Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfseqlem3 Structured version   Unicode version

Theorem pwfseqlem3 9034
 Description: Lemma for pwfseq 9038. Using the construction from pwfseqlem1 9032, produce a function that maps any well-ordered infinite set to an element outside the set. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g
pwfseqlem4.x
pwfseqlem4.h
pwfseqlem4.ps
pwfseqlem4.k
pwfseqlem4.d
pwfseqlem4.f
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem3
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,   ,   ,,,   ,,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()   (,,)   (,,,,)   (,,,)   (,)   (,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem pwfseqlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3116 . . . 4
2 vex 3116 . . . 4
3 fvex 5874 . . . . 5
4 fvex 5874 . . . . 5
53, 4ifex 4008 . . . 4
6 pwfseqlem4.f . . . . 5
76ovmpt4g 6407 . . . 4
81, 2, 5, 7mp3an 1324 . . 3
9 pwfseqlem4.ps . . . . . . . 8
109simprbi 464 . . . . . . 7
1110adantl 466 . . . . . 6
12 domnsym 7640 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 isfinite 8065 . . . . 5
1513, 14sylnibr 305 . . . 4
16 iffalse 3948 . . . 4
1715, 16syl 16 . . 3
188, 17syl5eq 2520 . 2
19 pwfseqlem4.g . . . . . . 7
20 pwfseqlem4.x . . . . . . 7
21 pwfseqlem4.h . . . . . . 7
22 pwfseqlem4.k . . . . . . 7
23 pwfseqlem4.d . . . . . . 7
2419, 20, 21, 9, 22, 23pwfseqlem1 9032 . . . . . 6
25 eldif 3486 . . . . . 6
2624, 25sylib 196 . . . . 5
2726simpld 459 . . . 4
28 eliun 4330 . . . 4
2927, 28sylib 196 . . 3
30 elmapi 7437 . . . . . 6
3130ad2antll 728 . . . . 5
32 ssiun2 4368 . . . . . . . . 9
3332ad2antrl 727 . . . . . . . 8
3426simprd 463 . . . . . . . . 9
3534adantr 465 . . . . . . . 8
3633, 35ssneldd 3507 . . . . . . 7
37 vex 3116 . . . . . . . . 9
381, 37elmap 7444 . . . . . . . 8
39 ffn 5729 . . . . . . . . 9
40 ffnfv 6045 . . . . . . . . . 10
4140baib 901 . . . . . . . . 9
4231, 39, 413syl 20 . . . . . . . 8
4338, 42syl5bb 257 . . . . . . 7
4436, 43mtbid 300 . . . . . 6
45 nnon 6684 . . . . . . . . 9
4645ad2antrl 727 . . . . . . . 8
47 ssrab2 3585 . . . . . . . . . 10
48 omsson 6682 . . . . . . . . . 10
4947, 48sstri 3513 . . . . . . . . 9
50 ordom 6687 . . . . . . . . . . . . 13
51 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13
52 ordelss 4894 . . . . . . . . . . . . 13
5350, 51, 52sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
54 rexnal 2912 . . . . . . . . . . . . 13
5544, 54sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12
56 ssrexv 3565 . . . . . . . . . . . 12
5753, 55, 56sylc 60 . . . . . . . . . . 11
58 rabn0 3805 . . . . . . . . . . 11
5957, 58sylibr 212 . . . . . . . . . 10
60 onint 6608 . . . . . . . . . 10
6149, 59, 60sylancr 663 . . . . . . . . 9
6249, 61sseldi 3502 . . . . . . . 8
63 ontri1 4912 . . . . . . . 8
6446, 62, 63syl2anc 661 . . . . . . 7
65 ssintrab 4305 . . . . . . . 8
66 nnon 6684 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 ontri1 4912 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6845, 66, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968imbi2d 316 . . . . . . . . . . . . . 14
70 con34b 292 . . . . . . . . . . . . . 14
7169, 70syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13
7271pm5.74da 687 . . . . . . . . . . . 12
73 bi2.04 361 . . . . . . . . . . . 12
7472, 73syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11
75 elnn 6688 . . . . . . . . . . . . . 14
76 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . 14
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
7877expcom 435 . . . . . . . . . . . 12
7978a2d 26 . . . . . . . . . . 11
8074, 79sylbid 215 . . . . . . . . . 10
8180ad2antrl 727 . . . . . . . . 9
8281ralimdv2 2871 . . . . . . . 8
8365, 82syl5bi 217 . . . . . . 7
8464, 83sylbird 235 . . . . . 6
8544, 84mt3d 125 . . . . 5
8631, 85ffvelrnd 6020 . . . 4
87 fveq2 5864 . . . . . . . . 9
8887eleq1d 2536 . . . . . . . 8
8988notbid 294 . . . . . . 7
90 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10
9190eleq1d 2536 . . . . . . . . 9
9291notbid 294 . . . . . . . 8
9392cbvrabv 3112 . . . . . . 7
9489, 93elrab2 3263 . . . . . 6
9594simprbi 464 . . . . 5
9661, 95syl 16 . . . 4
9786, 96eldifd 3487 . . 3
9829, 97rexlimddv 2959 . 2
9918, 98eqeltrd 2555 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   cdif 3473   wss 3476  c0 3785  cif 3939  cpw 4010  cint 4282  ciun 4325   class class class wbr 4447   wwe 4837   word 4877  con0 4878   cxp 4997  ccnv 4998   crn 5000   wfn 5581  wf 5582  wf1 5583  wf1o 5585  cfv 5586  (class class class)co 6282   cmpt2 6284  com 6678   cmap 7417   cdom 7511   csdm 7512  cfn 7513  ccrd 8312 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517 This theorem is referenced by:  pwfseqlem4a  9035  pwfseqlem4  9036
 Copyright terms: Public domain W3C validator