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Theorem pwfseq 9040
Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into the set of finite sequences. The proof is due to Halbeisen and Shelah. Proposition 1.7 of [KanamoriPincus] p. 418. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwfseq  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
Distinct variable group:    A, n

Proof of Theorem pwfseq
Dummy variables  f 
b  g  h  k  m  p  r  s  t  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7520 . . 3  |-  Rel  ~<_
21brrelex2i 5027 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
3 domeng 7528 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  A  <->  E. t ( om 
~~  t  /\  t  C_  A ) ) )
4 bren 7523 . . . . . 6  |-  ( om 
~~  t  <->  E. h  h : om -1-1-onto-> t )
5 harcl 7985 . . . . . . . . . 10  |-  (har `  ~P A )  e.  On
6 infxpenc2 8397 . . . . . . . . . 10  |-  ( (har
`  ~P A )  e.  On  ->  E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
) )
9 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  ( A  ^m  n )  =  ( A  ^m  k
) )
109cbviunv 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  ( A  ^m  k )
11 f1eq3 5764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  = 
U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
)  ->  ( g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  <->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n )  <->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) )
138, 12sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  g : ~P A -1-1-> U_ k  e.  om  ( A  ^m  k
) )
14 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  t  C_  A
)
15 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  h : om -1-1-onto-> t
)
16 biid 236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( u  C_  A  /\  r  C_  ( u  X.  u )  /\  r  We  u )  /\  om  ~<_  u )  <->  ( (
u  C_  A  /\  r  C_  ( u  X.  u )  /\  r  We  u )  /\  om  ~<_  u ) )
17 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  A. b  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
18 sseq2 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  w  ->  ( om  C_  b  <->  om  C_  w
) )
19 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  w  ->  (
m `  b )  =  ( m `  w ) )
20 f1oeq1 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m `  b )  =  ( m `  w )  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )
22 xpeq12 5004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  =  w  /\  b  =  w )  ->  ( b  X.  b
)  =  ( w  X.  w ) )
2322anidms 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( b  =  w  ->  (
b  X.  b )  =  ( w  X.  w ) )
24 f1oeq2 5794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  X.  b )  =  ( w  X.  w )  ->  (
( m `  w
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  w
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b ) )
26 f1oeq3 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
2721, 25, 263bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  w  ->  (
( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b  <->  ( m `  w ) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
2818, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  w  ->  (
( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  <-> 
( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) ) )
2928cbvralv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b )  <->  A. w  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
3017, 29sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )  ->  A. w  e.  (har
`  ~P A ) ( om  C_  w  ->  ( m `  w
) : ( w  X.  w ) -1-1-onto-> w ) )
31 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- OrdIso ( r ,  u )  = OrdIso
( r ,  u
)
32 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u ) `  z
) >. )  =  ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
)
33 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (OrdIso ( r ,  u
)  o.  ( m `
 dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u ) `  z
) >. ) )  =  ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )
34 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } )  = seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } )
35 oveq2 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
u  ^m  n )  =  ( u  ^m  k ) )
3635cbviunv 4350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  (
u  ^m  k )
37 mpteq1 4513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ n  e.  om  (
u  ^m  n )  =  U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  ->  ( y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )  =  ( y  e. 
U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  U_ n  e. 
om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )  =  ( y  e. 
U_ k  e.  om  ( u  ^m  k
)  |->  <. dom  y , 
( (seq𝜔 ( ( p  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p )  |->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  (
m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u )  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  s
) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 z ) >.
) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
39 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  om ,  y  e.  u  |->  <. (OrdIso ( r ,  u
) `  x ) ,  y >. )  =  ( x  e. 
om ,  y  e.  u  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  x ) ,  y
>. )
40 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )  o.  (
x  e.  om , 
y  e.  u  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  x
) ,  y >.
) )  o.  (
y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)  =  ( ( ( (OrdIso ( r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u ) ) )  o.  `' ( s  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) ,  z  e.  dom OrdIso ( r ,  u ) 
|->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) )  o.  (
x  e.  om , 
y  e.  u  |->  <.
(OrdIso ( r ,  u ) `  x
) ,  y >.
) )  o.  (
y  e.  U_ n  e.  om  ( u  ^m  n )  |->  <. dom  y ,  ( (seq𝜔 ( ( p  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( x  e.  ( u  ^m  suc  p ) 
|->  ( ( f `  ( x  |`  p ) ) ( (OrdIso (
r ,  u )  o.  ( m `  dom OrdIso ( r ,  u
) ) )  o.  `' ( s  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
) ,  z  e. 
dom OrdIso ( r ,  u
)  |->  <. (OrdIso ( r ,  u ) `  s ) ,  (OrdIso ( r ,  u
) `  z ) >. ) ) ( x `
 p ) ) ) ) ,  { <.
(/) ,  (OrdIso (
r ,  u ) `
 (/) ) >. } ) `
 dom  y ) `  y ) >. )
)
4113, 14, 15, 16, 30, 31, 32, 33, 34, 38, 39, 40pwfseqlem5 9039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `
 b ) : ( b  X.  b
)
-1-1-onto-> b ) )  /\  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4241imnani 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4342nexdv 1868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  E. g 
g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
44 brdomi 7525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n
)  ->  E. g 
g : ~P A -1-1-> U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4543, 44nsyl 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  /\  A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b ) )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
4645ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  ( A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b ) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) ) )
4746exlimdv 1709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  ( E. m A. b  e.  (har `  ~P A ) ( om  C_  b  ->  ( m `  b
) : ( b  X.  b ) -1-1-onto-> b )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
487, 47mpi 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( h : om -1-1-onto-> t  /\  t  C_  A )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) )
4948ex 434 . . . . . . 7  |-  ( h : om -1-1-onto-> t  ->  ( t 
C_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e. 
om  ( A  ^m  n ) ) )
5049exlimiv 1707 . . . . . 6  |-  ( E. h  h : om -1-1-onto-> t  ->  ( t  C_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
514, 50sylbi 195 . . . . 5  |-  ( om 
~~  t  ->  (
t  C_  A  ->  -. 
~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
5251imp 429 . . . 4  |-  ( ( om  ~~  t  /\  t  C_  A )  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
5352exlimiv 1707 . . 3  |-  ( E. t ( om  ~~  t  /\  t  C_  A
)  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
543, 53syl6bi 228 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( om 
~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) ) )
552, 54mpcom 36 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  -.  ~P A  ~<_  U_ n  e.  om  ( A  ^m  n ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381   E.wex 1597    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   {csn 4010   <.cop 4016   U_ciun 4311   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491    We wwe 4823   Oncon0 4864   suc csuc 4866    X. cxp 4983   `'ccnv 4984   dom cdm 4985    |` cres 4987    o. ccom 4989   -1-1->wf1 5571   -1-1-onto->wf1o 5573   ` cfv 5574  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   omcom 6681  seq𝜔cseqom 7110    ^m cmap 7418    ~~ cen 7511    ~<_ cdom 7512  OrdIsocoi 7932  harchar 7980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-seqom 7111  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-oexp 7134  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-oi 7933  df-har 7982  df-cnf 8077  df-card 8318
This theorem is referenced by:  pwxpndom2  9041
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