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Theorem pwfseqlem3 9092
Description: Lemma for pwfseq 9096. Using the construction  D from pwfseqlem1 9090, produce a function  F that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
pwfseqlem4.x  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
pwfseqlem4.h  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem4.ps  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
pwfseqlem4.k  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
pwfseqlem4.d  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
pwfseqlem4.f  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) ) )
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  e.  ( A 
\  x ) )
Distinct variable groups:    n, r, w, x, z    D, n, z    w, G    w, K    H, r, x, z    ph, n, r, x, z    ps, n, z    A, n, r, x, z
Allowed substitution hints:    ph( w)    ps( x, w, r)    A( w)    D( x, w, r)    F( x, z, w, n, r)    G( x, z, n, r)    H( w, n)    K( x, z, n, r)    X( x, z, w, n, r)

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3083 . . . 4  |-  x  e. 
_V
2 vex 3083 . . . 4  |-  r  e. 
_V
3 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( H `
 ( card `  x
) )  e.  _V
4 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e. 
_V
53, 4ifex 3979 . . . 4  |-  if ( x  e.  Fin , 
( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  e. 
_V
6 pwfseqlem4.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  _V ,  r  e.  _V  |->  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) ) )
76ovmpt4g 6433 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  /\  r  e.  _V  /\  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  e. 
_V )  ->  (
x F r )  =  if ( x  e.  Fin ,  ( H `  ( card `  x ) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
) ) )
81, 2, 5, 7mp3an 1360 . . 3  |-  ( x F r )  =  if ( x  e. 
Fin ,  ( H `  ( card `  x
) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
109simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  om  ~<_  x )
1110adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  om  ~<_  x )
12 domnsym 7707 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  x  ->  -.  x  ~<  om )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  x  ~<  om )
14 isfinite 8166 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
1513, 14sylnibr 306 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  x  e.  Fin )
1615iffalsed 3922 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  if ( x  e. 
Fin ,  ( H `  ( card `  x
) ) ,  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )  =  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
178, 16syl5eq 2475 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  =  ( D `
 |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
18 pwfseqlem4.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
19 pwfseqlem4.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
20 pwfseqlem4.h . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
21 pwfseqlem4.k . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
22 pwfseqlem4.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
2318, 19, 20, 9, 21, 22pwfseqlem1 9090 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
24 eldif 3446 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  <->  ( D  e. 
U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
2523, 24sylib 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  /\  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) ) )
2625simpld 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
27 eliun 4304 . . . 4  |-  ( D  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n )  <->  E. n  e.  om  D  e.  ( A  ^m  n ) )
2826, 27sylib 199 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. n  e.  om  D  e.  ( A  ^m  n ) )
29 elmapi 7504 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( A  ^m  n )  ->  D : n --> A )
3029ad2antll 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  D : n --> A )
31 ssiun2 4342 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
x  ^m  n )  C_ 
U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) )
3231ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( x  ^m  n
)  C_  U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) )
3325simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)
3433adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) )
3532, 34ssneldd 3467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  D  e.  (
x  ^m  n )
)
36 vex 3083 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
_V
371, 36elmap 7511 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( x  ^m  n )  <->  D :
n --> x )
38 ffn 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( D : n --> A  ->  D  Fn  n )
39 ffnfv 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( D : n --> x  <->  ( D  Fn  n  /\  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
4039baib 911 . . . . . . . . 9  |-  ( D  Fn  n  ->  ( D : n --> x  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
4130, 38, 403syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D : n --> x  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
4237, 41syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D  e.  ( x  ^m  n )  <->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
4335, 42mtbid 301 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x )
44 nnon 6712 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  n  e.  On )
4544ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  e.  On )
46 ssrab2 3546 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  om
47 omsson 6710 . . . . . . . . . 10  |-  om  C_  On
4846, 47sstri 3473 . . . . . . . . 9  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  On
49 ordom 6715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  om
50 simprl 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  e.  om )
51 ordelss 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Ord  om  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
5249, 50, 51sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  n  C_  om )
53 rexnal 2870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  n  -.  ( D `  z )  e.  x  <->  -.  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
)
5443, 53sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  E. z  e.  n  -.  ( D `  z
)  e.  x )
55 ssrexv 3526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n 
C_  om  ->  ( E. z  e.  n  -.  ( D `  z )  e.  x  ->  E. z  e.  om  -.  ( D `
 z )  e.  x ) )
5652, 54, 55sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  E. z  e.  om  -.  ( D `  z
)  e.  x )
57 rabn0 3782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  om  -.  ( D `  z
)  e.  x )
5856, 57sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  =/=  (/) )
59 onint 6636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  C_  On  /\  {
z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  =/=  (/) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)
6048, 58, 59sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )
6148, 60sseldi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  On )
62 ontri1 5476 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  On  /\  |^|
{ z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  On )  ->  ( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n ) )
6345, 61, 62syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n ) )
64 ssintrab 4279 . . . . . . . 8  |-  ( n 
C_  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  <->  A. z  e.  om  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z ) )
65 nnon 6712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  om  ->  z  e.  On )
66 ontri1 5476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  ( n  C_  z  <->  -.  z  e.  n ) )
6744, 65, 66syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( n  C_  z  <->  -.  z  e.  n ) )
6867imbi2d 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  <->  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  -.  z  e.  n )
) )
69 con34b 293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x )  <-> 
( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  -.  z  e.  n ) )
7068, 69syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  <->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) )
7170pm5.74da 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  <->  ( z  e.  om  ->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) ) )
72 bi2.04 362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  om  ->  ( z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x ) )  <->  ( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z )  e.  x
) ) )
7371, 72syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  <->  ( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z )  e.  x ) ) ) )
74 elnn 6716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  n  /\  n  e.  om )  ->  z  e.  om )
75 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( D `  z
)  e.  x )  ->  ( D `  z )  e.  x
) )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  n  /\  n  e.  om )  ->  ( ( z  e. 
om  ->  ( D `  z )  e.  x
)  ->  ( D `  z )  e.  x
) )
7776expcom 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
z  e.  n  -> 
( ( z  e. 
om  ->  ( D `  z )  e.  x
)  ->  ( D `  z )  e.  x
) ) )
7877a2d 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  n  ->  ( z  e.  om  ->  ( D `  z
)  e.  x ) )  ->  ( z  e.  n  ->  ( D `
 z )  e.  x ) ) )
7973, 78sylbid 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  (
( z  e.  om  ->  ( -.  ( D `
 z )  e.  x  ->  n  C_  z
) )  ->  (
z  e.  n  -> 
( D `  z
)  e.  x ) ) )
8079ad2antrl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( ( z  e. 
om  ->  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z ) )  -> 
( z  e.  n  ->  ( D `  z
)  e.  x ) ) )
8180ralimdv2 2829 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( A. z  e. 
om  ( -.  ( D `  z )  e.  x  ->  n  C_  z )  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x
) )
8264, 81syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( n  C_  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
8363, 82sylbird 238 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( -.  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n  ->  A. z  e.  n  ( D `  z )  e.  x ) )
8443, 83mt3d 128 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  n )
8530, 84ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  A )
86 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( D `  y )  =  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } ) )
8786eleq1d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( ( D `  y
)  e.  x  <->  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x ) )
8887notbid 295 . . . . . . 7  |-  ( y  =  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  ( -.  ( D `  y )  e.  x  <->  -.  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  x ) )
89 fveq2 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  ( D `  z )  =  ( D `  y ) )
9089eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
( D `  z
)  e.  x  <->  ( D `  y )  e.  x
) )
9190notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  ( D `  z
)  e.  x  <->  -.  ( D `  y )  e.  x ) )
9291cbvrabv 3079 . . . . . . 7  |-  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  =  { y  e.  om  |  -.  ( D `  y )  e.  x }
9388, 92elrab2 3230 . . . . . 6  |-  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } 
<->  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  e.  om 
/\  -.  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x ) )
9493simprbi 465 . . . . 5  |-  ( |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }  e.  { z  e.  om  |  -.  ( D `  z )  e.  x }  ->  -.  ( D `  |^| { z  e. 
om  |  -.  ( D `  z )  e.  x } )  e.  x )
9560, 94syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  ->  -.  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  x )
9685, 95eldifd 3447 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  ( n  e. 
om  /\  D  e.  ( A  ^m  n
) ) )  -> 
( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  ( A 
\  x ) )
9728, 96rexlimddv 2918 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D `  |^| { z  e.  om  |  -.  ( D `  z
)  e.  x }
)  e.  ( A 
\  x ) )
9817, 97eqeltrd 2507 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( x F r )  e.  ( A 
\  x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   ~Pcpw 3981   |^|cint 4255   U_ciun 4299   class class class wbr 4423    We wwe 4811    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   ran crn 4854   Ord word 5441   Oncon0 5442    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   omcom 6706    ^m cmap 7483    ~<_ cdom 7578    ~< csdm 7579   Fincfn 7580   cardccrd 8377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584
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