MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Unicode version

Theorem pws1 17585
Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pws1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
pws1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 eqid 2402 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
31, 2pwsval 15100 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
43fveq2d 5853 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r `  Y )  =  ( 1r `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
5 eqid 2402 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
6 simpr 459 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
7 fvex 5859 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
9 fconst6g 5757 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  X.  { R }
) : I --> Ring )
109adantr 463 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  { R } ) : I -->
Ring )
115, 6, 8, 10prds1 17583 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( 1r `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
12 fn0g 16213 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  0g  Fn  _V )
14 fnmgp 17463 . . . . . . 7  |- mulGrp  Fn  _V
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  -> mulGrp  Fn  _V )
16 ssv 3462 . . . . . . 7  |-  ran mulGrp  C_  _V
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ran mulGrp  C_  _V )
18 fnco 5670 . . . . . 6  |-  ( ( 0g  Fn  _V  /\ mulGrp  Fn 
_V  /\  ran mulGrp  C_  _V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
20 df-ur 17474 . . . . . 6  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
2120fneq1i 5656 . . . . 5  |-  ( 1r  Fn  _V  <->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
2219, 21sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  1r  Fn  _V )
23 elex 3068 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
2423adantr 463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  e.  _V )
25 fcoconst 6047 . . . 4  |-  ( ( 1r  Fn  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( 1r  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {
( 1r `  R
) } ) )
2622, 24, 25syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  { ( 1r `  R ) } ) )
27 pws1.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2827sneqi 3983 . . . 4  |-  {  .1.  }  =  { ( 1r
`  R ) }
2928xpeq2i 4844 . . 3  |-  ( I  X.  {  .1.  }
)  =  ( I  X.  { ( 1r
`  R ) } )
3026, 29syl6eqr 2461 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {  .1.  } ) )
314, 11, 303eqtr2rd 2450 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   {csn 3972    X. cxp 4821   ran crn 4824    o. ccom 4827    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278  Scalarcsca 14912   0gc0g 15054   X_scprds 15060    ^s cpws 15061  mulGrpcmgp 17461   1rcur 17473   Ringcrg 17518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-prds 15062  df-pws 15064  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator