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Theorem pwfseqlem3 8825
Description: Lemma for pwfseq 8829. Using the construction  D from pwfseqlem1 8823, produce a function  F that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
pwfseqlem4.x  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
pwfseqlem4.h  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem4.ps  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
pwfseqlem4.k  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
pwfseqlem4.d  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
pwfseqlem4.f  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  e.  ( A 
\  x ) )
Distinct variable groups:    n, r, w, x, z    D, n, z    w, G    w, K    H, r, x, z    ph, n, r, x, z    ps, n, z    A, n, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    ps( x, w, r)    A( w)    D( x, w, r)    F( x, z, w, n, r)    G( x, z, n, r)    H( w, n)    K( x, z, n, r)    X( x, z, w, n, r)

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2973 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 2973 . . . 4  |-  r  e. 
_V
3 fvex 5699 . . . . 5  |-  ( H `
 ( card `  x
) )  e.  _V
4 fvex 5699 . . . . 5  |-  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e. 
_V
53, 4ifex 3856 . . . 4  |-  if ( x  e.  Fin , 
( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  e. 
_V
6 pwfseqlem4.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) ) )
76ovmpt4g 6211 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  r  e.  _V  /\  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  e. 
_V )  ->  (
x F r )  =  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
) ) )
81, 2, 5, 7mp3an 1314 . . 3  |-  ( x F r )  =  if ( x  e. 
Fin ,  ( H `  ( card `  x
) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
109simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  om  ~<_  x )
1110adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  om  ~<_  x )
12 domnsym 7435 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  x  ->  -.  x  ~<  om )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  x  ~<  om )
14 isfinite 7856 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
1513, 14sylnibr 305 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  x  e.  Fin )
16 iffalse 3797 . . . 4  |-  ( -.  x  e.  Fin  ->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  =  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
) )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  if ( x  e. 
Fin ,  ( H `  ( card `  x
) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  =  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
188, 17syl5eq 2485 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  =  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
19 pwfseqlem4.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
20 pwfseqlem4.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
21 pwfseqlem4.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
22 pwfseqlem4.k . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
23 pwfseqlem4.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
2419, 20, 21, 9, 22, 23pwfseqlem1 8823 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
25 eldif 3336 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  <->  ( D  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
2624, 25sylib 196 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) ) )
2726simpld 459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
28 eliun 4173 . . . 4  |-  ( D  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  <->  E. n  e.  om  D  e.  ( A  ^m  n ) )
2927, 28sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. n  e.  om  D  e.  ( A  ^m  n ) )
30 elmapi 7232 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( A  ^m  n )  ->  D : n --> A )
3130ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  D : n --> A )
32 ssiun2 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
x  ^m  n )  C_ 
U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) )
3332ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( x  ^m  n
)  C_  U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) )
3426simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)
3534adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) )
3633, 35ssneldd 3357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  D  e.  (
x  ^m  n )
)
37 vex 2973 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
_V
381, 37elmap 7239 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( x  ^m  n )  <->  D :
n --> x )
39 ffn 5557 . . . . . . . . 9  |-  ( D : n --> A  ->  D  Fn  n )
40 ffnfv 5867 . . . . . . . . . 10  |-  ( D : n --> x  <->  ( D  Fn  n  /\  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
4140baib 896 . . . . . . . . 9  |-  ( D  Fn  n  ->  ( D : n --> x  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
4231, 39, 413syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D : n --> x  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
4338, 42syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D  e.  ( x  ^m  n )  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
4436, 43mtbid 300 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x )
45 nnon 6480 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  n  e.  On )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  e.  On )
47 ssrab2 3435 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  om
48 omsson 6478 . . . . . . . . . 10  |-  om  C_  On
4947, 48sstri 3363 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  On
50 ordom 6483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  om
51 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  e.  om )
52 ordelss 4733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  om  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
5350, 51, 52sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  C_  om )
54 rexnal 2724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  n  -.  ( D `  z )  e.  x  <->  -.  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
)
5544, 54sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  E. z  e.  n  -.  ( D `  z
)  e.  x )
56 ssrexv 3415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
C_  om  ->  ( E. z  e.  n  -.  ( D `  z )  e.  x  ->  E. z  e.  om  -.  ( D `
 z )  e.  x ) )
5753, 55, 56sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  E. z  e.  om  -.  ( D `  z
)  e.  x )
58 rabn0 3655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  om  -.  ( D `  z
)  e.  x )
5957, 58sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  =/=  (/) )
60 onint 6404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  On  /\  {
z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)
6149, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )
6249, 61sseldi 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  On )
63 ontri1 4751 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  On  /\  |^|
{ z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  On )  ->  ( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n ) )
6446, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n ) )
65 ssintrab 4149 . . . . . . . 8  |-  ( n 
C_  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  A. z  e.  om  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z ) )
66 nnon 6480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
67 ontri1 4751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( n  C_  z  <->  -.  z  e.  n ) )
6845, 66, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( n  C_  z  <->  -.  z  e.  n ) )
6968imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  <->  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  -.  z  e.  n )
) )
70 con34b 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x )  <-> 
( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  -.  z  e.  n ) )
7169, 70syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  <->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) )
7271pm5.74da 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  <->  ( z  e.  om  ->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) ) )
73 bi2.04 361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  ->  ( z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x ) )  <->  ( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z )  e.  x
) ) )
7472, 73syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  <->  ( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z )  e.  x ) ) ) )
75 elnn 6484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  n  /\  n  e.  om )  ->  z  e.  om )
76 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( D `  z
)  e.  x )  ->  ( D `  z )  e.  x
) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  n  /\  n  e.  om )  ->  ( ( z  e. 
om  ->  ( D `  z )  e.  x
)  ->  ( D `  z )  e.  x
) )
7877expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
z  e.  n  -> 
( ( z  e. 
om  ->  ( D `  z )  e.  x
)  ->  ( D `  z )  e.  x
) ) )
7978a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z
)  e.  x ) )  ->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) )
8074, 79sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  ->  (
z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x ) ) )
8180ad2antrl 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( ( z  e. 
om  ->  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z ) )  -> 
( z  e.  n  ->  ( D `  z
)  e.  x ) ) )
8281ralimdv2 2794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( A. z  e. 
om  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
8365, 82syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
8464, 83sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
8544, 84mt3d 125 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n )
8631, 85ffvelrnd 5842 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  A )
87 fveq2 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( D `  y )  =  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
8887eleq1d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( ( D `  y
)  e.  x  <->  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x ) )
8988notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( -.  ( D `  y )  e.  x  <->  -.  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  x ) )
90 fveq2 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( D `  z )  =  ( D `  y ) )
9190eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( D `  z
)  e.  x  <->  ( D `  y )  e.  x
) )
9291notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  ( D `  z
)  e.  x  <->  -.  ( D `  y )  e.  x ) )
9392cbvrabv 2969 . . . . . . 7  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  =  { y  e.  om  |  -.  ( D `  y )  e.  x }
9489, 93elrab2 3117 . . . . . 6  |-  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } 
<->  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  om 
/\  -.  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x ) )
9594simprbi 464 . . . . 5  |-  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  -.  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x )
9661, 95syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  x )
9786, 96eldifd 3337 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  ( A 
\  x ) )
9829, 97rexlimddv 2843 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  ( A 
\  x ) )
9918, 98eqeltrd 2515 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  e.  ( A 
\  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3323    C_ wss 3326   (/)c0 3635   ifcif 3789   ~Pcpw 3858   |^|cint 4126   U_ciun 4169   class class class wbr 4290    We wwe 4676   Ord word 4716   Oncon0 4717    X. cxp 4836   `'ccnv 4837   ran crn 4839    Fn wfn 5411   -->wf 5412   -1-1->wf1 5413   -1-1-onto->wf1o 5415   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091   omcom 6474    ^m cmap 7212    ~<_ cdom 7306    ~< csdm 7307   Fincfn 7308   cardccrd 8103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312
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