Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwfilem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem pwfilem 7886
 Description: Lemma for pwfi 7887. (Contributed by NM, 26-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
pwfilem.1
Assertion
Ref Expression
pwfilem
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem pwfilem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwundif 4746 . 2
2 vex 3034 . . . . . . . . 9
3 snex 4641 . . . . . . . . 9
42, 3unex 6608 . . . . . . . 8
5 pwfilem.1 . . . . . . . 8
64, 5fnmpti 5716 . . . . . . 7
7 dffn4 5812 . . . . . . 7
86, 7mpbi 213 . . . . . 6
9 fodomfi 7868 . . . . . 6
108, 9mpan2 685 . . . . 5
11 domfi 7811 . . . . 5
1210, 11mpdan 681 . . . 4
13 eldifi 3544 . . . . . . . . 9
143elpwun 6623 . . . . . . . . 9
1513, 14sylib 201 . . . . . . . 8
16 undif1 3833 . . . . . . . . 9
17 elpwunsn 4003 . . . . . . . . . . 11
1817snssd 4108 . . . . . . . . . 10
19 ssequn2 3598 . . . . . . . . . 10
2018, 19sylib 201 . . . . . . . . 9
2116, 20syl5req 2518 . . . . . . . 8
22 uneq1 3572 . . . . . . . . . 10
2322eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9
2423rspcev 3136 . . . . . . . 8
2515, 21, 24syl2anc 673 . . . . . . 7
265, 4elrnmpti 5091 . . . . . . 7
2725, 26sylibr 217 . . . . . 6
2827ssriv 3422 . . . . 5
29 ssdomg 7633 . . . . 5
3012, 28, 29mpisyl 21 . . . 4
31 domfi 7811 . . . 4
3212, 30, 31syl2anc 673 . . 3
33 unfi 7856 . . 3
3432, 33mpancom 682 . 2
351, 34syl5eqel 2553 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757   cdif 3387   cun 3388   wss 3390  cpw 3942  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840   wfn 5584  wfo 5587   cdom 7585  cfn 7587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591 This theorem is referenced by:  pwfi  7887
 Copyright terms: Public domain W3C validator