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Theorem pwfi2f1o 35419
Description: The pw2f1o 7662 bijection relates finitely supported indicator functions on a two-element set to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Revised by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pwfi2f1o.s  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  y finSupp  (/) }
pwfi2f1o.f  |-  F  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
pwfi2f1o  |-  ( A  e.  V  ->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, S    x, V, y
Allowed substitution hints:    S( y)    F( x, y)

Proof of Theorem pwfi2f1o
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  =  ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
21pw2f1o2 35355 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A )
3 f1of1 5800 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -1-1-> ~P A )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -1-1-> ~P A )
5 pwfi2f1o.s . . . 4  |-  S  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  y finSupp  (/) }
6 ssrab2 3526 . . . 4  |-  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  y finSupp  (/)
}  C_  ( 2o  ^m  A )
75, 6eqsstri 3474 . . 3  |-  S  C_  ( 2o  ^m  A )
8 f1ores 5815 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A ) -1-1-> ~P A  /\  S  C_  ( 2o 
^m  A ) )  ->  ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S ) )
94, 7, 8sylancl 662 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S ) )
10 elmapfun 7482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  Fun  y )
11 id 23 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  y  e.  ( 2o  ^m  A
) )
12 0ex 4528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  _V
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  (/)  e.  _V )
1410, 11, 133jca 1179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  ( Fun  y  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A
)  /\  (/)  e.  _V ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( Fun  y  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A )  /\  (/)  e.  _V ) )
16 funisfsupp 7870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  y  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A
)  /\  (/)  e.  _V )  ->  ( y finSupp  (/)  <->  ( y supp  (/) )  e.  Fin )
)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( y finSupp  (/)  <->  ( y supp  (/) )  e.  Fin )
)
1813anim2i 569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( A  e.  V  /\  (/)  e.  _V )
)
19 elmapi 7480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 2o  ^m  A )  ->  y : A --> 2o )
2019adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
y : A --> 2o )
21 frnsuppeq 6916 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  V  /\  (/) 
e.  _V )  ->  (
y : A --> 2o  ->  ( y supp  (/) )  =  ( `' y " ( 2o  \  { (/) } ) ) ) )
2218, 20, 21sylc 61 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( y supp  (/) )  =  ( `' y "
( 2o  \  { (/)
} ) ) )
23 df-2o 7170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2o  =  suc  1o
24 df-suc 5418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  suc  1o  =  ( 1o  u.  { 1o } )
2524equncomi 3591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  1o  =  ( { 1o }  u.  1o )
2623, 25eqtri 2433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2o  =  ( { 1o }  u.  1o )
27 df1o2 7181 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1o  =  { (/) }
2827eqcomi 2417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) }  =  1o
2926, 28difeq12i 3561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )
30 difun2 3853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )  =  ( { 1o }  \  1o )
31 incom 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { 1o }  i^i  1o )  =  ( 1o  i^i  { 1o } )
32 1on 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1o  e.  On
3332onordi 5516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Ord  1o
34 orddisj 5450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Ord 
1o  ->  ( 1o  i^i  { 1o } )  =  (/) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o 
i^i  { 1o } )  =  (/)
3631, 35eqtri 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { 1o }  i^i  1o )  =  (/)
37 disj3 3816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { 1o }  i^i  1o )  =  (/)  <->  { 1o }  =  ( { 1o }  \  1o ) )
3836, 37mpbi 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 1o }  =  ( { 1o }  \  1o )
3930, 38eqtr4i 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { 1o }  u.  1o )  \  1o )  =  { 1o }
4029, 39eqtri 2433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2o 
\  { (/) } )  =  { 1o }
4140imaeq2i 5157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' y " ( 2o 
\  { (/) } ) )  =  ( `' y " { 1o } )
4222, 41syl6eq 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( y supp  (/) )  =  ( `' y " { 1o } ) )
4342eleq1d 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( y supp  (/) )  e. 
Fin 
<->  ( `' y " { 1o } )  e. 
Fin ) )
44 cnvimass 5179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' y " { 1o } )  C_  dom  y
45 fdm 5720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y : A --> 2o  ->  dom  y  =  A )
4620, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  ->  dom  y  =  A
)
4744, 46syl5sseq 3492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( `' y " { 1o } )  C_  A )
4847biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( ( `' y
" { 1o }
)  e.  Fin  <->  ( ( `' y " { 1o } )  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e. 
Fin ) ) )
4917, 43, 483bitrd 281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( y finSupp  (/)  <->  ( ( `' y " { 1o } )  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e. 
Fin ) ) )
50 elfpw 7858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' y " { 1o } )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) 
<->  ( ( `' y
" { 1o }
)  C_  A  /\  ( `' y " { 1o } )  e.  Fin ) )
5149, 50syl6bbr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  ( 2o  ^m  A ) )  -> 
( y finSupp  (/)  <->  ( `' y " { 1o }
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
5251rabbidva 3052 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  y finSupp  (/)
}  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y " { 1o } )  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) } )
53 cnveq 4999 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  `' x  =  `' y
)
5453imaeq1d 5158 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( `' x " { 1o } )  =  ( `' y " { 1o } ) )
5554cbvmptv 4489 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  =  ( y  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' y " { 1o } ) )
5655mptpreima 5318 . . . . . . 7  |-  ( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( ~P A  i^i  Fin ) )  =  { y  e.  ( 2o  ^m  A )  |  ( `' y
" { 1o }
)  e.  ( ~P A  i^i  Fin ) }
5752, 5, 563eqtr4g 2470 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  S  =  ( `' ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )
5857imaeq2d 5159 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( ~P A  i^i  Fin ) ) ) )
59 f1ofo 5808 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
)
-1-1-onto-> ~P A  ->  ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -onto-> ~P A )
602, 59syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A
) -onto-> ~P A )
61 inss1 3661 . . . . . 6  |-  ( ~P A  i^i  Fin )  C_ 
~P A
62 foimacnv 5818 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o  ^m  A ) -onto-> ~P A  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  C_  ~P A
)  ->  ( (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( `' ( x  e.  ( 2o  ^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
6360, 61, 62sylancl 662 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" ( `' ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) ) "
( ~P A  i^i  Fin ) ) )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
6458, 63eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ~P A  i^i  Fin ) )
65 f1oeq3 5794 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  =  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )
" S )  <->  ( (
x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
6664, 65syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " S )  <-> 
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
67 resmpt 5145 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  ( 2o  ^m  A )  ->  (
( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) ) )
687, 67ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
69 pwfi2f1o.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  S  |->  ( `' x " { 1o } ) )
7068, 69eqtr4i 2436 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  F
71 f1oeq1 5792 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A ) 
|->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S )  =  F  ->  ( ( ( x  e.  ( 2o 
^m  A )  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) ) )
7270, 71mp1i 13 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )  <->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
7366, 72bitrd 255 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) )  |`  S ) : S -1-1-onto-> ( ( x  e.  ( 2o  ^m  A
)  |->  ( `' x " { 1o } ) ) " S )  <-> 
F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin )
) )
749, 73mpbid 212 1  |-  ( A  e.  V  ->  F : S -1-1-onto-> ( ~P A  i^i  Fin ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   {crab 2760   _Vcvv 3061    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   (/)c0 3740   ~Pcpw 3957   {csn 3974   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   `'ccnv 4824   dom cdm 4825    |` cres 4827   "cima 4828   Ord word 5411   suc csuc 5414   Fun wfun 5565   -->wf 5567   -1-1->wf1 5568   -onto->wfo 5569   -1-1-onto->wf1o 5570  (class class class)co 6280   supp csupp 6904   1oc1o 7162   2oc2o 7163    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   finSupp cfsupp 7865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-ord 5415  df-on 5416  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-1o 7169  df-2o 7170  df-map 7461  df-fsupp 7866
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