Theorem pwfi2f1o 35419

Description: The pw2f1o 7662 bijection relates finitely supported indicator functions on a two-element set to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Revised by AV, 14-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwfi2f1o.s	|- S = { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) }
pwfi2f1o.f	|- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
pwfi2f1o	|- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, S   x, V, y

Allowed substitution hints:   S( y)   F( x, y)

Proof of Theorem pwfi2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2404	. . . . 5 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) )
2	1	pw2f1o2 35355	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
3		f1of1 5800	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
5		pwfi2f1o.s	. . . 4 |- S = { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) }
6		ssrab2 3526	. . . 4 |- { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) } C_ ( 2o ^m A )
7	5, 6	eqsstri 3474	. . 3 |- S C_ ( 2o ^m A )
8		f1ores 5815	. . 3 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A /\ S C_ ( 2o ^m A ) ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
9	4, 7, 8	sylancl 662	. 2 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
10		elmapfun 7482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> Fun y )
11		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> y e. ( 2o ^m A ) )
12		0ex 4528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> (/) e. _V )
14	10, 11, 13	3jca 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) )
16		funisfsupp 7870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) -> ( y finSupp (/) <-> ( y supp (/) ) e. Fin ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( y supp (/) ) e. Fin ) )
18	13	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A e. V /\ (/) e. _V ) )
19		elmapi 7480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> y : A --> 2o )
20	19	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> y : A --> 2o )
21		frnsuppeq 6916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( y : A --> 2o -> ( y supp (/) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) ) )
22	18, 20, 21	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y supp (/) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) )
23		df-2o 7170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = suc 1o
24		df-suc 5418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
25	24	equncomi 3591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc 1o = ( { 1o } u. 1o )
26	23, 25	eqtri 2433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o = ( { 1o } u. 1o )
27		df1o2 7181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o = { (/) }
28	27	eqcomi 2417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } = 1o
29	26, 28	difeq12i 3561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2o \ { (/) } ) = ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o )
30		difun2 3853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = ( { 1o } \ 1o )
31		incom 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { 1o } i^i 1o ) = ( 1o i^i { 1o } )
32		1on 7176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o e. On
33	32	onordi 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord 1o
34		orddisj 5450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord 1o -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1o i^i { 1o } ) = (/)
36	31, 35	eqtri 2433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 1o } i^i 1o ) = (/)
37		disj3 3816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { 1o } i^i 1o ) = (/) <-> { 1o } = ( { 1o } \ 1o ) )
38	36, 37	mpbi 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 1o } = ( { 1o } \ 1o )
39	30, 38	eqtr4i 2436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = { 1o }
40	29, 39	eqtri 2433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o \ { (/) } ) = { 1o }
41	40	imaeq2i 5157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) = ( `' y " { 1o } )
42	22, 41	syl6eq 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y supp (/) ) = ( `' y " { 1o } ) )
43	42	eleq1d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( y supp (/) ) e. Fin <-> ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
44		cnvimass 5179	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " { 1o } ) C_ dom y
45		fdm 5720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y : A --> 2o -> dom y = A )
46	20, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> dom y = A )
47	44, 46	syl5sseq 3492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " { 1o } ) C_ A )
48	47	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " { 1o } ) e. Fin <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
49	17, 43, 48	3bitrd 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
50		elfpw 7858	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
51	49, 50	syl6bbr 265	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
52	51	rabbidva 3052	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) } = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) } )
53		cnveq 4999	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> `' x = `' y )
54	53	imaeq1d 5158	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( `' x " { 1o } ) = ( `' y " { 1o } ) )
55	54	cbvmptv 4489	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( y e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' y " { 1o } ) )
56	55	mptpreima 5318	. . . . . . 7 |- ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) }
57	52, 5, 56	3eqtr4g 2470	. . . . . 6 |- ( A e. V -> S = ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) )
58	57	imaeq2d 5159	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) )
59		f1ofo 5808	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
60	2, 59	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
61		inss1 3661	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
62		foimacnv 5818	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A /\ ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
63	60, 61, 62	sylancl 662	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
64	58, 63	eqtrd 2445	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) )
65		f1oeq3 5794	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
67		resmpt 5145	. . . . . 6 |- ( S C_ ( 2o ^m A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) ) )
68	7, 67	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
69		pwfi2f1o.f	. . . . 5 |- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
70	68, 69	eqtr4i 2436	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F
71		f1oeq1 5792	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
72	70, 71	mp1i 13	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
73	66, 72	bitrd 255	. 2 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
74	9, 73	mpbid 212	1 |- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   e. wcel 1844   {crab 2760   _Vcvv 3061   \ cdif 3413   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   class class class wbr 4397   |-> cmpt 4455   `'ccnv 4824   dom cdm 4825   |` cres 4827   "cima 4828   Ord word 5411   suc csuc 5414   Fun wfun 5565   -->wf 5567   -1-1->wf1 5568   -onto->wfo 5569   -1-1-onto->wf1o 5570  (class class class)co 6280   supp csupp 6904   1oc1o 7162   2oc2o 7163   ^m cmap 7459   Fincfn 7556   finSupp cfsupp 7865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-ord 5415  df-on 5416  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-1o 7169  df-2o 7170  df-map 7461  df-fsupp 7866

This theorem is referenced by:  pwfi2en  35421