MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws0g Structured version   Unicode version

Theorem pws0g 15472
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmnd.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pws0g.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
pws0g  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  Y ) )

Proof of Theorem pws0g
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
3 fvex 5716 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
5 fconst6g 5614 . . . 4  |-  ( R  e.  Mnd  ->  (
I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
71, 2, 4, 6prds0g 15470 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( 0g `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
8 elex 2996 . . . . 5  |-  ( R  e.  Mnd  ->  R  e.  _V )
98ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  x  e.  I
)  ->  R  e.  _V )
10 fconstmpt 4897 . . . . 5  |-  ( I  X.  { R }
)  =  ( x  e.  I  |->  R )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  { R } )  =  ( x  e.  I  |->  R ) )
12 fn0g 15448 . . . . . 6  |-  0g  Fn  _V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  0g  Fn  _V )
14 dffn5 5752 . . . . 5  |-  ( 0g  Fn  _V  <->  0g  =  ( r  e.  _V  |->  ( 0g `  r ) ) )
1513, 14sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  0g  =  ( r  e.  _V  |->  ( 0g
`  r ) ) )
16 fveq2 5706 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
17 pws0g.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
1816, 17syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  .0.  )
199, 11, 15, 18fmptco 5891 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
20 fconstmpt 4897 . . 3  |-  ( I  X.  {  .0.  }
)  =  ( x  e.  I  |->  .0.  )
2119, 20syl6reqr 2494 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g  o.  ( I  X.  { R }
) ) )
22 pwsmnd.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
23 eqid 2443 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
2422, 23pwsval 14439 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
2524fveq2d 5710 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g `  Y
)  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
267, 21, 253eqtr4d 2485 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2987   {csn 3892    e. cmpt 4365    X. cxp 4853    o. ccom 4859    Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106  Scalarcsca 14256   0gc0g 14393   X_scprds 14399    ^s cpws 14400   Mndcmnd 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-fz 11453  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-hom 14277  df-cco 14278  df-0g 14395  df-prds 14401  df-pws 14403  df-mnd 15430
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  15512  pwsco1mhm  15513  pwsco2mhm  15514  frlm0  18194  plypf1  21695  pwssplit4  29461  pwslnmlem2  29465
  Copyright terms: Public domain W3C validator