Theorem pwfi2f1o 29477

Description: The pw2f1o 7437 bijection relates finitely supported indicator functions on a two-element set to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwfi2f1o.s	|- S = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin }
pwfi2f1o.f	|- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
pwfi2f1o	|- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, S   x, V, y

Allowed substitution hints:   S( y)   F( x, y)

Proof of Theorem pwfi2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2443	. . . . 5 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) )
2	1	pw2f1o2 29413	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
3		f1of1 5661	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
4	2, 3	syl 16	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
5		pwfi2f1o.s	. . . 4 |- S = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin }
6		ssrab2 3458	. . . 4 |- { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin } C_ ( 2o ^m A )
7	5, 6	eqsstri 3407	. . 3 |- S C_ ( 2o ^m A )
8		f1ores 5676	. . 3 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A /\ S C_ ( 2o ^m A ) ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
9	4, 7, 8	sylancl 662	. 2 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
10		elmapi 7255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> y : A --> 2o )
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> y : A --> 2o )
12		fsuppeq 29476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y : A --> 2o -> ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) )
14		df-2o 6942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = suc 1o
15		df-suc 4746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
16	15	equncomi 3523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc 1o = ( { 1o } u. 1o )
17	14, 16	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o = ( { 1o } u. 1o )
18		df1o2 6953	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o = { (/) }
19	18	eqcomi 2447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } = 1o
20	17, 19	difeq12i 3493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2o \ { (/) } ) = ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o )
21		difun2 3779	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = ( { 1o } \ 1o )
22		incom 3564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { 1o } i^i 1o ) = ( 1o i^i { 1o } )
23		1on 6948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o e. On
24	23	onordi 4844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord 1o
25		orddisj 4778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord 1o -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1o i^i { 1o } ) = (/)
27	22, 26	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 1o } i^i 1o ) = (/)
28		disj3 3744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { 1o } i^i 1o ) = (/) <-> { 1o } = ( { 1o } \ 1o ) )
29	27, 28	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 1o } = ( { 1o } \ 1o )
30	21, 29	eqtr4i 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = { 1o }
31	20, 30	eqtri 2463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o \ { (/) } ) = { 1o }
32	31	imaeq2i 5188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) = ( `' y " { 1o } )
33	13, 32	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' y " { 1o } ) )
34	33	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin <-> ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
35		cnvimass 5210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " { 1o } ) C_ dom y
36		fdm 5584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y : A --> 2o -> dom y = A )
37	11, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> dom y = A )
38	35, 37	syl5sseq 3425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " { 1o } ) C_ A )
39	38	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " { 1o } ) e. Fin <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
40	34, 39	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
41		elfpw 7634	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
42	40, 41	syl6bbr 263	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin <-> ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
43	42	rabbidva 2984	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin } = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) } )
44		cnveq 5034	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> `' x = `' y )
45	44	imaeq1d 5189	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( `' x " { 1o } ) = ( `' y " { 1o } ) )
46	45	cbvmptv 4404	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( y e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' y " { 1o } ) )
47	46	mptpreima 5352	. . . . . . 7 |- ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) }
48	43, 5, 47	3eqtr4g 2500	. . . . . 6 |- ( A e. V -> S = ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) )
49	48	imaeq2d 5190	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) )
50		f1ofo 5669	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
51	2, 50	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
52		inss1 3591	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
53		foimacnv 5679	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A /\ ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
54	51, 52, 53	sylancl 662	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
55	49, 54	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) )
56		f1oeq3 5655	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
57	55, 56	syl 16	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
58		resmpt 5177	. . . . . 6 |- ( S C_ ( 2o ^m A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) ) )
59	7, 58	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
60		pwfi2f1o.f	. . . . 5 |- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
61	59, 60	eqtr4i 2466	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F
62		f1oeq1 5653	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
63	61, 62	mp1i 12	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
64	57, 63	bitrd 253	. 2 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
65	9, 64	mpbid 210	1 |- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2740   _Vcvv 2993   \ cdif 3346   u. cun 3347   i^i cin 3348   C_ wss 3349   (/)c0 3658   ~Pcpw 3881   {csn 3898   e. cmpt 4371   Ord word 4739   suc csuc 4742   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   |` cres 4863   "cima 4864   -->wf 5435   -1-1->wf1 5436   -onto->wfo 5437   -1-1-onto->wf1o 5438  (class class class)co 6112   1oc1o 6934   2oc2o 6935   ^m cmap 7235   Fincfn 7331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-1o 6941  df-2o 6942  df-map 7237

This theorem is referenced by:  pwfi2en  29478