MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws0g Structured version   Unicode version

Theorem pws0g 15453
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmnd.y  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
pws0g.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
pws0g  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  Y ) )

Proof of Theorem pws0g
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) )  =  ( (Scalar `  R
) X_s ( I  X.  { R } ) )
2 simpr 458 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  I  e.  V )
3 fvex 5698 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  (Scalar `  R )  e.  _V )
5 fconst6g 5596 . . . 4  |-  ( R  e.  Mnd  ->  (
I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
65adantr 462 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  { R } ) : I --> Mnd )
71, 2, 4, 6prds0g 15451 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( 0g `  (
(Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
8 elex 2979 . . . . 5  |-  ( R  e.  Mnd  ->  R  e.  _V )
98ad2antrr 720 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  /\  x  e.  I
)  ->  R  e.  _V )
10 fconstmpt 4878 . . . . 5  |-  ( I  X.  { R }
)  =  ( x  e.  I  |->  R )
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  { R } )  =  ( x  e.  I  |->  R ) )
12 fn0g 15429 . . . . . 6  |-  0g  Fn  _V
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  0g  Fn  _V )
14 dffn5 5734 . . . . 5  |-  ( 0g  Fn  _V  <->  0g  =  ( r  e.  _V  |->  ( 0g `  r ) ) )
1513, 14sylib 196 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  0g  =  ( r  e.  _V  |->  ( 0g
`  r ) ) )
16 fveq2 5688 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  ( 0g `  R
) )
17 pws0g.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
1816, 17syl6eqr 2491 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  ( 0g `  r )  =  .0.  )
199, 11, 15, 18fmptco 5873 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g  o.  (
I  X.  { R } ) )  =  ( x  e.  I  |->  .0.  ) )
20 fconstmpt 4878 . . 3  |-  ( I  X.  {  .0.  }
)  =  ( x  e.  I  |->  .0.  )
2119, 20syl6reqr 2492 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g  o.  ( I  X.  { R }
) ) )
22 pwsmnd.y . . . 4  |-  Y  =  ( R  ^s  I )
23 eqid 2441 . . . 4  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
2422, 23pwsval 14420 . . 3  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  Y  =  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) )
2524fveq2d 5692 . 2  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( 0g `  Y
)  =  ( 0g
`  ( (Scalar `  R ) X_s ( I  X.  { R } ) ) ) )
267, 21, 253eqtr4d 2483 1  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  {  .0.  } )  =  ( 0g `  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   {csn 3874    e. cmpt 4347    X. cxp 4834    o. ccom 4840    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090  Scalarcsca 14237   0gc0g 14374   X_scprds 14380    ^s cpws 14381   Mndcmnd 15405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-hom 14258  df-cco 14259  df-0g 14376  df-prds 14382  df-pws 14384  df-mnd 15411
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  15492  pwsco1mhm  15493  pwsco2mhm  15494  frlm0  18138  plypf1  21639  pwssplit4  29367  pwslnmlem2  29371
  Copyright terms: Public domain W3C validator