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Theorem pwfseqlem1 9048
Description: Lemma for pwfseq 9054. Derive a contradiction by diagonalization. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfseqlem4.g  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
pwfseqlem4.x  |-  ( ph  ->  X  C_  A )
pwfseqlem4.h  |-  ( ph  ->  H : om -1-1-onto-> X )
pwfseqlem4.ps  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
pwfseqlem4.k  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
pwfseqlem4.d  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
Assertion
Ref Expression
pwfseqlem1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
Distinct variable groups:    n, r, w, x    D, n    w, G    w, K    H, r, x    ph, n, r, x    ps, n    A, n, r, x
Allowed substitution hints:    ph( w)    ps( x, w, r)    A( w)    D( x, w, r)    G( x, n, r)    H( w, n)    K( x, n, r)    X( x, w, n, r)

Proof of Theorem pwfseqlem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwfseqlem4.d . . 3  |-  D  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
2 pwfseqlem4.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
32adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4 f1f 5787 . . . . 5  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G : ~P A --> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A --> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
6 ssrab2 3590 . . . . . 6  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  x
7 pwfseqlem4.ps . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  ( ( x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )
8 simprl1 1041 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  C_  A  /\  r  C_  ( x  X.  x )  /\  r  We  x )  /\  om  ~<_  x ) )  ->  x  C_  A )
97, 8sylan2b 475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  x  C_  A )
106, 9syl5ss 3520 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  A )
11 vex 3121 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
1211rabex 4604 . . . . . 6  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  _V
1312elpw 4022 . . . . 5  |-  ( { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A  <->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  C_  A )
1410, 13sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )
155, 14ffvelrnd 6033 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
161, 15syl5eqel 2559 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
17 pm5.19 360 . . 3  |-  -.  (
( K `  D
)  e.  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
18 pwfseqlem4.k . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) -1-1-> x )
20 f1f 5787 . . . . . . . 8  |-  ( K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x  ->  K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) --> x )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) --> x )
22 ffvelrn 6030 . . . . . . 7  |-  ( ( K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) --> x  /\  D  e.  U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) )  -> 
( K `  D
)  e.  x )
2321, 22sylancom 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( K `  D )  e.  x
)
24 f1f1orn 5833 . . . . . . . . 9  |-  ( K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-> x  ->  K : U_ n  e. 
om  ( x  ^m  n ) -1-1-onto-> ran  K )
2519, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
)
-1-1-onto-> ran  K )
26 f1ocnvfv1 6181 . . . . . . . 8  |-  ( ( K : U_ n  e.  om  ( x  ^m  n ) -1-1-onto-> ran  K  /\  D  e.  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) )  ->  ( `' K `  ( K `
 D ) )  =  D )
2725, 26sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  =  D )
28 f1fn 5788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G  Fn  ~P A
)
293, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G  Fn  ~P A
)
30 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Fn  ~P A  /\  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )  ->  ( G `  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  ran  G )
3129, 14, 30syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )  e.  ran  G )
321, 31syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ran  G
)
3332adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  D  e.  ran  G )
3427, 33eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  e. 
ran  G )
35 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( `' K `  y )  =  ( `' K `  ( K `  D
) ) )
3635eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
( `' K `  y )  e.  ran  G  <-> 
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G
) )
37 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  y  =  ( K `  D ) )
3835fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  =  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) )
3937, 38eleq12d 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  <->  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
4039notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  ( -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) )  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
4136, 40anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( K `  D )  ->  (
( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) )  <->  ( ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D
)  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
42 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  ( `' K `  w )  =  ( `' K `  y ) )
4342eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  <-> 
( `' K `  y )  e.  ran  G ) )
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  w  =  y )
4542fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  =  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) )
4644, 45eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  <->  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) )
4746notbid 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) )  <->  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) )
4843, 47anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) )  <->  ( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) ) )
4948cbvrabv 3117 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  =  { y  e.  x  |  ( ( `' K `  y )  e.  ran  G  /\  -.  y  e.  ( `' G `  ( `' K `  y ) ) ) }
5041, 49elrab2 3268 . . . . . . . 8  |-  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  ( ( K `  D )  e.  x  /\  (
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
51 anass 649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K `  D )  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G
)  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) )  <->  ( ( K `  D )  e.  x  /\  (
( `' K `  ( K `  D ) )  e.  ran  G  /\  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) ) )
5250, 51bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  ( (
( K `  D
)  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G )  /\  -.  ( K `
 D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5352baib 901 . . . . . 6  |-  ( ( ( K `  D
)  e.  x  /\  ( `' K `  ( K `
 D ) )  e.  ran  G )  ->  ( ( K `
 D )  e. 
{ w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5423, 34, 53syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) ) ) )
5527, 1syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' K `  ( K `  D ) )  =  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
5655fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  =  ( `' G `  ( G `  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) ) )
57 f1f1orn 5833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  ->  G : ~P A -1-1-onto-> ran  G
)
583, 57syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  G : ~P A -1-1-onto-> ran  G )
59 f1ocnvfv1 6181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : ~P A -1-1-onto-> ran  G  /\  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  e.  ~P A )  ->  ( `' G `  ( G `
 { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6058, 14, 59syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( `' G `  ( G `  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6160adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( G `  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )  =  { w  e.  x  |  (
( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6256, 61eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  =  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } )
6362eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `
 D ) ) )  <->  ( K `  D )  e.  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6463notbid 294 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( -.  ( K `  D )  e.  ( `' G `  ( `' K `  ( K `  D ) ) )  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6554, 64bitrd 253 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  /\  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)  ->  ( ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) )
6665ex 434 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )  ->  ( ( K `  D )  e.  {
w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) }  <->  -.  ( K `  D )  e.  { w  e.  x  |  ( ( `' K `  w )  e.  ran  G  /\  -.  w  e.  ( `' G `  ( `' K `  w ) ) ) } ) ) )
6717, 66mtoi 178 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  -.  D  e.  U_ n  e.  om  (
x  ^m  n )
)
6816, 67eldifd 3492 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  D  e.  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  \  U_ n  e.  om  ( x  ^m  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    \ cdif 3478    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   U_ciun 4331   class class class wbr 4453    We wwe 4843    X. cxp 5003   `'ccnv 5004   ran crn 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   omcom 6695    ^m cmap 7432    ~<_ cdom 7526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602
This theorem is referenced by:  pwfseqlem3  9050
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