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Theorem pwfseqlem5 8940
Description: Lemma for pwfseq 8941. Although in some ways pwfseqlem4 8939 is the "main" part of the proof, one last aspect which makes up a remark in the original text is by far the hardest part to formalize. The main proof relies on the existence of an injection  K from the set of finite sequences on an infinite set 
x to  x. Now this alone would not be difficult to prove; this is mostly the claim of fseqen 8307. However, what is needed for the proof is a canonical injection on these sets, so we have to start from scratch pulling together explicit bijections from the lemmas.

If one attempts such a program, it will mostly go through, but there is one key step which is inherently nonconstructive, namely the proof of infxpen 8291. The resolution is not obvious, but it turns out that reversing an infinite ordinal's Cantor normal form absorbs all the non-leading terms (cnfcom3c 8049), which can be used to construct a pairing function explicitly using properties of the ordinal exponential (infxpenc 8294). (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem5.g  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
pwfseqlem5.x  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
pwfseqlem5.h  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem5.ps  |-  ( ps  <->  ( ( t  C_  A  /\  r  C_  ( t  X.  t )  /\  r  We  t )  /\  om  ~<_  t ) )
pwfseqlem5.n  |-  ( ph  ->  A. b  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( N `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
pwfseqlem5.o  |-  O  = OrdIso
( r ,  t )
pwfseqlem5.t  |-  T  =  ( u  e.  dom  O ,  v  e.  dom  O 
|->  <. ( O `  u ) ,  ( O `  v )
>. )
pwfseqlem5.p  |-  P  =  ( ( O  o.  ( N `  dom  O
) )  o.  `' T )
pwfseqlem5.s  |-  S  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  (
t  ^m  suc  k ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  k ) ) P ( x `
 k ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  ( O `  (/) ) >. } )
pwfseqlem5.q  |-  Q  =  ( y  e.  U_ n  e.  om  (
t  ^m  n )  |-> 
<. dom  y ,  ( ( S `  dom  y ) `  y
) >. )
pwfseqlem5.i  |-  I  =  ( x  e.  om ,  y  e.  t  |-> 
<. ( O `  x
) ,  y >.
)
pwfseqlem5.k  |-  K  =  ( ( P  o.  I )  o.  Q
)
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem5  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    n, b, G    r, b, t, H   
f, k, x, P   
f, b, k, u, v, x, y, n, r, t    ph, b,
k, n, r, t, x, y    K, b, n    N, b    ps, k, n, x, y    S, n, y    A, b, n, r, t    O, b, u, v, x, y
Allowed substitution hints:    ph( v, u, f)    ps( v, u, t, f, r, b)    A( x, y, v, u, f, k)    P( y, v, u, t, n, r, b)    Q( x, y, v, u, t, f, k, n, r, b)    S( x, v, u, t, f, k, r, b)    T( x, y, v, u, t, f, k, n, r, b)    G( x, y, v, u, t, f, k, r)    H( x, y, v, u, f, k, n)    I( x, y, v, u, t, f, k, n, r, b)    K( x, y, v, u, t, f, k, r)    N( x, y, v, u, t, f, k, n, r)    O( t, f, k, n, r)    X( x, y, v, u, t, f, k, n, r, b)

Proof of Theorem pwfseqlem5
Dummy variables  a 
c  d  i  j  m  s  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseqlem5.g . 2  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
2 pwfseqlem5.x . 2  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
3 pwfseqlem5.h . 2  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
4 pwfseqlem5.ps . 2  |-  ( ps  <->  ( ( t  C_  A  /\  r  C_  ( t  X.  t )  /\  r  We  t )  /\  om  ~<_  t ) )
5 vex 3079 . . . . . . . . . . 11  |-  t  e. 
_V
6 simprl3 1035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  C_  A  /\  r  C_  ( t  X.  t )  /\  r  We  t )  /\  om  ~<_  t ) )  -> 
r  We  t )
74, 6sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  r  We  t )
8 pwfseqlem5.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  = OrdIso
( r ,  t )
98oiiso 7861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( t  e.  _V  /\  r  We  t )  ->  O  Isom  _E  ,  r  ( dom  O , 
t ) )
105, 7, 9sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  O  Isom  _E  ,  r  ( dom  O , 
t ) )
11 isof1o 6124 . . . . . . . . . 10  |-  ( O 
Isom  _E  ,  r 
( dom  O , 
t )  ->  O : dom  O -1-1-onto-> t )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  O : dom  O -1-1-onto-> t
)
138oion 7860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  _V  ->  dom  O  e.  On )
145, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  O  e.  On
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  O  e.  On )
168oien 7862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  e.  _V  /\  r  We  t )  ->  dom  O  ~~  t
)
175, 7, 16sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  O  ~~  t
)
181adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
19 omex 7959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  om  e.  _V
20 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  ^m  n )  e. 
_V
2119, 20iunex 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e.  _V
22 f1dmex 6656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  e. 
_V )  ->  ~P A  e.  _V )
2318, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ~P A  e.  _V )
24 pwexb 6496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  _V  <->  ~P A  e.  _V )
2523, 24sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  e.  _V )
26 simprl1 1033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  C_  A  /\  r  C_  ( t  X.  t )  /\  r  We  t )  /\  om  ~<_  t ) )  -> 
t  C_  A )
274, 26sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  t  C_  A )
28 ssdomg 7464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  (
t  C_  A  ->  t  ~<_  A ) )
2925, 27, 28sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  t  ~<_  A )
30 canth2g 7574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  A  ~<  ~P A )
31 sdomdom 7446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A 
~<  ~P A  ->  A  ~<_  ~P A )
3225, 30, 313syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A  ~<_  ~P A )
33 domtr 7471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  ~<_  A  /\  A  ~<_  ~P A )  ->  t  ~<_  ~P A )
3429, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  t  ~<_  ~P A )
35 endomtr 7476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  O  ~~  t  /\  t  ~<_  ~P A
)  ->  dom  O  ~<_  ~P A )
3617, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  O  ~<_  ~P A
)
37 elharval 7888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom 
O  e.  (har `  ~P A )  <->  ( dom  O  e.  On  /\  dom  O  ~<_  ~P A ) )
3815, 36, 37sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  O  e.  (har
`  ~P A ) )
39 pwfseqlem5.n . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. b  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( N `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  A. b  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( N `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
41 cardom 8266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  om )  =  om
42 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
t  C_  A  /\  r  C_  ( t  X.  t )  /\  r  We  t )  /\  om  ~<_  t ) )  ->  om 
~<_  t )
434, 42sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  om  ~<_  t )
4417ensymd 7469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  t  ~~  dom  O
)
45 domentr 7477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( om  ~<_  t  /\  t  ~~  dom  O )  ->  om 
~<_  dom  O )
4643, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  om  ~<_  dom  O )
47 omelon 7962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  om  e.  On
48 onenon 8229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  dom  card
50 onenon 8229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( dom 
O  e.  On  ->  dom 
O  e.  dom  card )
5114, 50mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  dom  O  e.  dom  card )
52 carddom2 8257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( om  e.  dom  card  /\ 
dom  O  e.  dom  card )  ->  ( ( card `  om )  C_  ( card `  dom  O )  <->  om 
~<_  dom  O ) )
5349, 51, 52sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( card `  om )  C_  ( card `  dom  O )  <->  om  ~<_  dom  O )
)
5446, 53mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( card `  om )  C_  ( card `  dom  O ) )
5541, 54syl5eqssr 3508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  om  C_  ( card ` 
dom  O ) )
56 cardonle 8237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
O  e.  On  ->  (
card `  dom  O ) 
C_  dom  O )
5715, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( card `  dom  O )  C_  dom  O )
5855, 57sstrd 3473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  om  C_  dom  O )
59 sseq2 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  dom  O  -> 
( om  C_  b  <->  om  C_  dom  O ) )
60 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  dom  O  -> 
( N `  b
)  =  ( N `
 dom  O )
)
61 f1oeq1 5739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N `  b )  =  ( N `  dom  O )  ->  (
( N `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( N `  dom  O ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  dom  O  -> 
( ( N `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( N `  dom  O ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
63 xpeq12 4966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  =  dom  O  /\  b  =  dom  O )  ->  ( b  X.  b )  =  ( dom  O  X.  dom  O ) )
6463anidms 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  dom  O  -> 
( b  X.  b
)  =  ( dom 
O  X.  dom  O
) )
65 f1oeq2 5740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  X.  b )  =  ( dom  O  X.  dom  O )  -> 
( ( N `  dom  O ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( N `  dom  O ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> b ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  dom  O  -> 
( ( N `  dom  O ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( N `  dom  O ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> b ) )
67 f1oeq3 5741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  dom  O  -> 
( ( N `  dom  O ) : ( dom  O  X.  dom  O ) -1-1-onto-> b  <->  ( N `  dom  O ) : ( dom  O  X.  dom  O ) -1-1-onto-> dom  O ) )
6862, 66, 673bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  dom  O  -> 
( ( N `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <-> 
( N `  dom  O ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> dom  O ) )
6959, 68imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  dom  O  -> 
( ( om  C_  b  ->  ( N `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <-> 
( om  C_  dom  O  ->  ( N `  dom  O ) : ( dom  O  X.  dom  O ) -1-1-onto-> dom  O ) ) )
7069rspcv 3173 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
O  e.  (har `  ~P A )  ->  ( A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( N `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  ( om  C_  dom  O  -> 
( N `  dom  O ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> dom  O ) ) )
7138, 40, 58, 70syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( N `  dom  O ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> dom  O )
72 f1oco 5770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( O : dom  O -1-1-onto-> t  /\  ( N `  dom  O ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> dom  O )  ->  ( O  o.  ( N `  dom  O ) ) : ( dom  O  X.  dom  O ) -1-1-onto-> t )
7312, 71, 72syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O  o.  ( N `  dom  O ) ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> t )
74 f1of 5748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> t  ->  O : dom  O --> t )
7512, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  O : dom  O --> t )
7675feqmptd 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  O  =  ( u  e.  dom  O  |->  ( O `  u ) ) )
77 f1oeq1 5739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( O  =  ( u  e. 
dom  O  |->  ( O `
 u ) )  ->  ( O : dom  O -1-1-onto-> t  <->  ( u  e. 
dom  O  |->  ( O `
 u ) ) : dom  O -1-1-onto-> t ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O : dom  O -1-1-onto-> t  <-> 
( u  e.  dom  O 
|->  ( O `  u
) ) : dom  O -1-1-onto-> t ) )
7912, 78mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( u  e.  dom  O 
|->  ( O `  u
) ) : dom  O -1-1-onto-> t )
8075feqmptd 5852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  O  =  ( v  e.  dom  O  |->  ( O `  v ) ) )
81 f1oeq1 5739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( O  =  ( v  e. 
dom  O  |->  ( O `
 v ) )  ->  ( O : dom  O -1-1-onto-> t  <->  ( v  e. 
dom  O  |->  ( O `
 v ) ) : dom  O -1-1-onto-> t ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O : dom  O -1-1-onto-> t  <-> 
( v  e.  dom  O 
|->  ( O `  v
) ) : dom  O -1-1-onto-> t ) )
8312, 82mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( v  e.  dom  O 
|->  ( O `  v
) ) : dom  O -1-1-onto-> t )
8479, 83xpf1o 7582 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( u  e.  dom  O ,  v  e.  dom  O 
|->  <. ( O `  u ) ,  ( O `  v )
>. ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> ( t  X.  t
) )
85 pwfseqlem5.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( u  e.  dom  O ,  v  e.  dom  O 
|->  <. ( O `  u ) ,  ( O `  v )
>. )
86 f1oeq1 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =  ( u  e. 
dom  O ,  v  e.  dom  O  |->  <.
( O `  u
) ,  ( O `
 v ) >.
)  ->  ( T : ( dom  O  X.  dom  O ) -1-1-onto-> ( t  X.  t )  <->  ( u  e.  dom  O ,  v  e.  dom  O  |->  <.
( O `  u
) ,  ( O `
 v ) >.
) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> ( t  X.  t
) ) )
8785, 86ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( T : ( dom  O  X.  dom  O ) -1-1-onto-> ( t  X.  t )  <->  ( u  e.  dom  O ,  v  e.  dom  O  |->  <.
( O `  u
) ,  ( O `
 v ) >.
) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> ( t  X.  t
) )
8884, 87sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  T : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> ( t  X.  t
) )
89 f1ocnv 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( T : ( dom  O  X.  dom  O ) -1-1-onto-> ( t  X.  t )  ->  `' T : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> ( dom 
O  X.  dom  O
) )
9088, 89syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  `' T : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> ( dom 
O  X.  dom  O
) )
91 f1oco 5770 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( O  o.  ( N `  dom  O ) ) : ( dom 
O  X.  dom  O
)
-1-1-onto-> t  /\  `' T :
( t  X.  t
)
-1-1-onto-> ( dom  O  X.  dom  O ) )  ->  (
( O  o.  ( N `  dom  O ) )  o.  `' T
) : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> t )
9273, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( O  o.  ( N `  dom  O
) )  o.  `' T ) : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> t )
93 pwfseqlem5.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( ( O  o.  ( N `  dom  O
) )  o.  `' T )
94 f1oeq1 5739 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  ( ( O  o.  ( N `  dom  O ) )  o.  `' T )  ->  ( P : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> t  <->  ( ( O  o.  ( N `  dom  O ) )  o.  `' T ) : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> t ) )
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( P : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> t  <->  ( ( O  o.  ( N `  dom  O ) )  o.  `' T ) : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> t )
9692, 95sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  P : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> t )
97 f1of1 5747 . . . . . 6  |-  ( P : ( t  X.  t ) -1-1-onto-> t  ->  P :
( t  X.  t
) -1-1-> t )
9896, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  P : ( t  X.  t ) -1-1-> t )
99 f1of1 5747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( O : dom  O -1-1-onto-> t  ->  O : dom  O -1-1-> t )
10012, 99syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  O : dom  O -1-1-> t )
101 f1ssres 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( O : dom  O -1-1-> t  /\  om  C_  dom  O )  ->  ( O  |` 
om ) : om -1-1-> t )
102100, 58, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O  |`  om ) : om -1-1-> t )
103 f1f1orn 5759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O  |`  om ) : om -1-1-> t  ->  ( O  |`  om ) : om -1-1-onto-> ran  ( O  |`  om ) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O  |`  om ) : om -1-1-onto-> ran  ( O  |`  om ) )
10575, 58feqresmpt 5853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O  |`  om )  =  ( x  e. 
om  |->  ( O `  x ) ) )
106 f1oeq1 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( O  |`  om )  =  ( x  e. 
om  |->  ( O `  x ) )  -> 
( ( O  |`  om ) : om -1-1-onto-> ran  ( O  |`  om )  <->  ( x  e. 
om  |->  ( O `  x ) ) : om -1-1-onto-> ran  ( O  |`  om ) ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( O  |`  om ) : om -1-1-onto-> ran  ( O  |`  om )  <->  ( x  e. 
om  |->  ( O `  x ) ) : om -1-1-onto-> ran  ( O  |`  om ) ) )
108104, 107mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x  e.  om  |->  ( O `  x ) ) : om -1-1-onto-> ran  ( O  |`  om ) )
109 mptresid 5267 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  t  |->  y )  =  (  _I  |`  t
)
110 f1oi 5783 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _I  |`  t ) : t -1-1-onto-> t
111 f1oeq1 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  t  |->  y )  =  (  _I  |`  t )  ->  (
( y  e.  t 
|->  y ) : t -1-1-onto-> t  <-> 
(  _I  |`  t
) : t -1-1-onto-> t ) )
112110, 111mpbiri 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  t  |->  y )  =  (  _I  |`  t )  ->  (
y  e.  t  |->  y ) : t -1-1-onto-> t )
113109, 112mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( y  e.  t 
|->  y ) : t -1-1-onto-> t )
114108, 113xpf1o 7582 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x  e.  om ,  y  e.  t  |-> 
<. ( O `  x
) ,  y >.
) : ( om 
X.  t ) -1-1-onto-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t ) )
115 pwfseqlem5.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( x  e.  om ,  y  e.  t  |-> 
<. ( O `  x
) ,  y >.
)
116 f1oeq1 5739 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  ( x  e. 
om ,  y  e.  t  |->  <. ( O `  x ) ,  y
>. )  ->  ( I : ( om  X.  t ) -1-1-onto-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t
)  <->  ( x  e. 
om ,  y  e.  t  |->  <. ( O `  x ) ,  y
>. ) : ( om 
X.  t ) -1-1-onto-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t ) ) )
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( I : ( om  X.  t ) -1-1-onto-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t
)  <->  ( x  e. 
om ,  y  e.  t  |->  <. ( O `  x ) ,  y
>. ) : ( om 
X.  t ) -1-1-onto-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t ) )
118114, 117sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I : ( om 
X.  t ) -1-1-onto-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t ) )
119 f1of1 5747 . . . . . . 7  |-  ( I : ( om  X.  t ) -1-1-onto-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t
)  ->  I :
( om  X.  t
) -1-1-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t ) )
120118, 119syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I : ( om 
X.  t ) -1-1-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t
) )
121 f1f 5713 . . . . . . 7  |-  ( ( O  |`  om ) : om -1-1-> t  ->  ( O  |`  om ) : om --> t )
122 frn 5672 . . . . . . 7  |-  ( ( O  |`  om ) : om --> t  ->  ran  ( O  |`  om )  C_  t )
123 xpss1 5055 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( O  |`  om )  C_  t  ->  ( ran  ( O  |`  om )  X.  t )  C_  (
t  X.  t ) )
124102, 121, 122, 1234syl 21 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ran  ( O  |`  om )  X.  t
)  C_  ( t  X.  t ) )
125 f1ss 5718 . . . . . 6  |-  ( ( I : ( om 
X.  t ) -1-1-> ( ran  ( O  |`  om )  X.  t
)  /\  ( ran  ( O  |`  om )  X.  t )  C_  (
t  X.  t ) )  ->  I :
( om  X.  t
) -1-1-> ( t  X.  t ) )
126120, 124, 125syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  I : ( om 
X.  t ) -1-1-> ( t  X.  t ) )
127 f1co 5722 . . . . 5  |-  ( ( P : ( t  X.  t ) -1-1-> t  /\  I : ( om  X.  t )
-1-1-> ( t  X.  t
) )  ->  ( P  o.  I ) : ( om  X.  t ) -1-1-> t )
12898, 126, 127syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( P  o.  I
) : ( om 
X.  t ) -1-1-> t )
1295a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  t  e.  _V )
130 peano1 6604 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
131130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
(/)  e.  om )
13258, 131sseldd 3464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
(/)  e.  dom  O )
13375, 132ffvelrnd 5952 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( O `  (/) )  e.  t )
134 pwfseqlem5.s . . . . 5  |-  S  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( x  e.  (
t  ^m  suc  k ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  k ) ) P ( x `
 k ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  ( O `  (/) ) >. } )
135 pwfseqlem5.q . . . . 5  |-  Q  =  ( y  e.  U_ n  e.  om  (
t  ^m  n )  |-> 
<. dom  y ,  ( ( S `  dom  y ) `  y
) >. )
136129, 133, 96, 134, 135fseqenlem2 8305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  Q : U_ n  e.  om  ( t  ^m  n ) -1-1-> ( om 
X.  t ) )
137 f1co 5722 . . . 4  |-  ( ( ( P  o.  I
) : ( om 
X.  t ) -1-1-> t  /\  Q : U_ n  e.  om  (
t  ^m  n ) -1-1-> ( om  X.  t
) )  ->  (
( P  o.  I
)  o.  Q ) : U_ n  e. 
om  ( t  ^m  n ) -1-1-> t )
138128, 136, 137syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( P  o.  I )  o.  Q
) : U_ n  e.  om  ( t  ^m  n ) -1-1-> t )
139 pwfseqlem5.k . . . 4  |-  K  =  ( ( P  o.  I )  o.  Q
)
140 f1eq1 5708 . . . 4  |-  ( K  =  ( ( P  o.  I )  o.  Q )  ->  ( K : U_ n  e. 
om  ( t  ^m  n ) -1-1-> t  <->  ( ( P  o.  I )  o.  Q ) : U_ n  e.  om  (
t  ^m  n ) -1-1-> t ) )
141139, 140ax-mp 5 . . 3  |-  ( K : U_ n  e. 
om  ( t  ^m  n ) -1-1-> t  <->  ( ( P  o.  I )  o.  Q ) : U_ n  e.  om  (
t  ^m  n ) -1-1-> t )
142138, 141sylibr 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( t  ^m  n ) -1-1-> t )
143 eqid 2454 . 2  |-  ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } )  =  ( G `  { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } )
144 eqid 2454 . 2  |-  ( t  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( t  e.  Fin , 
( H `  ( card `  t ) ) ,  ( ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  (
( G `  {
i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 z )  e.  t } ) ) )  =  ( t  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( t  e.  Fin , 
( H `  ( card `  t ) ) ,  ( ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  (
( G `  {
i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 z )  e.  t } ) ) )
145 eqid 2454 . . 3  |-  { <. c ,  d >.  |  ( ( c  C_  A  /\  d  C_  ( c  X.  c ) )  /\  ( d  We  c  /\  A. m  e.  c  [. ( `' d " { m } )  /  j ]. ( j ( t  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( t  e.  Fin , 
( H `  ( card `  t ) ) ,  ( ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  (
( G `  {
i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 z )  e.  t } ) ) ) ( d  i^i  ( j  X.  j
) ) )  =  m ) ) }  =  { <. c ,  d >.  |  ( ( c  C_  A  /\  d  C_  ( c  X.  c ) )  /\  ( d  We  c  /\  A. m  e.  c  [. ( `' d " { m } )  /  j ]. ( j ( t  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( t  e.  Fin , 
( H `  ( card `  t ) ) ,  ( ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  (
( G `  {
i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 z )  e.  t } ) ) ) ( d  i^i  ( j  X.  j
) ) )  =  m ) ) }
146145fpwwe2cbv 8907 . 2  |-  { <. c ,  d >.  |  ( ( c  C_  A  /\  d  C_  ( c  X.  c ) )  /\  ( d  We  c  /\  A. m  e.  c  [. ( `' d " { m } )  /  j ]. ( j ( t  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( t  e.  Fin , 
( H `  ( card `  t ) ) ,  ( ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  (
( G `  {
i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 z )  e.  t } ) ) ) ( d  i^i  ( j  X.  j
) ) )  =  m ) ) }  =  { <. a ,  s >.  |  ( ( a  C_  A  /\  s  C_  ( a  X.  a ) )  /\  ( s  We  a  /\  A. b  e.  a  [. ( `' s " { b } )  /  w ]. ( w ( t  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( t  e.  Fin , 
( H `  ( card `  t ) ) ,  ( ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  (
( G `  {
i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 z )  e.  t } ) ) ) ( s  i^i  ( w  X.  w
) ) )  =  b ) ) }
147 eqid 2454 . 2  |-  U. dom  {
<. c ,  d >.  |  ( ( c 
C_  A  /\  d  C_  ( c  X.  c
) )  /\  (
d  We  c  /\  A. m  e.  c  [. ( `' d " {
m } )  / 
j ]. ( j ( t  e.  _V , 
r  e.  _V  |->  if ( t  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  t ) ) ,  ( ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  (
( G `  {
i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 z )  e.  t } ) ) ) ( d  i^i  ( j  X.  j
) ) )  =  m ) ) }  =  U. dom  { <. c ,  d >.  |  ( ( c 
C_  A  /\  d  C_  ( c  X.  c
) )  /\  (
d  We  c  /\  A. m  e.  c  [. ( `' d " {
m } )  / 
j ]. ( j ( t  e.  _V , 
r  e.  _V  |->  if ( t  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  t ) ) ,  ( ( G `
 { i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  (
( G `  {
i  e.  t  |  ( ( `' K `  i )  e.  ran  G  /\  -.  i  e.  ( `' G `  ( `' K `  i ) ) ) } ) `
 z )  e.  t } ) ) ) ( d  i^i  ( j  X.  j
) ) )  =  m ) ) }
1481, 2, 3, 4, 142, 143, 144, 146, 147pwfseqlem4 8939 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   {crab 2802   _Vcvv 3076   [.wsbc 3292    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744   ifcif 3898   ~Pcpw 3967   {csn 3984   <.cop 3990   U.cuni 4198   |^|cint 4235   U_ciun 4278   class class class wbr 4399   {copab 4456    |-> cmpt 4457    _E cep 4737    _I cid 4738    We wwe 4785   Oncon0 4826   suc csuc 4828    X. cxp 4945   `'ccnv 4946   dom cdm 4947   ran crn 4948    |` cres 4949   "cima 4950    o. ccom 4951   -->wf 5521   -1-1->wf1 5522   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525    Isom wiso 5526  (class class class)co 6199    |-> cmpt2 6201   omcom 6585  seq𝜔cseqom 7011    ^m cmap 7323    ~~ cen 7416    ~<_ cdom 7417    ~< csdm 7418   Fincfn 7419  OrdIsocoi 7833  harchar 7881   cardccrd 8215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-seqom 7012  df-1o 7029  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-oi 7834  df-har 7883  df-card 8219
This theorem is referenced by:  pwfseq  8941
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