Theorem pwfi2f1o 36025

Description: The pw2f1o 7695 bijection relates finitely supported indicator functions on a two-element set to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Revised by AV, 14-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwfi2f1o.s	|- S = { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) }
pwfi2f1o.f	|- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
pwfi2f1o	|- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, S   x, V, y

Allowed substitution hints:   S( y)   F( x, y)

Proof of Theorem pwfi2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2471	. . . . 5 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) )
2	1	pw2f1o2 35964	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
3		f1of1 5827	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
5		pwfi2f1o.s	. . . 4 |- S = { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) }
6		ssrab2 3500	. . . 4 |- { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) } C_ ( 2o ^m A )
7	5, 6	eqsstri 3448	. . 3 |- S C_ ( 2o ^m A )
8		f1ores 5842	. . 3 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A /\ S C_ ( 2o ^m A ) ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
9	4, 7, 8	sylancl 675	. 2 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
10		elmapfun 7513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> Fun y )
11		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> y e. ( 2o ^m A ) )
12		0ex 4528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> (/) e. _V )
14	10, 11, 13	3jca 1210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) )
15	14	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) )
16		funisfsupp 7906	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun y /\ y e. ( 2o ^m A ) /\ (/) e. _V ) -> ( y finSupp (/) <-> ( y supp (/) ) e. Fin ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( y supp (/) ) e. Fin ) )
18	13	anim2i 579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( A e. V /\ (/) e. _V ) )
19		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> y : A --> 2o )
20	19	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> y : A --> 2o )
21		frnsuppeq 6945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ (/) e. _V ) -> ( y : A --> 2o -> ( y supp (/) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) ) )
22	18, 20, 21	sylc 61	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y supp (/) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) )
23		df-2o 7201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = suc 1o
24		df-suc 5436	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
25	24	equncomi 3571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc 1o = ( { 1o } u. 1o )
26	23, 25	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o = ( { 1o } u. 1o )
27		df1o2 7212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o = { (/) }
28	27	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } = 1o
29	26, 28	difeq12i 3538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2o \ { (/) } ) = ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o )
30		difun2 3838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = ( { 1o } \ 1o )
31		incom 3616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { 1o } i^i 1o ) = ( 1o i^i { 1o } )
32		1on 7207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o e. On
33	32	onordi 5534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord 1o
34		orddisj 5468	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord 1o -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1o i^i { 1o } ) = (/)
36	31, 35	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 1o } i^i 1o ) = (/)
37		disj3 3813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { 1o } i^i 1o ) = (/) <-> { 1o } = ( { 1o } \ 1o ) )
38	36, 37	mpbi 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 1o } = ( { 1o } \ 1o )
39	30, 38	eqtr4i 2496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = { 1o }
40	29, 39	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o \ { (/) } ) = { 1o }
41	40	imaeq2i 5172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) = ( `' y " { 1o } )
42	22, 41	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y supp (/) ) = ( `' y " { 1o } ) )
43	42	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( y supp (/) ) e. Fin <-> ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
44		cnvimass 5194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " { 1o } ) C_ dom y
45		fdm 5745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y : A --> 2o -> dom y = A )
46	20, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> dom y = A )
47	44, 46	syl5sseq 3466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " { 1o } ) C_ A )
48	47	biantrurd 516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " { 1o } ) e. Fin <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
49	17, 43, 48	3bitrd 287	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
50		elfpw 7894	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
51	49, 50	syl6bbr 271	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( y finSupp (/) <-> ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
52	51	rabbidva 3021	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> { y e. ( 2o ^m A ) | y finSupp (/) } = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) } )
53		cnveq 5013	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> `' x = `' y )
54	53	imaeq1d 5173	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( `' x " { 1o } ) = ( `' y " { 1o } ) )
55	54	cbvmptv 4488	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( y e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' y " { 1o } ) )
56	55	mptpreima 5335	. . . . . . 7 |- ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) }
57	52, 5, 56	3eqtr4g 2530	. . . . . 6 |- ( A e. V -> S = ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) )
58	57	imaeq2d 5174	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) )
59		f1ofo 5835	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
60	2, 59	syl 17	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
61		inss1 3643	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
62		foimacnv 5845	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A /\ ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
63	60, 61, 62	sylancl 675	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
64	58, 63	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) )
65		f1oeq3 5820	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
66	64, 65	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
67		resmpt 5160	. . . . . 6 |- ( S C_ ( 2o ^m A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) ) )
68	7, 67	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
69		pwfi2f1o.f	. . . . 5 |- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
70	68, 69	eqtr4i 2496	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F
71		f1oeq1 5818	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
72	70, 71	mp1i 13	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
73	66, 72	bitrd 261	. 2 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
74	9, 73	mpbid 215	1 |- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   {crab 2760   _Vcvv 3031   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   |` cres 4841   "cima 4842   Ord word 5429   suc csuc 5432   Fun wfun 5583   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588  (class class class)co 6308   supp csupp 6933   1oc1o 7193   2oc2o 7194   ^m cmap 7490   Fincfn 7587   finSupp cfsupp 7901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-1o 7200  df-2o 7201  df-map 7492  df-fsupp 7902

This theorem is referenced by:  pwfi2en  36026