Theorem pwfi2f1o 30676

Description: The pw2f1o 7622 bijection relates finitely supported indicator functions on a two-element set to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwfi2f1o.s	|- S = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin }
pwfi2f1o.f	|- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )

Assertion

Ref	Expression
pwfi2f1o	|- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, S   x, V, y

Allowed substitution hints:   S( y)   F( x, y)

Proof of Theorem pwfi2f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . 5 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) )
2	1	pw2f1o2 30612	. . . 4 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A )
3		f1of1 5815	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
4	2, 3	syl 16	. . 3 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A )
5		pwfi2f1o.s	. . . 4 |- S = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin }
6		ssrab2 3585	. . . 4 |- { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin } C_ ( 2o ^m A )
7	5, 6	eqsstri 3534	. . 3 |- S C_ ( 2o ^m A )
8		f1ores 5830	. . 3 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-> ~P A /\ S C_ ( 2o ^m A ) ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
9	4, 7, 8	sylancl 662	. 2 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) )
10		elmapi 7440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 2o ^m A ) -> y : A --> 2o )
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> y : A --> 2o )
12		fsuppeq 30675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y : A --> 2o -> ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) )
14		df-2o 7131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2o = suc 1o
15		df-suc 4884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
16	15	equncomi 3650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- suc 1o = ( { 1o } u. 1o )
17	14, 16	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2o = ( { 1o } u. 1o )
18		df1o2 7142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o = { (/) }
19	18	eqcomi 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } = 1o
20	17, 19	difeq12i 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2o \ { (/) } ) = ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o )
21		difun2 3906	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = ( { 1o } \ 1o )
22		incom 3691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { 1o } i^i 1o ) = ( 1o i^i { 1o } )
23		1on 7137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1o e. On
24	23	onordi 4982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord 1o
25		orddisj 4916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Ord 1o -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1o i^i { 1o } ) = (/)
27	22, 26	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { 1o } i^i 1o ) = (/)
28		disj3 3871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { 1o } i^i 1o ) = (/) <-> { 1o } = ( { 1o } \ 1o ) )
29	27, 28	mpbi 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { 1o } = ( { 1o } \ 1o )
30	21, 29	eqtr4i 2499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { 1o } u. 1o ) \ 1o ) = { 1o }
31	20, 30	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2o \ { (/) } ) = { 1o }
32	31	imaeq2i 5335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " ( 2o \ { (/) } ) ) = ( `' y " { 1o } )
33	13, 32	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) = ( `' y " { 1o } ) )
34	33	eleq1d 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin <-> ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
35		cnvimass 5357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' y " { 1o } ) C_ dom y
36		fdm 5735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y : A --> 2o -> dom y = A )
37	11, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> dom y = A )
38	35, 37	syl5sseq 3552	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( `' y " { 1o } ) C_ A )
39	38	biantrurd 508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " { 1o } ) e. Fin <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
40	34, 39	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) ) )
41		elfpw 7822	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) <-> ( ( `' y " { 1o } ) C_ A /\ ( `' y " { 1o } ) e. Fin ) )
42	40, 41	syl6bbr 263	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ y e. ( 2o ^m A ) ) -> ( ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin <-> ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) ) )
43	42	rabbidva 3104	. . . . . . 7 |- ( A e. V -> { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " ( _V \ { (/) } ) ) e. Fin } = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) } )
44		cnveq 5176	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> `' x = `' y )
45	44	imaeq1d 5336	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( `' x " { 1o } ) = ( `' y " { 1o } ) )
46	45	cbvmptv 4538	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) = ( y e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' y " { 1o } ) )
47	46	mptpreima 5500	. . . . . . 7 |- ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) = { y e. ( 2o ^m A ) | ( `' y " { 1o } ) e. ( ~P A i^i Fin ) }
48	43, 5, 47	3eqtr4g 2533	. . . . . 6 |- ( A e. V -> S = ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) )
49	48	imaeq2d 5337	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) )
50		f1ofo 5823	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -1-1-onto-> ~P A -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
51	2, 50	syl 16	. . . . . 6 |- ( A e. V -> ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A )
52		inss1 3718	. . . . . 6 |- ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A
53		foimacnv 5833	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) : ( 2o ^m A ) -onto-> ~P A /\ ( ~P A i^i Fin ) C_ ~P A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
54	51, 52, 53	sylancl 662	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( `' ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " ( ~P A i^i Fin ) ) ) = ( ~P A i^i Fin ) )
55	49, 54	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) )
56		f1oeq3 5809	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) = ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
57	55, 56	syl 16	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
58		resmpt 5323	. . . . . 6 |- ( S C_ ( 2o ^m A ) -> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) ) )
59	7, 58	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
60		pwfi2f1o.f	. . . . 5 |- F = ( x e. S |-> ( `' x " { 1o } ) )
61	59, 60	eqtr4i 2499	. . . 4 |- ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F
62		f1oeq1 5807	. . . 4 |- ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) = F -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
63	61, 62	mp1i 12	. . 3 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
64	57, 63	bitrd 253	. 2 |- ( A e. V -> ( ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) |` S ) : S -1-1-onto-> ( ( x e. ( 2o ^m A ) |-> ( `' x " { 1o } ) ) " S ) <-> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) ) )
65	9, 64	mpbid 210	1 |- ( A e. V -> F : S -1-1-onto-> ( ~P A i^i Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   |-> cmpt 4505   Ord word 4877   suc csuc 4880   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587  (class class class)co 6284   1oc1o 7123   2oc2o 7124   ^m cmap 7420   Fincfn 7516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-1o 7130  df-2o 7131  df-map 7422

This theorem is referenced by:  pwfi2en  30677