Theorem pwfi2f1o 35880

Description: The pw2f1o 7681 bijection relates finitely supported indicator functions on a two-element set to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Revised by AV, 14-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwfi2f1o.s	|- S = { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) }
pwfi2f1o.f	|- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
pwfi2f1o	|- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, S   x, V, y

Allowed substitution hints:   S( y)   F( x, y)

Proof of Theorem pwfi2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2423	. . . . 5 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) )
2	1	pw2f1o2 35819	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
3		f1of1 5828	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
5		pwfi2f1o.s	. . . 4 |- S = { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) }
6		ssrab2 3547	. . . 4 |- { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) } C_ ( 2o ^m A )
7	5, 6	eqsstri 3495	. . 3 |- S C_ ( 2o ^m A )
8		f1ores 5843	. . 3 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A /\ S C_ ( 2o ^m A ) ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
9	4, 7, 8	sylancl 667	. 2 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
10		elmapfun 7501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> Fun y )
11		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> y e. ( 2o ^m A ) )
12		0ex 4554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> (/) e. _V )
14	10, 11, 13	3jca 1186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) )
15	14	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) )
16		funisfsupp 7892	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) -> ( y finSupp (/) <-> ( y supp (/) ) e. Fin ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( y supp (/) ) e. Fin ) )
18	13	anim2i 572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A e. V /\ (/) e. _V ) )
19		elmapi 7499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> y : A --> 2o )
20	19	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> y : A --> 2o )
21		frnsuppeq 6935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( y : A --> 2o -> ( y supp (/) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) ) )
22	18, 20, 21	sylc 63	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y supp (/) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) )
23		df-2o 7189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = suc 1o
24		df-suc 5446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
25	24	equncomi 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc 1o = ( { 1o } u. 1o )
26	23, 25	eqtri 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o = ( { 1o } u. 1o )
27		df1o2 7200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o = { (/) }
28	27	eqcomi 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } = 1o
29	26, 28	difeq12i 3582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2o \ { (/) } ) = ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o )
30		difun2 3876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = ( { 1o } \ 1o )
31		incom 3656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { 1o } i^i 1o ) = ( 1o i^i { 1o } )
32		1on 7195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o e. On
33	32	onordi 5544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord 1o
34		orddisj 5478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord 1o -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1o i^i { 1o } ) = (/)
36	31, 35	eqtri 2452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 1o } i^i 1o ) = (/)
37		disj3 3838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { 1o } i^i 1o ) = (/) <-> { 1o } = ( { 1o } \ 1o ) )
38	36, 37	mpbi 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 1o } = ( { 1o } \ 1o )
39	30, 38	eqtr4i 2455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = { 1o }
40	29, 39	eqtri 2452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o \ { (/) } ) = { 1o }
41	40	imaeq2i 5183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) = ( `' y " { 1o } )
42	22, 41	syl6eq 2480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y supp (/) ) = ( `' y " { 1o } ) )
43	42	eleq1d 2492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( y supp (/) ) e. Fin <-> ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
44		cnvimass 5205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " { 1o } ) C_ dom y
45		fdm 5748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y : A --> 2o -> dom y = A )
46	20, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> dom y = A )
47	44, 46	syl5sseq 3513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " { 1o } ) C_ A )
48	47	biantrurd 511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " { 1o } ) e. Fin <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
49	17, 43, 48	3bitrd 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
50		elfpw 7880	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
51	49, 50	syl6bbr 267	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
52	51	rabbidva 3072	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) } = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) } )
53		cnveq 5025	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> `' x = `' y )
54	53	imaeq1d 5184	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( `' x " { 1o } ) = ( `' y " { 1o } ) )
55	54	cbvmptv 4514	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( y e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' y " { 1o } ) )
56	55	mptpreima 5345	. . . . . . 7 |- ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) }
57	52, 5, 56	3eqtr4g 2489	. . . . . 6 |- ( A e. V -> S = ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) )
58	57	imaeq2d 5185	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) )
59		f1ofo 5836	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
60	2, 59	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
61		inss1 3683	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
62		foimacnv 5846	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A /\ ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
63	60, 61, 62	sylancl 667	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
64	58, 63	eqtrd 2464	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) )
65		f1oeq3 5822	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
67		resmpt 5171	. . . . . 6 |- ( S C_ ( 2o ^m A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) ) )
68	7, 67	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
69		pwfi2f1o.f	. . . . 5 |- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
70	68, 69	eqtr4i 2455	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F
71		f1oeq1 5820	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
72	70, 71	mp1i 13	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
73	66, 72	bitrd 257	. 2 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
74	9, 73	mpbid 214	1 |- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   {crab 2780   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   u. cun 3435   i^i cin 3436   C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   |` cres 4853   "cima 4854   Ord word 5439   suc csuc 5442   Fun wfun 5593   -->wf 5595   -1-1->wf1 5596   -onto->wfo 5597   -1-1-onto->wf1o 5598  (class class class)co 6303   supp csupp 6923   1oc1o 7181   2oc2o 7182   ^m cmap 7478   Fincfn 7575   finSupp cfsupp 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-ord 5443  df-on 5444  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-1o 7188  df-2o 7189  df-map 7480  df-fsupp 7888

This theorem is referenced by:  pwfi2en  35881