 12, 1, 2, 99pwselbas 14549 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0g `  Z
) : B --> ( Base `  R ) )
106 fco 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  Z
) : B --> ( Base `  R )  /\  F : A --> B )  -> 
( ( 0g `  Z )  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
107105, 16, 106syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
) : A --> ( Base `  R ) )
108 ffn 5670 . . . . . 6  |-  ( ( ( 0g `  Z
)  o.  F ) : A --> ( Base `  R )  ->  (
( 0g `  Z
)  o.  F )  Fn  A )
109107, 108syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  Fn  A )
110 fvex 5812 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
111110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  e.  _V )
112 fnconstg 5709 . . . . . 6  |-  ( ( 0g `  R )  e.  _V  ->  ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } )  Fn  A )
113111, 112syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  Fn  A )
114 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
1153, 114pws0g 15579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  B  e.  W )  ->  ( B  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Z
) )
1161, 2, 115syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Z
) )
117116fveq1d 5804 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  X.  { ( 0g `  R ) } ) `
 ( F `  x ) )  =  ( ( 0g `  Z ) `  ( F `  x )
) )
118117adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  ( F `  x ) )  =  ( ( 0g `  Z ) `
 ( F `  x ) ) )
11916ffvelrnda 5955 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  B )
120 fvconst2g 6043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0g `  R
)  e.  _V  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( ( B  X.  { ( 0g `  R ) } ) `
 ( F `  x ) )  =  ( 0g `  R
) )
121110, 119, 120sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  ( F `  x ) )  =  ( 0g
`  R ) )
122118, 121eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( 0g `  Z
) `  ( F `  x ) )  =  ( 0g `  R
) )
123 fvco3 5880 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( ( 0g
`  Z )  o.  F ) `  x
)  =  ( ( 0g `  Z ) `
 ( F `  x ) ) )
12416, 123sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( 0g `  Z )  o.  F
) `  x )  =  ( ( 0g
`  Z ) `  ( F `  x ) ) )
125 fvconst2g 6043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  R
)  e.  _V  /\  x  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ( 0g `  R ) } ) `
 x )  =  ( 0g `  R
) )
126111, 125sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( A  X.  {
( 0g `  R
) } ) `  x )  =  ( 0g `  R ) )
127122, 124, 1263eqtr4d 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( 0g `  Z )  o.  F
) `  x )  =  ( ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } ) `  x ) )
128109, 113, 127eqfnfvd 5912 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 0g `  Z )  o.  F
)  =  ( A  X.  { ( 0g
`  R ) } ) )
1297, 114pws0g 15579 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  A  e.  V )  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Y
) )
1301, 6, 129syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( 0g `  R
) } )  =  ( 0g `  Y
) )
131104, 128, 1303eqtrd 2499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( 0g `  Z ) )  =  ( 0g
`  Y ) )
13226, 96, 1313jca 1168 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) : C --> ( Base `  Y
)  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( (
g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z
) y ) )  =  ( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  x ) ( +g  `  Y
) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 y ) )  /\  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 ( 0g `  Z ) )  =  ( 0g `  Y
) ) )
133 eqid 2454 . . 3  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
13412, 20, 61, 59, 97, 133ismhm 15588 . 2  |-  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) )  e.  ( Z MndHom  Y )  <->  ( ( Z  e.  Mnd  /\  Y  e.  Mnd )  /\  (
( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) : C --> ( Base `  Y )  /\  A. x  e.  C  A. y  e.  C  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `  ( x ( +g  `  Z ) y ) )  =  ( ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) ) `  x
) ( +g  `  Y
) ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 y ) )  /\  ( ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F ) ) `
 ( 0g `  Z ) )  =  ( 0g `  Y
) ) ) )
13510, 132, 134sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  ( g  e.  C  |->  ( g  o.  F
) )  e.  ( Z MndHom  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   {csn 3988    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949    o. ccom 4955    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500    ^s cpws 14507   Mndcmnd 15531   MndHom cmhm 15584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mnd 15537  df-mhm 15586
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  16952
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