MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Unicode version

Theorem pws1 17042
Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pws1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
pws1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 eqid 2460 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
31, 2pwsval 14730 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
43fveq2d 5861 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r `  Y )  =  ( 1r `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
5 eqid 2460 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
6 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
7 fvex 5867 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
9 fconst6g 5765 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  X.  { R }
) : I --> Ring )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  { R } ) : I -->
Ring )
115, 6, 8, 10prds1 17040 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( 1r `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
12 fn0g 15739 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  0g  Fn  _V )
14 fnmgp 16926 . . . . . . 7  |- mulGrp  Fn  _V
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  -> mulGrp  Fn  _V )
16 ssv 3517 . . . . . . 7  |-  ran mulGrp  C_  _V
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ran mulGrp  C_  _V )
18 fnco 5680 . . . . . 6  |-  ( ( 0g  Fn  _V  /\ mulGrp  Fn 
_V  /\  ran mulGrp  C_  _V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
20 df-ur 16937 . . . . . 6  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
2120fneq1i 5666 . . . . 5  |-  ( 1r  Fn  _V  <->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
2219, 21sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  1r  Fn  _V )
23 elex 3115 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  e.  _V )
25 fcoconst 6049 . . . 4  |-  ( ( 1r  Fn  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( 1r  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {
( 1r `  R
) } ) )
2622, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  { ( 1r `  R ) } ) )
27 pws1.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2827sneqi 4031 . . . 4  |-  {  .1.  }  =  { ( 1r
`  R ) }
2928xpeq2i 5013 . . 3  |-  ( I  X.  {  .1.  }
)  =  ( I  X.  { ( 1r
`  R ) } )
3026, 29syl6eqr 2519 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {  .1.  } ) )
314, 11, 303eqtr2rd 2508 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   {csn 4020    X. cxp 4990   ran crn 4993    o. ccom 4996    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275  Scalarcsca 14547   0gc0g 14684   X_scprds 14690    ^s cpws 14691  mulGrpcmgp 16924   1rcur 16936   Ringcrg 16979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-hom 14568  df-cco 14569  df-0g 14686  df-prds 14692  df-pws 14694  df-mnd 15721  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator