MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Unicode version

Theorem pws1 16730
Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pws1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
Assertion
Ref Expression
pws1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
31, 2pwsval 14445 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
43fveq2d 5716 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r `  Y )  =  ( 1r `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
5 eqid 2443 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
6 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
7 fvex 5722 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
87a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
9 fconst6g 5620 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( I  X.  { R }
) : I --> Ring )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  { R } ) : I -->
Ring )
115, 6, 8, 10prds1 16728 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( 1r `  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
12 fn0g 15454 . . . . . . 7  |-  0g  Fn  _V
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  0g  Fn  _V )
14 fnmgp 16615 . . . . . . 7  |- mulGrp  Fn  _V
1514a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  -> mulGrp  Fn  _V )
16 ssv 3397 . . . . . . 7  |-  ran mulGrp  C_  _V
1716a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ran mulGrp  C_  _V )
18 fnco 5540 . . . . . 6  |-  ( ( 0g  Fn  _V  /\ mulGrp  Fn 
_V  /\  ran mulGrp  C_  _V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
1913, 15, 17, 18syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
20 df-ur 16626 . . . . . 6  |-  1r  =  ( 0g  o. mulGrp )
2120fneq1i 5526 . . . . 5  |-  ( 1r  Fn  _V  <->  ( 0g  o. mulGrp )  Fn  _V )
2219, 21sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  1r  Fn  _V )
23 elex 3002 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
_V )
2423adantr 465 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  R  e.  _V )
25 fcoconst 5901 . . . 4  |-  ( ( 1r  Fn  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( 1r  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {
( 1r `  R
) } ) )
2622, 24, 25syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  { ( 1r `  R ) } ) )
27 pws1.o . . . . 5  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
2827sneqi 3909 . . . 4  |-  {  .1.  }  =  { ( 1r
`  R ) }
2928xpeq2i 4882 . . 3  |-  ( I  X.  {  .1.  }
)  =  ( I  X.  { ( 1r
`  R ) } )
3026, 29syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  ( 1r  o.  ( I  X.  { R } ) )  =  ( I  X.  {  .1.  } ) )
314, 11, 303eqtr2rd 2482 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  I  e.  V )  ->  (
I  X.  {  .1.  } )  =  ( 1r
`  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    C_ wss 3349   {csn 3898    X. cxp 4859   ran crn 4862    o. ccom 4865    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112  Scalarcsca 14262   0gc0g 14399   X_scprds 14405    ^s cpws 14406  mulGrpcmgp 16613   1rcur 16625   Ringcrg 16667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-hom 14283  df-cco 14284  df-0g 14401  df-prds 14407  df-pws 14409  df-mnd 15436  df-mgp 16614  df-ur 16626  df-rng 16669
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator