MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws0g Structured version   Unicode version

Theorem pws0g 15770
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmnd.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pws0g.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
pws0g  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  Y ) )

Proof of Theorem pws0g
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 simpr 461 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
3 fvex 5874 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
5 fconst6g 5772 . . . 4  |-  ( R  e.  Mnd  ->  (
I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
71, 2, 4, 6prds0g 15768 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( 0g `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
8 elex 3122 . . . . 5  |-  ( R  e.  Mnd  ->  R  e.  _V )
98ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  x  e.  I
)  ->  R  e.  _V )
10 fconstmpt 5042 . . . . 5  |-  ( I  X.  { R }
)  =  ( x  e.  I  |->  R )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  { R } )  =  ( x  e.  I  |->  R ) )
12 fn0g 15746 . . . . . 6  |-  0g  Fn  _V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  0g  Fn  _V )
14 dffn5 5911 . . . . 5  |-  ( 0g  Fn  _V  <->  0g  =  ( r  e.  _V  |->  ( 0g `  r ) ) )
1513, 14sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  0g  =  ( r  e.  _V  |->  ( 0g
`  r ) ) )
16 fveq2 5864 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
17 pws0g.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
1816, 17syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  .0.  )
199, 11, 15, 18fmptco 6052 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
20 fconstmpt 5042 . . 3  |-  ( I  X.  {  .0.  }
)  =  ( x  e.  I  |->  .0.  )
2119, 20syl6reqr 2527 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g  o.  ( I  X.  { R }
) ) )
22 pwsmnd.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
23 eqid 2467 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
2422, 23pwsval 14737 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
2524fveq2d 5868 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g `  Y
)  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
267, 21, 253eqtr4d 2518 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   {csn 4027    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282  Scalarcsca 14554   0gc0g 14691   X_scprds 14697    ^s cpws 14698   Mndcmnd 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-hom 14575  df-cco 14576  df-0g 14693  df-prds 14699  df-pws 14701  df-mnd 15728
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  15810  pwsco1mhm  15811  pwsco2mhm  15812  frlm0  18552  plypf1  22344  pwssplit4  30639  pwslnmlem2  30643
  Copyright terms: Public domain W3C validator